UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 3 : Producción y costes. Competencia perfecta Prof. Juan Gabriel Rodríguez 1

Indice (1ª parte) Función de producción Eficiencia técnica Restricciones tecnológicas La relación marginal de sustitución técnica Rendimientos a escala El producto marginal

Notación zi z = (z1, z2 , ..., zm ) Y wi w = (w1, w2 , ..., wm ) P Cantidades zi cantidad del input i z = (z1, z2 , ..., zm ) vector de inputs Y cantidad de output Precios wi precio del input i w = (w1, w2 , ..., wm ) vector de precios de Inputs P precio del output

La producción factible La función de producción La relación básica entre output e inputs: Y £ F(z1, z2, ...., zm ) Un único output, varios inputs Esto puede expresarse más compactamente como: Y £ F(z) vector de inputs Distinguimos dos tipos de casos... F proporciona la máxima cantidad de output que puede producirse dada una cantidad de inputs

Eficiencia técnica Caso 1: Y = F(z) Caso 2: Y < F(z) La producción es ténicamente eficiente Caso 2: Y < F(z) La producción es (técnicamente) ineficiente

La función de producción Puntos no factibles Y > F(z1,z2) Y Puntos factibles e ineficientes Y < F(z1,z2) Puntos tecnicam. eficientes Y = F(z1,z2) output F(z , z ) 1 2 input 2 z2 input 1 z1

inputs necesarios Se selecciona un nivel de producto Y Se buscan todos los vectores factibles de inputs z … Recuérdese que Y £ F(z) …el conjunto Z de cantidades necesarias de los inputs es: Z(Y) := {z | Y  F(z)} Primero, veamos el caso “estandar” La forma de Z depende de los supuestos sobre la tecnología...

El conjunto de inputs necesarios Factibles, pero ineficientes F(z1,z2) >Y z2 técnicamente eficientes F(z1,z2) =Y no factibles F(z1,z2) <Y _ Z(Y) z1

Axioma 1: La tecnogía es contínua z2 Z(Y) es un conjunto cerrado, que contiene a su frontera La frontera va a ser contínua _ Z(Y) z Además, se adoptan dos supuestos técnicos: si z=0, Y=0 si Y>0, z>0 z1

_ Z(Y) z¢ z Axioma 2: Z es monótono z2 z1 Dado un z que pertenece a Z(Y) y dado un z¢, que no emplea menos cantidades que z z¢ _ Z(Y) z Entonces z¢ pertenece también a Z(Y) Significado: si aumentamos los inputs podemos producir al menos lo mismo z1

_ Z(Y) z ¢ Axioma 3: Z es convexo z² z2 z1 Se eligen dos puntos Se dibuja una linea recta entre ellos _ Z(Y) z ¢ Los puntos intermedios deben estar en Z significado: una combinación de técnicas factibles es factible z² z1

_ Z(Y) Esta región causa un problema Caso 1: Z no es convexo 2 este punto no es factible Esta región causa un problema _ Z(Y) z 1

Caso 2: Z es convexo pero no suave _ Z(Y) La pendiente no está definida en este punto El único punto eficiente F(z1,z2) =Y z 1

Isocuantas { z : F(z) = Y } Se selecciona un nivel de output Y Se busca el conjunto necesario de factores Z(Y) La isocuanta es la frontera de Z(Y) { z : F(z) = Y } Usamos subíndices para denotar derivadas parciales. Así Si la función F es diferenciable en z entonces la Relación Marginal de Sustitución Técnica es la pendiente en z: ¶F(z) Fi(z) = —— ¶zi . Fj (z) —— Fi (z) Nos dice la tasa de sustitución entre factores a lo largo de una isocuanta

La isocuanta es la frontera de Z La relación de inputs describe la técnica productiva Pend. = z2 / z1 A z2 inputs requeridos para producir A { z | F(z) = Y } z1

La relación marginal de sustitución técnica F1(z)/F2(z) ratio de input z2 La pendiente de la isocuanta es la Relación Marginal de Sustitución Técnica. Nos indica el número de unidades necesarias de 2 para sustituir a una de 1, infinitesimalmente, y seguir produciendo lo mismo. A' A (Y) z1

Noción de la isocuanta Q Y =`Y isocuanta z 2 z 1

La elasticidad de sustitución F1(z)/F2(z) ratio de inputs z2 La respuesta del ratio de factores a la RMST es la elasticidad de sustitución d(z2/z1) RMTS dln(z2/z1)  =   =  dRMTS (z2/z1) dln(|F1/F2|) Mide la “curvatura” de la isocuanta A' A (Y) Un caso especial... z1

Elasticidad de sustitución constante z2 Incremento de la elasticidad de sustitución... z1

Elasticidad de sustitución Alemania (trabajo y capital) [Kemfert (1998, EE)] Industria  Química 0,37 Acero 0,50 Motor 0,10 Papel 0,35 Alimentos 0,66

Rendimientos Constantes a Escala Q F(t z) = t F(z) Rendimientos constantes a escala z 2 Rayo de expansión z 1

Rendimientos Crecientes a Escala Q t >1Þ F(t z) > t F(z) Rendimientos crecientes a escala z 2 z 1

Rendimientos Decrecientes a Escala Q t >1Þ F(t z) < t F(z) Rendimientos decrecientes a escala z 2 z 1

Tomemos ahora una sección “vertical”... Q z 2 …esto nos proporciona un nuevo concepto z 1

Producto marginal ¶F(z) —— Pmgi = Fi(z) = ¶zi Seleccione un vector de inputs técnicamente eficiente Recuerde, esto significa que elegimos z tal que Y= F(z) Varíe un input y deje los demás costantes Medimos el cambio marginal en el output con respecto a ese input El producto marginal ¶F(z) —— ¶zi Veamos su forma Pmgi = Fi(z) =

Tomemos el caso convencional… Posibles relaciones entre el output y un input Tomemos el caso convencional… z1 Y F(z) z1 Y F(z) z1 Y F(z) z1 Y F(z)

Relación entre el output y el input 1... F(z) Conjunto factible Conjunto de técnicas eficientes Input 1 es esencial: Si z1=0, Y=0 z 1

F1 cae con z1 si F es cóncava Producto marginal Y pendiente = F1(z) F(z) F1 cae con z1 si F es cóncava z 1

Práctica . EJERCICIO (1): Dibuje las isocuantas correspondientes a: Y= z1 + z2 Y=min(z1 , z2) Y= z1a z2 b Y= z1 2 + z2 2 donde a y b > 0 Indique los rendimientos a escala .

Práctica . EJERCICIO (2): Calcule la elasticidad de sustitución correspondiente a: Y= {a1 z1 b + a2 z2 b }1/b donde a i > 0 y 1  b > -  .

Índice (2ª parte) Maximización de beneficios: Demanda de factores. Minimización de costes en el corto plazo: costes fijos y variables. Costes medios y marginales. Minimización de costes en el largo plazo: costes medios y marginales. Rendimientos a escala. Relación entre las curvas de coste a largo y corto plazo. La curva de costes medios a largo plazo.

S wi zi S wi zi La función objetivo P Y P =P Y – m i=1 m i=1 Coste de los inputs: para los m inputs Ingresos: P Y S wi zi m i=1 Beneficios: P =P Y –

Esquema... Optimización: Problema primal Problema dual

S wi zi P = P Y – Y £ F(z) z ³ 0 Y ³ 0 Optimización m i=1 Elegimos z que maximiza: S wi zi m i=1 P = P Y – ...sujeto a la restricción tecnológica... Y £ F(z) ...y a restricciones obvias: No podemos tener valores de output o inputs negativos Y ³ 0 z ³ 0

Método de optimización Si F es diferenciable… Planteamos el Lagrangiano L (... ) Establecemos las condiciones de primer orden (CPO) ¶  L (... ) = 0 ¶z c. necesaria Verificamos las condiciones de segundo orden c. suficiente Usamos las CPO para caracterizar la solución z* = …

El equilibrio de la empresa Obtención del vector z que resuelve el siguiente problema optimizador: Max (z)=PY- wi zi s.a: Y = F(z) En el caso de dos bienes (m=2), obtención de z1 , z2 que soluciona: Max (z1 , z2 )=PY- w1 z1 - w2 z2 s.a: Y = F( z1 , z2 ) donde P, w1 y w 2 son parámetros conocidos

El equilibrio de la empresa Solución:  P/  z1 = 0  P Y/z1 = w1  P /  z2 = 0  P Y/z2 = w2  P·Pmg z1 = w1  P·Pmg z2 = w2

Función de demanda de factores wi P*PMg zi zi

El equilibrio de la empresa Otra forma de ver la solución: Pmg z1 w1 Pmg z2 w2 RMST Interpretación gráfica ...

Demanda de factores A' A z2 z1 z2* / z1* z1* y z2* óptimos z2 z2* z1 Pmgz1 / Pmgz2= w1/w2 A z2* (Y*) z1 z1 z1*

Las funciones de demanda de factores z1* = z1d (P,w1 ,...,wm ) ... ... ... zm* = zmd (P,w1 ,...,wm ) ü ý þ

Esquema... Optimización: Problema primal Problema dual

Minimización de costes Elegimos un nivel de producto Y Tomamos como dados los precios de los inputs w (y del output P) Maximizamos beneficios... ...minimizando los costes S wi zi m i=1

Dado un vector de precios de los factores w... Recta isocoste Dado un vector de precios de los factores w... la recta isocoste es el conjunto de puntos en el espacio de los inputs... ...que consiguen un nivel de costes C=wizi determinado. Forman un hiperplano (línea recta)...

Usamos esto para derivar el óptimo Líneas isocostes z2 z1 Coste creciente w1z1 + w2z2 = c" w1z1 + w2z2 = c' w1z1 + w2z2 = c (constante) Usamos esto para derivar el óptimo

Minimización de costes Coste decreciente ¿Qué condiciones cumple z*? z* z1

Obtenemos la misma CPO (condición de tangencia) Dados los inputs i y j ... _____ __ = Fi(z) wi Fj(z) wj Obtenemos la misma CPO (condición de tangencia)

Corto plazo: costes fijos y variables CCP(Y) = CF + CV(Y) CCP C CV CF CV CF Y

Corto plazo: costes fijos medios y variables medios CMeCP(Y) = CFMe(Y) + CVMe(Y) CMeCP C CV CF CVMe Y

Rendimientos crecientes a escala Rendimientos a escala Rendimientos crecientes a escala Rendimientos decrecientes a escala Cme (Y) La forma de los Cme depende de los rendimientos a escala Y Y

Corto plazo: costes marginales CMgCP(Y) = CVMg(Y) CMeCP C CV CF CMgCP CVMe CmgCP corta a CMe y CVMe en el mínimo Y

Largo plazo: Costes medios y marginales CLP(Y) = CV(Y) CMeLP(Y) = CVMe(Y) P Cmg (Y) Cme (Y) P Cmg corta a Cme en el mínimo Y Y

Cme a corto plazo y largo plazo CmeLP (Y) CmeCP (Y, K1) Y Y1

Cmg a corto plazo y largo plazo CMgLP(Y) CMgCP(Y, K1) Y Y1

Envolvente P CMeLP CMgLP CMeCP CMgCP Y

La oferta de producto Interpretación: I(Y) = P·Y  Img(Y) = P Solución:  P/  Y = 0  P = C(w,Y)/Y  P =CmgY Interpretación: I(Y) = P·Y  Img(Y) = P  ImgY = CmgY

La oferta de corto plazo P = CMg(Y) CMeCP CMe CP CVMe CMg CP CMgCP CVMe P Y1 Y2 Y

La oferta de corto plazo CMe CP CVMe CMg CP CMeCP CMgCP = S CVMe Si P < CVMe(Y) ¡La empresa cierra! Y

La oferta de largo plazo CMe CMg CMg = S CMe Si P < CMe(Y) ¡La empresa cierra! Y

La curva de oferta agregada S Si (p) n i=1 S(p) = La oferta agregada: Suma horizontal de las ofertas individuales Ejemplos…

Ejemplo 1: dos empresas idénticas 4 8 12 16 P 4 8 12 16 S2 P' P'

La oferta agregada 24 32 8 16 S + S 1 2 P P'

Oferta media… ¡Dos puntos ¡hay un punto más! extra! P P' Obtenemos la oferta media... Comparamos S para una empresa ¡Dos puntos más! ¡hay un punto extra! Repetimos para 4 empresas… ...para 8 empresas P' ...para 16 empresas S1 + S2 _________ 2 12 16 4 8

Si hay suficientes empresas, el comportamiento medio es convencional Caso límite Si hay suficientes empresas, el comportamiento medio es convencional P Demanda media Oferta media P' S,D . 12 16 4 8

Ejemplo 2: dos empresas no idénticas S1+S2

Equilibrio en el corto plazo (caso 1) Costes marginales Costes medios Beneficios nulos P Y1

Equilibrio en el corto plazo (caso 2) Costes marginales Costes medios Beneficios positivos P Y2

Equilibrio en el corto plazo (caso 3) Costes marginales Costes medios Beneficios negativos P Y3

Equilibrio en el largo plazo Proceso (0) Suponemos que 1 empresa tiene beneficios positivos Los costes de una nueva empresa, ¿son > PY - C? ...en caso afirmativo paramos. En caso contrario… (2) Aumenta el número de empresas (3) Aumenta la producción de la industria (4) Precio cae (curva de D) y las empresas ajustan su producción (5) Vuelta a 1

Equilibrio en el largo plazo: 1 empresa Costes marginales Costes medios P P1 Y1 Y1

Una empresa entra en el mercado... Costes marginales Costes medios P Y1, Y2 2 Y

... y otra ... costes marginales Costes medios P Y1, Y2, Y3 3 Y

... y otra... costes marginales Costes medios P Y1,..., Y4 4 Y

Equilibrio de largo plazo (entrada libre) Costes marginales Costes medios P = C/Y ¡Beneficios nulos! P Y1,...,YF YF

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 3 : Producción y costes. Competencia perfecta Prof. Juan Gabriel Rodríguez 75