UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 2 : La demanda con incertidumbre Prof. Juan Gabriel Rodríguez

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID La teoría es asesinada tarde o temprano por la experiencia A. Einstein

Otras extensiones del modelo básico... zModelización de problemas económicos específicos yoferta de trabajo (comportamiento) yAhorro zNuevos conceptos yIncertidumbre yInformación asimétrica La incertidumbre expande la teoría del consumidor de forma interesante ……

Esquema Modelización de la incertidumbre Axiomas Utilidad esperada Teoría del Consumo: incertidumbre Prima de riesgo

Incertidumbre zconceptos zaxiomas sobre el consumidor zrestricciones sobre la estructura de las funciones de utilidad Aparecen nuevos:

Conceptos zEstados de la naturaleza Ejemplo Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={Rep, Dem} o quizás como: ={Rep, Dem, Ind} Ejemplo Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={Rep, Dem} o quizás como: ={Rep, Dem, Ind} zprobabilidades p { p | p } zconsumo contingente {x } Un vector de consumo sobre el espacio zex ante antes de la realización zex post después de la realización Otro ejemplo Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={sol, lluvia} o quizás como: ={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...} Otro ejemplo Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={sol, lluvia} o quizás como: ={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}

Distinción ex ante/ex post tiempo Momento en el que se revela el estado de la naturaleza Las decisiones se realizan aquí La visión ex ante La visión ex post Momento de la verdad La línea del tiempo Abanico de estados posibles ( Sólo un estado se realiza

Un enfoque simplificado El espacio de los estados es finito zSe simplifica si los planes de consumo son escalares El consumo, resultado o premio en el estado de la naturaleza es x (un número real) zEjemplo: el caso bidimensional Tomamos = { ROJO,AZUL } Representación gráfica...

Espacio de los estados ( =2) x AZUL x ROJO O Espacio de consumo bajo incertidumbre con 2 estados de la naturaleza Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados Y 0 resultado si ocurre AZUL resultado si ocurre ROJO 45° Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados Consumos con certidumbre perfecta

Preferencias zEl espacio de bienes se ha expandido: Si hay un número N de estados posibles entonces......en vez de n bienes tenemos n N bienes zLa teoría del consumo se puede aplicar: Los axiomas estándar sobre las preferencias son apropiados pero requieren una reinterpretación veamos

Axiomas p p x | Consecuencialismo (premisa): La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas de los resultados últimos. Dada una lotería L= (x 1, L;p 1,p 2 ), donde L= (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Entonces: (x 1, L;p 1,p 2 ) ~ (x 1,x 2 ; p 1 +p 2 p 1, p 2 p 2 ).

Ejemplo Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5) Es indiferente a (100,50;0.75,0.25) Aunque hay datos empíricos que muestran que los consumidores se comportan de distinta forma ante estas loterías…

Axiomas zCompletitud zTransitividad zContinuidad zMonotonía zDominancia estocástica zConvexidad (estricta) zDiferenciabilidad zIndependencia Aseguran la existencia de una función de utilidad Dan forma a la función de utilidad y a las curvas de indiferencia

Preferencias zsus probabilidades p zLos consumos contingentes {x | } Se establecen sobre: Si entonces se establecen sobre: (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) En lo que sigue, x es un número real

Completitud p p x x | Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Entonces Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Entonces: z (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) zó (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) zó (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) ~ (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

Transitividad p p p x x x | Dados (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ), (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ): z si (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y z (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) Entonces: (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

Continuidad x AZUL x ROJO O Preferencias no contínuas Y 0 Imponemos continuidad huecos no huecos Un plan de consumo contingente Y 0 E Buscamos el punto E, posible gracias a continuidad La renta se conoce como el equivalente de certeza de Y 0

Monotonía (débil) p x x | Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) con x 1 > x 1 y x 2 x 2. Entonces: z (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

Monotonía (estricta) p x x | Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) con x 1 > x 1 y x 2 x 2. Entonces: z (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

Monotonía x AZUL x ROJO O El plan de consumo contingente Y 1 es estrictamente preferido a Y 0 tanto por monotonía estricta como débil Y 1 Y 0

Dominancia estocástica p p x | Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) si x 1 >x 2 y si p 1 >p 1 (y p 2<p 2 ). Entonces: z (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) Ejemplo: (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)

Convexidad (estricta) p x x | Dados dos arbitrarios (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) ~ (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1, x 2 ) =(t x 1 +(1-t) x 1, t x 2 +(1-t) x 2 ) z (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) ~ (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) t

Convexidad (estricta) x AZUL x ROJO O Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y 0 e Y 1 Y 0 Y 1 Puntos en el interior de la línea Y 0 Y 1 representan una combinación de Y 0 y Y 1 Y 2 representa un menor riesgo Si U es estrictamene cuasicóncava Y 2 es preferido estrictamente a Y 0 e Y 1 Y 2

Independencia Sean L, L, L tres loterias diferentes y (0,1), entonces: L L L + (1- )L L + (1- )L La relación de preferencia entre dos loterias es independiente de la valoración de las restantes Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades

Axiomas Dados los axiomas anteriores: Existe una función de utilidad U y ésta pertenece a la clase de funciones de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern: donde u( x es una función cuasicóncava, independiente del estado U(x p p u x U es cardinal: solo transformaciones afines (V=a+bU, b>0) representan las mismas preferencias

Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM x AZUL x ROJO O ¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º? Una típica CI Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º p ROJO – _____ p AZUL p ROJO – _____ p AZUL

Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM x AZUL x ROJO O p ROJO – _____ p AZUL p ROJO – _____ p AZUL Dado un consumo contingente Y 0 E(x) Y (renta) media Y 0 Y 1 Y Prolongamos la línea desde Y 0 hasta Y 1 Por convexidad de las preferencias: U(Y) U(Y 0 ) un resultado útil

E(x) x AZUL x ROJO l A l M - p ROJO p AZUL l B PR= E(x) - cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo PR= E(x) - cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo La prima de riesgo De nuevo trazamos la línea desde el consumo contingente A... La pendiente es el ratio de probabilidades Corta a la diagonal en......la renta media Nos sirve para definir... La prima de riesgo

u u(x)u(x) x1x1 x x2x2 u( x 1 ) u(x 2 ) E(x) u(Ex) Eu(x )Eu(x ) Cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo La prima de riesgo Utilidad de dos resultados posibles El resultado esperado y la utilidad del resultado esperado La utilidad esperada y el equivalente de certeza La prima de riesgo de nuevo

La prima de riesgo La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x 1 y x 2, dado p Una aproximación de PR: El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo Depende de:

La adopción de riesgo... zElección con incertidumbre y la toma de riesgo: yModelización de la demanda de seguros yModelo de inversión en cartera

Demanda de seguros zUn consumidor posee inicialmente la dotación de un activo con riesgo yValor de la riqueza ex-ante es W yExiste el riesgo de obtener una pérdida de L ySi la pérdida se produce, la riqueza es W – L zEl consumidor puede comprar una póliza de seguros contra el riesgo de esa pérdida L (aseguramiento total) yEl coste del seguro es K yEn ambos estados la riqueza ex-post es W – K y Si se produce la pérdida, además recibe L de la compañía

Aseguramiento total. Cons NA AT U(W-K) U(W-K) UE(AT) = U(W-K) U(W) U(W-L) UE(NA) = (1-p)U(W)+pU(W-L) NI I 1-p p NI 1-p I p Decisiones: AT, aseguramiento total (por la pérdida de L y paga K) y NA, no aseguramiento Estados: NI, no incendio e I, incendio (se produce la pérdida), con probabilidades 1-p y p, respectivamente

Aseguramineto parcial zEl consumidor puede comprar una póliza de seguros por una cuantía X [0, L ] yEl coste del seguro es kX. Si aseguramiento total: kL=K yEn ambos estados la riqueza ex-post es W – kX y Si se produce la pérdida, además recibe X de la compañía

Aseguramiento parcial. Cons NI AP U(W-kX) U(W-L-kX+X) UE(AP) = (1-p)U(W-kX)+pU(W-L+(1-k)X) I 1-p p Decisiones: AP, aseguramiento parcial (por X y paga kX) Nótese que AP es más general que la anterior: AP = AT si X=L AP = NA si X=0

Aseguramiento parcial. Restricción del individuo

Gráficamente xIxI x NI AT W -K Dotación W Aseguramiento total en AT Improbable que se sitúe por aquí NA W - L W K L- K AP

xIxI x NI AT W -kL Dotación W Aseguramiento total en AT NA W - L W kL L- kL AP Pendiente en VA (1-k)/k Pendiente en VA (1-k)/k Aseguramiento parcial entre AT y NA Gráficamente

xIxI x NI AT W -kL NA W - L W Aseguramiento parcial Pendiente en VA (1-k)/k Pendiente en VA (1-k)/k Aseguramiento parcial en P P W -kX W -kX-L+X Aseguramiento total en AT si X=L Aseguramiento nulo en NA si X=0 Gráficamente

Aseguramiento parcial óptimo Max UE(AP) = (1-p)U(W-kX) + pU(W-L+(1-k)X) X s.a. Solución de primer orden de tangencia: (1-p)U(W-kX)/pU(W-L+(1-k)X)=(1-k)/k xI*xI* x NI *

xIxI x NI AT W -kL Aseguramiento total en AT NA W - L W kL L- kL AP Pendiente en VA (1-k)/k=(1-p)/p Pendiente en VA (1-k)/k=(1-p)/p Aseguramiento parcial entre AT y NA Solución AT (caso k=p)

xIxI x NI AT W -kX-L+X W -kX Aseguramiento total en AT NA W - L W kX L- kX Pendiente en VA (1-k)/k < (1-p)/p Pendiente en VA (1-k)/k < (1-p)/p Aseguramiento parcial entre AT y NA Solución AP (caso k>p) AP

Solución:. Solución de AT (X=L) si y sólo si: p = k (juego justo: cuando la prima es igual a las probabilidades o cuando el beneficio esperado es cero). Caso de prima actuarialmente justa Solución de AP (X<L) si y sólo si: p < k (cuando la prima es mayor que las probabilidades o cuando el beneficio esperado es positivo)

Práctica (1): (1) En el mercado de seguros de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos conductores (que causan un accidente al año con probabilidad 0,1 y ningún accidente, con probabilidad 0,9) y los malos conductores (que causan un accidente con probabilidad 0,2 y ningún accidente, con probabilidad 0,8). Los costes de reparación de vehículos involucrados en los accidentes (en media) es de u.m. La proporción de buenos y malos conductores es de 2 a 1. La utilidad de los conductores, que maximizan la utilidad esperada, es igual a U(W)=W 1/2 y sus riquezas iniciales son de u.m. (a)Calcula la cuota mínima que las compañías de seguros estarían dispuestas a ofrecer, suponiendo que son neutrales con respecto al riesgo y que no pueden distinguir entre los dos tipos de conductores. (b)¿Qué tipo de conductores subscribiría una póliza de seguros a la cuota del apartado (a)?¿Cuáles son las cuotas máximas que cada tipo de conductor está dispuesto a pagar? Represente los árboles de decisión. (c)Calcula la cuota de equilibrio competitivo, suponiendo que las compañías ofrecen seguros a las cuotas mínimas (y no hay gastos administrativos ni otros gastos extras) y conocen qué tipo de conductores contratan las pólizas, aunque no puedan distinguir entre los dos tipos de conductores. ¿Qué tipo de conductores contratarán pólizas en equilibrio?¿Y si pudieran distinguir entre los dos tipos?

Práctica (1). B. C. NA AT U( K) U( K) UE(AT) = U( K) U( ) U( ) UE(NA) = 0,9U( )+0,1U( ) NAcc Acc 0,9 0,1 NAcc 0,9 Acc 0,1 K B =22286,3 cuota máxima por asegurarse totalmente

Práctica (1) M. C. NA AT U( K) U( K) UE(AT) = U( K) U( ) U( ) UE(NA) = 0,8U( )+0,2U( ) NAcc Acc 0,8 0,2 NAcc 0,8 Acc 0,2 K M =44064,5 cuota máxima por asegurarse totalmente Por su parte, las compañías aseguraran a los conductores con una K min =26666,6 =[(2/3)*0.1 + (1/3)*0.2]*

x Acc x NAcc ,5 Aseguramiento total en AT K M = 44064,5 Aseguramiento parcial entre AT y NA ¿Quién contrata? AT M NA ,7 K B = 22286,3 AT B UE B UE M EB=0 K min = 26666,6

x Acc x NAcc ,5 Aseguramiento total en AT K M = 44064,5 Aseguramiento parcial entre AT y NA Solución: sólo malos conductores AT M NA UE M K min = EB M =0

Práctica (2): (2) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W 1/3. (a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable? (b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.

Práctica (2): pista. Cons AR AS U(W(1+r s )) UE(AS) = U(W(1+r s )) U(W(1+r B )) U(W(1+r M )) UE(AR) = (1-p)U(W(1+r B )) + pU(W(1+r M )) B 1-p M p Decisiones: AS, activo seguro (rend. r s =0,1) y AR, activo con riesgo (rend. r B =0,2 y r M =0,05) Estados: B, bueno y M, malo, con probabilidades 1-p=0,5 y p=0,5, respectivamente

Práctica (2): solución Cons AR AS U(110) UE(AS) = 4,79 U(120) U(105) UE(AR) = 0,5*4,93 + 0,5*4,72=4,825 B 0,5 M Invertirá en el activo con riesgo AR EC=4,825 3 =112,33; E(X)=112,5 PR=0,166 (b) No, pues UE=4,8089

Práctica (2): diversificación óptima. Cons Div U(W(1+r S )+X(r B - r S ))U(W+Xr B +(W-X)r S ) B 0,5 M (b) Max UE(Div)=0,5*(110+0,1X) 1/3 +0,5*(110-0,05X) 1/3 X [0,100] d UE(Div)/ d X=0 X*=833 X*=100(Todo en AR) U(W+Xr M +(W-X)r S ) U(W(1+r S )+X(r M - r S ))

xMxM xBxB 112, Solución gráfica: UE AR EX 112,5 110 AR AS

Ejercicio Un consumidor con una riqueza inicial de W=450 se enfrenta a la posibilidad de perder 400 u.m. con una probabilidad de 1/3. Una compañía de seguros le ofrece la posibilidad de asegurarse y le ofrece un contrato por el cual el individuo abona hoy la cantidad kX y en el caso de que se produzca la pérdida, la compañía le abona X. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W 1/2. (a) Calcule la cantidad de seguro X que contratará si k=1/2 y el beneficio de la empresa aseguradora. (b) La cuota mínima k min que la compañía estaría dispuesta a cobrar. (c ) La cuota máxima k max que el consumidor estaría dispuesto a pagar por asegurarse totalmente (si las únicas alternativas fueran asegurarse totalmente o no asegurarse). (d) Si se le permitiese el aseguramiento parcial, ¿ el individuo se aseguraría parcialmente a la k max calculada en ( c)? (e) Si se le permitiese el aseguramiento parcial, calcule la cuota máxima k max que el consumidor estaría dispuesto a pagar por asegurarse algo parcialmente (por encima de la cual no se asegura ni parcialmente).

xIxI x NI AT W -kX-L+X W -kX Aseguramiento total en AT NA W - L W kX L- kX Aseguramiento parcial entre AT y NA Pista práctica (a y b) AP Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1 Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2 E W

Solución (a y b): AP óptimo. Cons AP (450-0,5X) 1/2 U(W-kX) NI 2/3 I 1/3 (b) Es k min tal que(1-k min )/k min =2 k min =1/3 U(W-L-kX+X) (50+0,5X) 1/2 (a) Max UE(AP)=2/3*(450-0,5X) 1/2 +1/3*(50+0,5X) 1/2 X [0,400] δ UE(AP)/ δ X=0 X*=100 (Aseguramos la cuarta parte de la pérdida)

xIxI x NI AT Aseguramiento total en AT NA W - L W Aseguramiento parcial entre AT y NA Pista práctica (c y d) AP Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1 Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2 AT Pendiente kmax en (c) en VA: (1-k max )/k max E W

Solución (c y d):. (c) Es k max tal que(1-k max )/k max = tg α =( y donde k max =0,44 Otra forma K max (mayúsculas)= ,77=177,77 k max =177,77/400=0,44 (d) Obviamente si, véase el gráfico anterior

xIxI x NI AT Aseguramiento total en AT NA W - L W Aseguramiento parcial entre AT y NA Pista práctica (e) AP Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1 Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2 AT Pendiente kmax en (e) en VA: (1-k max )/k max E W

Solución (e):. (e) Es k max tal que(1-k max )/k max = tg = pendiente de UE en NA tg = k max =0,6

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