UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 2 : La demanda con incertidumbre Prof. Juan Gabriel Rodríguez 1

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID “La teoría es asesinada tarde o temprano por la experiencia” A. Einstein

Otras extensiones del modelo básico... Modelización de problemas económicos específicos oferta de trabajo (comportamiento) Ahorro Nuevos conceptos Incertidumbre Información asimétrica La incertidumbre expande la teoría del consumidor de forma interesante ……

Esquema Teoría del Consumo: incertidumbre Modelización de la incertidumbre Axiomas Utilidad esperada Prima de riesgo

Incertidumbre Aparecen nuevos: conceptos axiomas sobre el consumidor restricciones sobre la estructura de las funciones de utilidad

Conceptos w Î W {xw  w Î W} Estados de la naturaleza Ejemplo Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: W={Rep, Dem} o quizás como: W={Rep, Dem, Ind} Estados de la naturaleza w Î W pw Î P ={pw|w pw=1} probabilidades Un vector de consumo sobre el espacio W consumo contingente {xw  w Î W} Otro ejemplo Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: W={sol, lluvia} o quizás como: W={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...} antes de la realización ex ante después de la realización ex post

Distinción ex ante/ex post La línea del tiempo Abanico de estados posibles (W) “Momento de la verdad” La visión ex ante Las decisiones se realizan aquí La visión ex post Sólo un estado w se realiza tiempo Momento en el que se revela el estado de la naturaleza

Un enfoque simplificado El espacio de los estados W es finito Se simplifica si los planes de consumo son escalares El consumo, resultado o premio en el estado de la naturaleza  es x (un número real) Ejemplo: el caso bidimensional Tomamos W = {ROJO,AZUL} Representación gráfica...

Espacio de los estados (W=2) Espacio de consumo bajo incertidumbre con 2 estados de la naturaleza xAZUL Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados Consumos con certidumbre perfecta Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados resultado si ocurre ROJO resultado si ocurre AZUL Y0 45° xROJO O

El espacio de bienes se ha expandido: Preferencias El espacio de bienes se ha expandido: Si hay un número N de estados posibles entonces... ...en vez de n bienes tenemos n  N bienes La teoría del consumo se puede aplicar: Los axiomas estándar sobre las preferencias son apropiados pero requieren una reinterpretación veamos

Axiomas  xw |w Î W  pw, p’wÎ P Consecuencialismo (premisa): La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas de los resultados últimos. Dada una lotería L= (x1, L’;p1,p2), donde L’= (x1,x2;p1’,p2’). Entonces: (x1, L’;p1,p2) ~ (x1,x2; p1+p2p1’, p2p2’).  xw |w Î W  pw, p’wÎ P

Ejemplo Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5) Es indiferente a (100,50;0.75,0.25) Aunque hay datos empíricos que muestran que los consumidores se comportan de distinta forma ante estas loterías…

Dominancia estocástica Convexidad (estricta) Diferenciabilidad Axiomas Completitud Transitividad Continuidad Monotonía Dominancia estocástica Convexidad (estricta) Diferenciabilidad Independencia Aseguran la existencia de una función de utilidad Dan forma a la función de utilidad y a las curvas de indiferencia

Preferencias {xw| w Î W} pw Î P Se establecen sobre: Los consumos contingentes {xw| w Î W} sus probabilidades pw Î P Si W = 2 entonces se establecen sobre: (x1,x2;p1,p2) En lo que sigue, xw es un número real

Completitud  xw, xw’ | w Î W  pw , pw’ Î P Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’). Entonces: Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’). Entonces (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’) ó (x1’,x2’;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2) ó (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1’,p2’)  xw, xw’ | w Î W  pw , pw’ Î P

Transitividad  xw, xw’ , xw’’ | w Î W  pw , pw’ , pw’’ Î P Dados (x1,x2;p1,p2), (x1’,x2’;p1’,p2’) y (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’): si (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’) y (x1’,x2’;p1’,p2’) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’) Entonces: (x1,x2;p1,p2) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’)  xw, xw’ , xw’’ | w Î W  pw , pw’ , pw’’ Î P

Continuidad E Y0 x x xAZUL xROJO O Preferencias no contínuas Imponemos continuidad Un plan de consumo contingente Y0 Buscamos el punto E, posible gracias a continuidad huecos no huecos La renta x se conoce como el equivalente de certeza de Y0 E x Y0 xROJO O x

Monotonía (débil)  xw , xw’ |w Î W  pw Î P Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2) con x1> x1’ y x2  x2’ . Entonces: (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)  xw , xw’ |w Î W  pw Î P

Monotonía (estricta)  xw , xw’ |w Î W  pw Î P Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2) con x1> x1’ y x2  x2’ . Entonces: (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)  xw , xw’ |w Î W  pw Î P

Monotonía Y1 Y0 xAZUL xROJO O El plan de consumo contingente Y1 es estrictamente preferido a Y0 tanto por monotonía estricta como débil Y1 Y0 xROJO O

Dominancia estocástica Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1,x2;p1’,p2’) si x1>x2 y si p1’>p1 (y p2’<p2) . Entonces: (x1,x2;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2)  xw |w Î W  pw, pw’ Î P Ejemplo: (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)

Convexidad (estricta) Dados dos arbitrarios (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1,p2)  (x1’’, x2’’) =(t x1+(1-t) x1’, t x2+(1-t) x2’) (x1’’,x2’’;p1,p2) (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1,p2)  xw, xw’ |w Î W  pwÎ P  tÎ (0,1)

Convexidad (estricta) Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y0 e Y1 xAZUL Puntos en el interior de la línea Y0Y1 representan una combinación de Y0 y Y1 Y1 Y2 Y2 representa un menor riesgo Si U es estrictamene cuasicóncava Y2 es preferido estrictamente a Y0 e Y1 Y0 xROJO O

Independencia Sean L, L’, L’’ tres loterias diferentes y (0,1), entonces: L L’  L + (1-)L’’ L’ + (1-)L’’ La relación de preferencia entre dos loterias es independiente de la valoración de las restantes Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades

Axiomas Dados los axiomas anteriores: Existe una función de utilidad U y ésta pertenece a la clase de funciones de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern: U(xw, pw) = å pw u(xw) w ÎW donde u(xw) es una función cuasicóncava, independiente del estado w. U es cardinal: solo transformaciones afines (V=a+bU, b>0) representan las mismas preferencias

Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM xAZUL Una típica CI ¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º? Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º pROJO – _____ pAZUL xROJO O

Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM Dado un consumo contingente Y0 xAZUL Prolongamos la línea desde Y0 hasta Y1 Y (renta) media Y1 Y Por convexidad de las preferencias: U(Y)  U(Y0) pROJO – _____ pAZUL Y0 un resultado útil xROJO O E(x)

cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo De nuevo trazamos la línea desde el consumo contingente A... La prima de riesgo xAZUL xROJO La pendiente es el ratio de probabilidades Corta a la diagonal en... ...la renta media Nos sirve para definir... M La prima de riesgo B - pROJO pAZUL A PR= E(x) - x cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo x E(x)

u u(x) La prima de riesgo u(x2) u(Ex) Eu(x ) u( x1 ) x x1 x E(x) x2 Utilidad de dos resultados posibles u El resultado esperado y la utilidad del resultado esperado La utilidad esperada y el equivalente de certeza u(x2) u(Ex) La prima de riesgo de nuevo u(x) Eu(x ) Cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo u( x1 ) x x1 x E(x) x2

La prima de riesgo Depende de: La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x1 y x2, dado p Una aproximación de PR: El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo

Max pu(w-L+q- q)+(1-p)u(w- q) Modelo de Seguros Riqueza w Valor de la propiedad L Probabilidad de pérdida p Prima de seguro por cada euro de cobertura  Dinero recuperado q ¿Cuál será el grado de cobertura óptimo? Max pu(w-L+q- q)+(1-p)u(w- q) CPO:

Modelo de Seguros El beneficio esperado para el asegurador es: p(q-q)+(1-p)q Pero si hay competencia perfecta… p(q-q)+(1-p)q = 0 p= (Prima actuarialmente justa). Entonces… Como u’’(w)<0 (hay máximo): q*=L Si hay riesgo moral…

Modelo de Cartera 2 periodos 2 activos: seguro e incierto Riqueza w a activo incierto y w-a activo seguro Rendimiento activo incierto R (variable aleatoria) Rendimiento activo seguro r=0 ¿Cuál será la demanda del activo incierto? La riqueza del periodo 2: W = a(1+R)+(w-a)(1+r) = w+aR (variable aleatoria) Utilidad esperada: v(a)=Eu(w+aR) CPO: v’(a)=Eu’(w+aR)R v’’(a)=Eu’’(w+aR)R2 < 0 (por aversión al riesgo)

Modelo de Cartera Solución esquina a=0: v’(0)=Eu’(w+0R)R=u’(w)ER Si ER≤0 entonces v’(0) ≤ 0 por aversión estricta… v’(a)<0  a>0 Si ER>0 entonces v’(0) = u’(w)ER > 0 por lo que invertirá…. Eu’(w+aR)R = 0 …hasta que Eu’(w+aR) = 0 ¿Cómo varía a cuando cambia w? Sabemos que Eu’(w+a(w)R)R = 0 Diferenciamos respecto a w: Eu’’(w+aR)R[1+a’(w)R] = 0 por lo que…

Modelo de Cartera A’(w) tendrá el signo del numerador…pero sabemos que este es positivo (nulo o negativo) si la aversión absoluta al riesgo es decreciente (constante, creciente) Supongamos que es decreciente… Si R>0 Si R<0 (lo mismo) por lo que…

Práctica (1) Un consumidor posee una casa valorada en 25 millones de u.m.. La probabilidad de que ésta sea totalmente destruida por un incendio (en cuyo caso perdería todo su valor) es de 0,01. (a) Si las preferencias están representadas por la función de utilidad esperada u(x)=x1/2, donde x es la riqueza del consumidor al final del año, ¿aceptaría el consumidor asegurar completamente la casa por 300.000 u.m.? (b) Suponiendo que el riesgo del incendio sea el mismo para todos los consumidores,¿sería ésta una cuota de seguro aceptable para una compañía de seguros? (suponga que la compañía es neutral con respecto al riesgo).¿Cuál es la cuota máxima de seguro que está dispuesto a pagar el consumidor?¿y la cuota mínima que está dispuesto a ofrecer la compañía?¿qué relación hay entre estas cuotas, el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la lotería que representa la propiedad de la casa sin seguro?

Práctica (2) Un individuo tiene unas preferencias por la función de utilidad esperada u(x)= x1/2, donde x es su riqueza. Se le ofrece una lotería L=(4,9;0.2,0.8), donde las ganancias están expresadas en millones de u.m.. Determine el equivalente de certeza y la prima de riesgo para ese individuo si su riqueza inicial es 0 millones, 50 millones y 100 millones de u.m.¿Y si su función de utilidad esperada fuera u(x)=ln x? Compara y comenta los resultados. ¿Cuál es la relación entre la riqueza y el grado de aversión al riesgo?

Práctica (3) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/3. (a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable? (b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.

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