La Función de Producción

La Función de Producción La función de producción de una empresa para un bien en particular (q) nos muestra cantidad máxima de ese bien que puede producirse usando distintas combinaciones de factores de producción, usualmente capital (k) y trabajo(l) 𝑞=𝑓(𝑘, 𝑙)

El Producto Marginal Para estudiar la variación causada por un solo factor, definimos al Producto Marginal (o Producto Físico Marginal) como el producto adicional que puede ser generado mediante el empleo de una unidad adicional de ese factor, manteniendo la cantidad de los otros factores constante 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙= 𝑃𝑚 𝑘 = 𝜕𝑞 𝜕𝑘 = 𝑓 𝑘 ′ 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜= 𝑃𝑚 𝑙 = 𝜕𝑞 𝜕𝑙 = 𝑓 𝑙 ′

Productividad Marginal Decreciente El Producto Marginal de un factor dependerá de que tanto de ese factor es empleado En general, asumimos que existe una productividad marginal decreciente de ese factor ( al menos en algún punto) Esto no es mas que una “Regularidad Empírica” 𝜕 𝑃𝑚 𝑘 𝜕𝑘 = 𝜕 2 𝑓 𝑘𝑘 ′ 𝜕 𝑘 2 = 𝑓 𝑘𝑘 ′′ <0 𝜕 𝑃𝑚 𝑙 𝜕𝑙 = 𝜕 2 𝑓 𝑙𝑙 ′ 𝜕 𝑙 2 = 𝑓 𝑙𝑙 ′′ <0

Productividad Marginal Decreciente Dada la productividad marginal decreciente, el economista del Siglo XIX, Thomas Malthus genero preocupación acerca del efecto del crecimiento poblacional en la productividad del trabajo Pero los cambios en la productividad laboral del trabajo en el tiempo también depende de los cambios en otros factores, como el capital Debemos por tanto tener en consideración que muchas veces 𝑓 𝑙𝑘 𝑒𝑠>0

Producto Medio(Producto Físico Medio) La productividad del Trabajo es a menudo medida a través de la productividad media (o promedio) 𝑃𝑀 𝑙 = 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 = 𝑞 𝑙 = 𝑓(𝑘,𝑙) 𝑙 Nótese que el 𝑃𝑀 𝑙 , también depende de la cantidad de capital utilizado

Función de Producción de dos factores Supongamos que la producción de matamoscas puede representarse por: 𝑞=𝑓 𝑘,𝑙 =600 𝑘 2 𝑙 2 − 𝑘 3 𝑙 3 Para encontrar 𝑃𝑚 𝑙 y 𝑃𝑀 𝑙 , debemos asumir un valor de k, asumamos 𝑘=10 La función de producción se convierte en: 𝑞=60.000 𝑙 2 −1.000 𝑙 3

Función de Producción de dos factores La función de productividad marginal del trabajo es 𝑃𝑚 𝑙 = 𝜕𝑞 𝜕𝑙 =120.000𝑙−3.000 𝑙 2 La cual disminuye a medida que 𝑙 aumenta Esto implica que 𝑞 tiene un valor máximo en: 120.000𝑙−3.000 𝑙 2 =0 40𝑙= 𝑙 2 𝑙=40 Si se emplea trabajo mas allá de 𝑙= 40, el producto decrece

Función de Producción de dos factores Para encontrar la función de Producto Medio, mantenemos k= 10 y resolvemos 𝑃𝑀 𝑙 = 𝑞 𝑙 =60.000𝑙−1.000 𝑙 2 El 𝑃𝑀 𝑙 alcanza un máximo en: 𝜕 𝑃𝑀 𝑙 𝜕𝑙 =60.000−2.000𝑙=0 𝑙=30

Función de Producción de dos factores De hecho, cuando 𝑙 =30, tanto el 𝑃𝑀 𝑙 como el 𝑃𝑚 𝑙 son iguales a 900.000 Por tanto, cuando el 𝑃𝑀 𝑙 esta en su punto máximo, el 𝑃𝑀 𝑙 y el 𝑃𝑚 𝑙 son iguales

Mapa de Isocuantas Para ilustrar la posible sustitución de un factor por otro sin alterar la producción, usamos un Mapa de Isocuantas Una Isocuanta muestra aquellas combinaciones de 𝑘 y 𝑙 que pueden generar un nivel dado de producción 𝑞 0 𝑓(𝑘,𝑙)= 𝑞 0

Mapa de Isocuantas Cada Isocuanta representa un nivel diferente de producto El producto crece a medida que nos movemos a una Isocuanta superior (al noreste)

La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) La pendiente de la Isocuanta muestra la tasa a la cual 𝑙 puede ser sustituido por 𝑘 sin afectar el producto - Pendiente = Tasa marginal de Sustitución Técnica (TMST) TMST > 0 y es decreciente para mayores cantidades de trabajo

La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) La Tasa Marginal de Sustitución Técnica muestra la tasa a la cual el trabajo puede ser sustituido por capital mientras que el nivel de producto se mantiene constante (nos mantenemos en la misma Isocuanta) 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑘 = 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑙𝑘 = −𝑑𝑘 𝑑𝑙 𝑞= 𝑞 0

La TMST y las Productividades Marginales El diferencial total de la función de producción es: 𝑑𝑞= 𝜕𝑓 𝑑𝑙 𝑑𝑙+ 𝜕𝑓 𝑑𝑘 𝑑𝑘= 𝑃𝑚 𝑙 ∗𝑑𝑙+ 𝑃𝑚 𝑘 ∗𝑑𝑘 A lo largo de la Isocuanta, 𝑑𝑞=0, por tanto 𝑃𝑚 𝑙 ∗𝑑𝑙=− 𝑃𝑚 𝑘 ∗𝑑𝑘 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑘 = 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑙𝑘 = −𝑑𝑘 𝑑𝑙 𝑞= 𝑞 0 = 𝑃𝑚 𝑙 𝑃𝑚 𝑘

La TMST y las Productividades Marginales Dado que tanto 𝑃𝑚 𝑘 como 𝑃𝑚 𝑙 ambas son no-negativas, la TMST será positiva (o cero) Sin embargo, por lo general no es posible derivar una TMST decreciente a partir únicamente del supuesto de productividades marginales decrecientes

La TMST y las Productividades Marginales Para demostrar qua las Isocuantas son convexas, quisiéramos demostrar que 𝑑 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑑𝑙 <0 Dado que𝑇𝑀𝑆𝑇= 𝑓 𝑙 𝑓 𝑘 𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑑𝑙 = 𝑑 𝑓 𝑙 𝑓 𝑘 𝑑𝑙

La TMST y las Productividades Marginales 𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑑𝑙 = 𝑓 𝑘 𝑓 𝑙𝑙 + 𝑓 𝑙𝑘 ∙ 𝑑𝑘 𝑑𝑙 − 𝑓 𝑙 𝑓 𝑘𝑙 + 𝑓 𝑘𝑘 ∙ 𝑑𝑘 𝑑𝑙 𝑓 𝑘 2 Usando el que 𝑑𝑘 𝑑𝑙 = −𝑓 𝑙 𝑓 𝑘 a lo largo de la Isocuanta y el Teorema de Young ( 𝑓 𝑘𝑙 = 𝑓 𝑙𝑘 ) 𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑑𝑙 = 𝑓 𝑘 2 𝑓 𝑙𝑙 −2 𝑓 𝑘 𝑓 𝑙 𝑓 𝑘𝑙 + 𝑓 𝑙 2 𝑓 𝑘𝑘 𝑓 𝑘 3 Dado que asumimos que 𝑓 𝑘 >0. el denominador es positivo Dado que se asume que 𝑓 𝑘𝑘 y 𝑓 𝑙𝑙 son negativos, la razón será negativa si 𝑓 𝑘𝑙 es positiva

La TMST y las Productividades Marginales Intuitivamente parece razonable el que 𝑓 𝑘𝑙 = 𝑓 𝑙𝑘 deba ser positiva Si los trabajadores cuentan con mayor capital serán mas productivos Pero algunas funciones de producción tienen 𝑓 𝑘𝑙 <0 en algunos rangos de usos de factores Cuando asumimos una TMST decreciente, estamos asumiendo que tanto 𝑃𝑚 𝑙 como 𝑃𝑚 𝑘 disminuyen lo suficientemente rápido como para compensar cualquier efecto posible de productividades cruzadas negativas

Una TMST Decreciente 𝑞=𝑓 𝑘,𝑙 =600 𝑘 2 𝑙 2 − 𝑘 3 𝑙 3 Supongamos la siguiente función de producción 𝑞=𝑓 𝑘,𝑙 =600 𝑘 2 𝑙 2 − 𝑘 3 𝑙 3 Para esta función de producción: 𝑃𝑚 𝑙 = 𝑓 𝑙 =1.200 𝑘 2 𝑙−3 𝑘 3 𝑙 2 𝑃𝑚 𝑘 = 𝑓 𝑘 =1.200𝑘 𝑙 2 −3 𝑘 2 𝑙 3 Estas productividades marginales serán positivas para valores de 𝑘 y 𝑙 para los que 𝑘𝑙<400

Una TMST Decreciente 𝑓 𝑙𝑙 y 𝑓 𝑘𝑘 <0 si 𝑘𝑙 >200 Dado que: 𝑓 𝑙𝑙 =1.200 𝑘 2 −6 𝑘 3 𝑙 𝑓 𝑘𝑘 =1.200 𝑙 2 −6𝑘 𝑙 3 Esta función de producción exhibe productividades marginales decrecientes para valores suficientemente grandes de 𝑘 y 𝑙 𝑓 𝑙𝑙 y 𝑓 𝑘𝑘 <0 si 𝑘𝑙 >200

Una TMST Decreciente La diferenciación cruzada de cualquiera de los productos marginales rinde: 𝑓 𝑘𝑙 = 𝑓 𝑙𝑘 =2.400𝑘𝑙−9 𝑘 2 𝑙 2 La cual es positiva solo para valores de 𝑘𝑙<266

Una TMST Decreciente Por tanto, para esta función de producción, la TMST es decreciente a través del rango en el cual las productividades marginales son positivas Para valores mayores de 𝑘 y 𝑙, las productividades marginales decrecientes son suficientes para compensar la influencia de valores negativos de 𝑓 𝑘𝑙 para asegurar la convexidad de las isocuantas

Retornos de Escala ¿Cómo responde el producto a aumentos simultáneos de los factores? Supongamos que se duplica la cantidad de todos los factores ¿Se duplicará el producto? Los retornos de escala han sido del interés de los economistas desde los días de Adam Smith

Retornos de Escala Smith identificó dos fuerzas que operan cuando los factores se duplican? Una mayor división del trabajo y especialización de funciones Perdida en la eficiencia ya que la gerencia se hace mas difícil dada la mayor escala de la empresa

Retornos de Escala Si la función de producción viene dada por 𝑞=𝑓(𝑘,𝑙) y todos los factores son multiplicados por la misma constante (𝑡>1), entonces Efecto en el Producto Retornos de Escala 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 =𝑡𝑓(𝑘,𝑙) Constantes 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 <𝑡𝑓(𝑘,𝑙) Decrecientes 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 >𝑡𝑓(𝑘,𝑙) Crecientes

Retornos de Escala Es posible que una función de producción presente rendimientos contantes de escala para algunos niveles de usos de factores, y retornos crecientes o decrecientes para otros niveles. Los economistas se refieren al grado de retornos de escala en con la noción implícita de que solo un relativamente estrecho margen de variación en el uso de factores y su nivel de producción relacionado esta siendo considerado

Retornos Constantes de Escala Las funciones de producción con retornos constantes de escala son homogéneas de grado uno en los factores 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 = 𝑡 1 𝑓 𝑘,𝑙 =𝑡𝑞 Esto implica que las funciones de productividad marginal son homogéneas de grado cero Nota Si una función es homogénea de grado n, sus derivadas son homogéneas de grado n-1

Retornos Constantes de Escala La productividad marginal de cualquiera de los factores depende de la razón de capital/trabajo, no de los valores absolutos de los factores La TMST entre 𝑘 y 𝑙 depende solo de la razón de 𝑘 a 𝑙, no de la escala de la operación La Función de producción será una homotecia es decir una transformación monótona de una función homogénea de grado 1

Retornos Constantes de Escala Geométricamente todas las Isocuantas son expansiones radiales una de otra Las Isocuantas se espacian de forma igual a medida que el producto se expande

Retornos de Escala Los retornos de escala pueden ser generalizados a un función de producción con n factores 𝑞=𝑓 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 Si todos los factores son multiplicados por una constante positiva 𝑡, tenemos 𝑓 𝑡𝑥 1 , 𝑡𝑥 2 ,…, 𝑡𝑥 𝑛 = 𝑡 𝑘 𝑓 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 = 𝑡 𝑘 𝑞 Si k=1, tenemos rendimientos a escala constantes Si k<1, tenemos rendimientos a escala decrecientes Si k>1, tenemos rendimientos a escala crecientes

Elasticidad de Sustitución La elasticidad de sustitución (σ) mide el cambio proporcional en 𝑘/𝑙 en relación al cambio proporcional el la 𝑇𝑀𝑆𝑇 a lo largo de la Isocuanta 𝜎= Δ% 𝑘 𝑙 Δ%𝑇𝑀𝑆𝑇 = 𝑑 𝑘 𝑙 𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇 ∙ 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑘 𝑙 = 𝜕𝑙𝑛 𝑘 𝑙 𝜕𝑙𝑛𝑇𝑀𝑆𝑇 El valor de σ será siempre positivo ya que k/l y la TMST se mueven en la misma dirección

Elasticidad de Sustitución Tanto la TMST como k/l cambiarán al movernos de A hacia B σ es la razón entre estos cambios proporcionales σ mide la curvatura de la isocuanta

Elasticidad de Sustitución Si σ es alta, la TMST no cambiara mucho en relación a k/l La Isocuanta será relativamente plana Si σ es baja, la TMST cambiará sustancialmente a medida que k/l cambia La curvatura de la Isocuanta será pronunciada Es posible que σ cambie a lo largo de la Isocuanta a medida que la escala de producción cambia

Elasticidad de Sustitución El generalizar la elasticidad de sustituciones al caso de múltiples factores genera diversas complicaciones: Si definimos a la elasticidad de sustitución entre dos factores como el cambio proporcional en la razón entre dichos factores entre el cambio proporcional de la TMST, necesitamos mantener tanto el nivel de producto como el de los otros factores constante

La Función de Producción Lineal Supongamos que la función de producción es: 𝑞=𝑓 𝑘,𝑙 =𝑎𝑘+𝑏𝑙 Esta función de producción presenta rendimientos de escala constantes 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 =𝑎𝑡𝑘+𝑏𝑡𝑙=𝑡 𝑎𝑘+𝑏𝑙 =𝑡𝑓(𝑘,𝑙) Todas las Isocuantas son líneas rectas La TMST es constante σ = ∞

La Función de Producción Lineal El capital y el trabajo son perfectos sustitutos

Proporciones Fijas 𝑞= 𝑚𝑖𝑛 𝑎𝑘,𝑏𝑙 𝑎,𝑏>0 Supongamos que la función de producción es: 𝑞= 𝑚𝑖𝑛 𝑎𝑘,𝑏𝑙 𝑎,𝑏>0 El capital y el trabajo deben siempre ser empleados un una proporción fija La empresa operara siempre a lo largo del vector donde k/l es constante Dado que k/l es constante, σ = 0

Proporciones Fijas la sustitución entre capital y trabajo no es posible

Función de Producción Cobb-Douglas Supongamos que la función de producción es: 𝑞=𝑓 𝑘,𝑙 =𝐴 𝑘 𝑎 𝑙 𝑏 𝐴,𝑎,𝑏>0 Esta función de producción puede presentar cualquier rendimiento de escala 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 =𝐴 (𝑡𝑘) 𝑎 (𝑡𝑙) 𝑏 =𝐴 𝑡 𝑎+𝑏 𝑘 𝑎 𝑙 𝑏 = 𝑡 𝑎+𝑏 𝑓 𝑘,𝑙 Si a + b = 1 ⟹ Retornos de escala constantes Si a + b > 1 ⟹ Retornos de escala crecientes Si a + b < 1 ⟹ Retornos de escala decrecientes

Función de Producción Cobb-Douglas La función de producción Cobb-Douglas es lineal en forma logarítmica: ln 𝑞 = ln 𝐴 +𝑎 ln 𝑘 +𝑏 ln 𝑙 a es la elasticidad del producto con respecto a k b es la elasticidad del producto con respecto a l