Triángulo Órtico

¿Qué es un triángulo órtico? El triángulo órtico ∆EFD es el triángulo que tiene por vértices los pies de las alturas de un triángulo dado ∆ABC, y se le llama triángulo órtico del ∆ABC.

¿Cuáles son sus propiedades? Los triángulos ∆AEF, ∆DBF y ∆DEC son semejantes al ∆ABC. Demostración: Por ser inscriptible el cuadrilátero BCEF, (Justificar)los ángulos AÊF y ABC son ambos suplementarios del ángulo FÊC, por lo que son iguales. Además FÂE = BÂC es común. Se deduce que los triángulos ∆ABC y ∆AEF son semejantes por el 2º criterio de semejanza de triángulos. Y lo mismo puede hacerse con los triángulos ∆DBF y ∆DEC.

Propiedad 2 Si H es el ortocentro de un triángulo ∆ABC y sus alturas cortan a la circunferencia circunscrita a ∆ABC en D’, E’, F’ entonces se cumplen las igualdades: [HD]=[DD’], [HE]=[EE’], [HF]=[FF’]. Demostración Por ejemplo, en el triángulo ∆BHD’ tenemos BHD’ = BFD = AĈB = BD’A = BD’H.(Justificar) En consecuencia, ∆BHD’ es isósceles, y su altura [BD] también es su mediana, por lo que [HD] = [HD’] .

Propiedad 3 El triangulo ∆ D’E’F’ es el resultado de aplicar al triángulo ∆DEF una homotecia de centro H y razón 2. Demostración Por ser [HD]=[DD’] es [HD’] = 2.[HD] y lo mismo para los otros vértices.

Propiedad 4 Cada vértice del ∆ABC es el punto medio del arco determinado en la circunferencia circunscrita por las prolongaciones de las alturas trazadas desde los otros vértices. Demostración Para obtener que A es el punto medio del arco E’F’ basta observar que por ser inscriptible el cuadrilátero BCE’F’, tenemos ABE’=FBE = FCE = F’CA. (Faltan justificaciones, no queda claro por qué es cierto) Como consecuencia, obtenemos que la recta OA es perpendicular a la cuerda E’F’ y por tanto, también es perpendicular al lado EF del triángulo órtico. (Esto no tiene que ver con la demostración. Es aparte)

DÂA’ = A − 2(90◦ − B) = 180◦ − (B + C) − 180◦ + 2B = B − C. Propiedad 5 El ángulo que forma el lado de un triángulo con el lado correspondiente del triángulo órtico es igual a la diferencia de los lados del triángulo dado adyacentes al lado considerado. Demostración En efecto, cuando el triángulo es acutángulo, el ángulo formado por el lado BC con el lado EF del triángulo órtico será el mismo que el formado por la altura AD con el diámetro AA’. Por ser ABD = ABC = AÂ’C, los triángulos rectángulos ∆ABD y ∆AA’C son semejantes, y entonces: DÂA’ = A − 2(90◦ − B) = 180◦ − (B + C) − 180◦ + 2B = B − C. En el caso de que por ejemplo B sea obtusángulo, tenemos: DÂA’ = A + 2 (DÂB) = A + 2 (B−90◦) = (180◦−B−C) + 2B − 180◦ = B−C.

Propiedad 6 El triángulo tangencial y el triángulo órtico de un triángulo son homotéticos. Demostración El triángulo tangencial es el triángulo formado por las rectas tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices del triángulo. Según hemos visto, los lados del triángulo órtico son perpendiculares a los correspondientes radios de la circunferencia circunscrita, y los lados del triángulo tangencial también lo son. De ahí, la propiedad. (Aquí se usa la observación en verde que marqué antes)

Propiedad 7 Las alturas de un triángulo bisecan los ángulos interiores del triángulo órtico. Demostración La recta D’A biseca el ángulo E’D’F’ , y hemos visto que las rectas DE, DF son paralelas a D’F’ , D’E’ por ser homotéticas, así que la recta DA que pasa por el centro de dicha homotecia, biseca el ángulo EDF. De otra forma, también podemos usar los cuadriláteros inscriptibles BDHF, BCEF y CDHE para obtener HDF = HBF = EBF = ECF = ECH = EDH

Corolario Los lados del triángulo bisecan a los ángulos exteriores de su triángulo órtico. Demostración Ya que los lados son perpendiculares a las alturas del triángulo, que son las bisectrices interiores del triángulo órtico, estas son bisectrices de los ángulos exteriores. (Por propiedad de bisectrices interiores y exteriores de un ángulo.)

Corolario Los vértices y el ortocentro de un triángulo son los centros tri-tangentes (incentro y exincentros) de su triangulo órtico. Incentro: el punto de corte de las tres bisectrices o el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. Exincentro: el punto de intersección de las bisectrices de cualesquiera dos de los tres ángulos exteriores de un triángulo.

Rectas Antiparalelas

¿QUE SON LAS RECTAS ANTIPARALELAS? Se dice que dos rectas no paralelas BD y EG son antiparalelas respecto a un ángulo A, sí y solo sí son iguales los ángulos formados entre las rectas en lados opuestos de la bisectriz del ángulo A.

PROPIEDADES Propiedad 1 Los ángulos ABC y AGE son congruentes. Al igual que ADC y AÊF. Demostración Esto es fácilmente demostrable, ya que teniendo el ∆ABC y el ∆AFG dos ángulos iguales, AFG y ACB por lo visto en la definición; BÂC es igual FÂC porque son los dos ángulos formados por una bisectriz, entonces podemos decir que ∆ABC ~ ∆AFG, por lo tanto, ABC = AGE . El mismo proceso se puede usar para demostrar la congruencia de ADC y AÊF. Por esta propiedad podemos decir que todas las rectas que atraviesan los pies de dos alturas de un triángulo son antiparalelas respecto del tercer lado.

Corolario 1 Si se forma un cuadrilátero por el corte de las 4 rectas, éste (BDEG) es siempre inscriptible. Demostración Como B^DG es suplementario de A^DB entonces B^DG = 180º - A^DB y como E^BD es suplementario de A^BD entonces, E^BD = 180º – A^BD y por lo visto en la propiedad anterior, A^BD = D^GF y BÊG = A^DB, entonces la suma de los ángulos opuestos es igual a 180º.

Propiedad 3 El corte de las bisectrices de los ángulos formados entre antiparalelas forma un ángulo recto. Demostración Sabiendo por definición que los ángulos A^CB y A^FG son congruentes, entonces podemos decir que tanto H^CF y H^FC también lo son por ser suplementarios. Entonces HCF es isósceles y sabiendo que la altura del vértice que forman los lados iguales de un isósceles es también su mediana y bisectriz, demostramos que H^KF es de 90º

Corolario 2 Demostrada la propiedad anterior, podemos afirmar que [LK] = [KM] y [CK] = [KF], por ende el cuadrilátero LCMF inscrito en BDEG, es un rombo.

bibliografía Recuperado de: apolonio.es www.x.edu.uy www.oei.es www.matetam.com mathworld.wolfram.com “El triángulo órtico en el Court” - Francisco Javier García Capitán Las direcciones deben estar completas y con el nombre del autor si es posible.