Integración con software y tablas Opciones para integrar en la práctica profesional

Integrando con GeoGebra Abrimos el programa

Pulsamos en la flecha de la derecha

Elegimos “CAS y gráficos”

Introducimos la función en la celda de cálculo. En este caso es

Apretamos el botón para derivadas e integrales

Elegimos “Integral”

Sale el resultado (incluyendo la constante). En este caso, como dio una función bastante larga tuvimos que correr el borde derecho de la celda un poco para verla completa.

Apretando en el circulito bajo el número de celda se obtiene la representación gráfica de esta primitiva. En ella GeoGebra usa el caso particular en que la constante vale 0.

Si queremos obtener una integral definida, tenemos que escribir un comando. El formato es Integral[,, ].

Apretamos Enter y obtenemos el resultado:

Integrando con tablas En el texto usado por la cátedra, Cálculo – Trascendentes tempranas, 6ª ed., de James Stewart, se provee una tabla de fórmulas de integración básicas (página 484) y luego una extensa tabla de expresiones que cubren un amplio espectro de casos agrupados según sus características (página de referencia 6 y subsiguientes, al final del volumen). Estas fórmulas fueron obtenidas por los matemáticos aplicando técnicas como las que hemos aprendido en el curso y otras más que no hemos desarrollado. Aunque su buen uso alivia mucho el trabajo de un ingeniero, el alumno de Cálculo II deberá demostrar, en informes, trabajos prácticos, parciales y el coloquio, que es capaz de integrar por sus propios medios las expresiones relativamente sencillas que se le propondrán. En estas tablas se usa la convención de que x o u representan a las variables, y a y b representan constantes reales. Cuando aparezcan estas últimas, tendremos que tener cuidado de ver qué valores les asignamos de acuerdo al problema concreto que estemos abordando. En otros casos deberemos ver cómo adaptamos un integrando para que se parezca a alguno de los que figuran en la tabla.

Ejemplo 1 Determinar el área de un círculo de radio R. Sabemos que la expresión de una circunferencia de radio R centrada en el origen es x 2 + y 2 = R 2. Consideraremos la parte de esta circunferencia ubicada en el 1º cuadrante; al integrar su expresión como función obtendremos el área de un cuarto de círculo. x y R R

Ejemplo 1 (cont.) Aquí vamos a la página de referencia 7, fórmula 30. Ella expresa que: x y R R Luego, en nuestro caso:

Ejemplo 1 (cont.) Esta es el área de un cuarto de círculo, de manera que: x y R R Tal como nos enseñaron en la primaria.

Ejemplo 2 En capítulos posteriores de nuestro estudio del Cálculo, veremos que la longitud de la gráfica de una función f(x), entre a y b, viene dada por la siguiente integral: Determinar la longitud de la gráfica de la función f(x) = x 2, con x entre 0 y 1. Tendremos:

Ejemplo 2 (cont.) Para resolver esta integral: La lástima es que en la integral tenemos 4x 2, no el x 2 “pelado”. No problem, sacamos el 4 fuera de la raíz: Observamos que en la página de referencia 6, fórmula 21, está la expresión: