PPTCEG035EM32-A15V1 EM-32 Poliedros

Resumen de la clase anterior Planos en el espacio Ecuación general del plano 𝒫: Ax + By + Cz + D = 0 Ecuación paramétrica del plano Ecuación vectorial del plano (x, y, z) = P0 + λ ·(P1 – P0) + μ·(P2 – P0) x = x0 + λ·(x1 – x0 ) + μ·(x2 – x0) y = y0 + λ·(y1 – y0 ) + μ·(y2 – y0) z = z0 + λ·(z1 – z0 ) + μ·(z2 – z0) Características del cubo N° de caras = 6 N° de vértices = 8 N° de aristas = 12 Área = 6 · arista2 Volumen = arista3     Posiciones relativas en el espacio Coincidencia Perpendicularidad Paralelismo

Aprendizajes esperados • Clasificar cuerpos geométricos. Calcular áreas y volúmenes de poliedros.

Pregunta tipo PSU El volumen de un paralelepípedo mide 96 cm3. Si el ancho y el largo miden 6 y 8 cm, respectivamente, entonces ¿cuánto mide el área de dicho cuerpo? A) 2 cm2 B) 48 cm2 C) 76 cm2 D) 96 cm2 E) 152 cm2

1. Cuerpos geométricos 2. Poliedros

1. Cuerpos geométricos Definición Un cuerpo geométrico o sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos). Ejemplos:

1. Cuerpos geométricos Definición Cada cuerpo geométrico o sólido tiene volumen y área. Volumen: cantidad de espacio que ocupa o que es capaz de contener. Área total: suma de todas las superficies que limitan el cuerpo geométrico.

2. Poliedros Definición Cuerpo tridimensional delimitado por caras poligonales planas. A la línea en la que se intersectan dos caras se le llama arista y al punto en el que concurren tres o más aristas se le llama vértice. vértice arista cara

2. Poliedros Cubo o hexaedro regular Poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes. arista (a) Área = 6a2 Volumen = a3 Cubo o hexaedro regular 6 8 12 Nº de caras Nº de vértices Nº de aristas

2. Poliedros Cubo o hexaedro regular Ejemplo: Determinar el área y volumen de un cubo cuya arista mide 3 cm. A = 6a2 A = 6∙(3)2 3 A = 54 cm2 V = a3 V = 33 V = 27 cm3

2. Poliedros Paralelepípedo Poliedro formado por 6 caras que son paralelogramos. Las tres parejas de caras opuestas son paralelas y congruentes entre sí. Largo (l) alto (h) ancho (a) Volumen = l · a · h Área = 2(a·l + a·h + l·h)

2. Poliedros Paralelepípedo Ejemplo: Determinar el volumen de una piscina cuyo largo, ancho y alto miden 3, 2 y 2,5 metros respectivamente. Solución: Volumen = l · a · h Volumen = 3 · 2 · 2,5 Volumen = 15 m3

2. Poliedros Paralelepípedo Ejemplo: Calcular el área y el volumen de una caja de zapatos de 20 cm de ancho, 30 cm de largo, y 10 cm de alto. Para el área se tiene: Área = 2(largo  ancho + largo  alto + ancho  alto) Área = 2(30  20 + 30  10 + 20  10) Área = 2(600 + 300 + 200) Para el volumen se tiene: Área = 2 · (1.100) Volumen = largo  ancho  alto Área = 2.200 cm2 Volumen = 30  20  10 Volumen = 6.000 cm3

2. Poliedros Prismas Sólido compuesto por dos polígonos paralelos y congruentes llamados bases y paralelógramos que unen las bases denominadas caras.   Prisma triangular Prisma cuadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal Área = 2 · Área basal + Área caras (área lateral) Volumen = Área basal · altura

2. Poliedros Prismas Ejemplo: Calcula el área y volumen de un prisma de 10 cm de altura y cuya base es un rombo de diagonales 6 y 8 cm. Área = 2 · Área basal + Área caras (área lateral) Área = 2 · 24 + 4  50 = 48 + 200 = 248 cm2 Área = 2 · + 4 · (5 · 10) Volumen = Área basal · altura Volumen = 24 10 Volumen = 240 cm3

Pirámide cuadrangular 2. Poliedros Pirámides Sólido compuesto por un polígono llamado base y caras triangulares que coinciden en un vértice. Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal Volumen =  · área basal · altura Área = Área basal + Área caras (área lateral)

2. Poliedros Pirámides Ejemplo: Calcula el área y volumen de un pirámide regular de 6 12 cm de altura y de base cuadrada de lado 3 10 cm. Área = Área basal + Área caras (área lateral) Área = 100 + 260 = 360 cm2 Área = 10 · 10 + 4 · Volumen = · área basal · altura Volumen = · 100 · 12 Volumen = 400 cm3

Pregunta tipo PSU El volumen de un paralelepípedo mide 96 cm3. Si el ancho y el largo miden 6 y 8 cm, respectivamente, entonces ¿cuánto mide el área de dicho cuerpo? A) 2 cm2 B) 48 cm2 C) 76 cm2 D) 96 cm2 E) 152 cm2 ALTERNATIVA CORRECTA E

Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 D Cuerpos geométricos Aplicación 2 A Comprensión 3 E 4 B ASE 5 6 C 7 8 9 10 11 12

Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 A Cuerpos geométricos Aplicación 14 C 15 E Comprensión 16 B 17 18 D 19 ASE 20 21 22 23 24 25

Cuerpos geométricos Síntesis de la clase Poliedros a Cubo Á = 6a2 Vol = a3 Prisma Pirámide Á = 2 · Á basal + Á caras Á = Á basal + Á caras Vol =  ·Á basal · altura Vol =  Á basal · altura Paralelepípedo h l a Vol = l · a · h Á = 2(a·l + a·h + l·h)

Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Cuerpos redondos

Equipo Editorial Matemática ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414