MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Objetivos: Ordenar y agrupar datos en una tabla. Construir histogramas y polígonos de frecuencias, basados en los datos recopilados. Calcular e interpretar las medidas de tendencia central. Aplicar la Estadística Descriptiva en la resolución de problemas de la vida real. Analizar gráficos y tablas de datos.

Contenidos Definición: 2. Distribución de frecuencias 1.1 Estadística 1.2 Población 1.3 Muestra 1.4 Variable estadística, cualitativa y cuantitativa 2. Distribución de frecuencias 2.1 Distribución de frecuencias en datos NO agrupados 2.2 Distribución de frecuencias en datos agrupados

3. Gráficos estadísticos 3.1 Gráfico de barras 3.2 Histogramas 3.3 Polígonos de frecuencia 3.4 Gráficos circulares 4. Medidas de tendencia central 4.1 Moda 4.2 Mediana 4.3 Media aritmética o promedio 5. Medidas de dispersión 5.1 Desviación típica o estándar

1. Definición: 1.1 Estadística 1.2 Población 1.3 Muestra Es una herramienta matemática que permite recopilar, organizar, presentar y analizar datos obtenidos de un estudio estadístico. 1.2 Población Colección o conjunto de personas, objetos o eventos que poseen características comunes, cuyas propiedades serán analizadas. 1.3 Muestra Subconjunto de la población que comparte una determinada característica.

1.4 Variable estadística Información a recopilar, en ella se describen las características de la muestra. Existen dos tipos: Cualitativas y Cuantitativas Cualitativas: Las variables cualitativas tienen características no numéricas. Por ejemplo: color de pelo, sexo, estado civil, etc. Cuantitativas: Las variables cuantitativas tienen características numéricas. Por ejemplo: edad, estatura, número de hijos, etc. Cuantitativa discreta: Son aquellas a las que se les puede asociar un número entero y es imposible fraccionar. Por ejemplo: número de hijos, número de automóviles. Cuantitativa continua: Son aquellas a las que se les puede asociar cualquier número real. Por ejemplo: peso, estatura, tiempo.

2. Distribución de frecuencias Ordenamiento de datos cuando en un estudio estadístico se recopila una gran cantidad de ellos . Existen dos tipos de distribución de frecuencias, con datos no agrupados y con datos agrupados. Rango: Es la diferencia entre el dato mayor y el menor. 2.1 Distribución en datos NO agrupados Se utiliza preferentemente cuando las opciones de la variable son pocas . Ejemplo: Al lanzar un dado 10 veces, se obtuvo la siguiente información: 1 – 6 – 4 – 3 – 1 – 2 – 6 – 5 – 1 – 3 Frecuencia: Corresponde a la cantidad de veces que se encuentra un dato en una muestra. Rango: 6 – 1 =5

Al construir la tabla de frecuencias, se obtiene: 1 – 6 – 4 – 3 – 1 – 2 – 6 – 5 – 1 – 3 Al construir la tabla de frecuencias, se obtiene: Número Frecuencia 1 3 2 4 5 6 Al sumar la columna frecuencia, se obtiene el total de datos (n). Total datos: 10.

2.2 Distribución en datos agrupados Se utiliza cuando la variable ofrece una gran gama de posibilidades, si es cuantitativa continua, debemos agrupar los datos en intervalos semiabiertos, excepto el último, que es cerrado. Al agrupar los datos en intervalos, se debe calcular la “marca de clase”. Corresponde al promedio entre los extremos del intervalo. Ejemplo: Peso (Kg.) Frecuencia Marca de clase [55,59[ 2 57 [59,63[ 5 61 [63,67[ 3 65 [67,71[ 7 69 [71,75] 4 73 A: Amplitud=Longitud del Intervalo R N I R: Rango A= N I: Número de Intervalos

Tablas de datos no agrupados MODA: Es el dato que mas se repite, es decir, es aquel que posee la mayor frecuencia absoluta, Si ningún dato se repite la tabla no tiene moda o si mas de dos datos poseen la mayor frecuencia absoluta esos datos serian la moda La moda se aplica para obtener información sobre el punto donde hay mayor concentración de datos

Tablas de datos no agrupados MEDIANA: En un conjunto de datos numéricos ordenados en forma creciente o decreciente, es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores). Si la muestra esta compuesta por un numero impar de datos la mediana es el dato central Si la muestra esta compuesta por un numero par de datos la mediana es el promedio de los dos datos centrales

Tablas de datos no agrupados PROMEDIO O MEDIA ARITMETICA: El promedio de n datos es el cuociente entre la suma de los n datos, divididos por n Ejemplo: 5, 8, 12, 4, 6, 8 5+8+12+4+6+7= 42/6= 7 Luego el promedio es 7

Observación: En datos cualitativos no tiene sentido Ejercicio: 24, 25, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 35, 37

Tablas de datos agrupados MARCA DE CLASE: Corresponde al promedio de los extremos de los intervalos

Clases Marca de Clase 118 – 126 3 122 127 – 135 5 8 131 136 – 144 9 17 Frecuencias Acumuladas Marca de Clase 118 – 126 3  122 127 – 135 5 8  131 136 – 144 9 17  140 145 – 153 12 29  149 154 – 162 34  158 163 – 171 4 38  167 172 - 180 2 40  176

Tablas de datos agrupados PROMEDIO: Se calcula sumando todos los productos de marca de clase con la frecuencia absoluta respectiva y su resultado dividirlo por el número total de datos, es decir:

Frecuencia absoluta (fi) Ejemplo 1   Frecuencia absoluta (fi) Marca de Clase (xi) [60 - 63[ 5 61,5 [63 - 66[ 18 64,5 [66 - 69[ 42 67,5 [69 - 72[ 27 70,5 [72 - 75] 8 73,5

Promedio: 67,95

Ejemplo 2 Clases Marca de Clase 118 – 126 3 122 127 – 135 5 8 131 Frecuencias Acumuladas Marca de Clase 118 – 126 3  122 127 – 135 5 8  131 136 – 144 9 17  140 145 – 153 12 29  149 154 – 162 34  158 163 – 171 4 38  167 172 - 180 2 40  176

Promedio: 146,9 147

MEDIANA – tablas de frecuencias agrupadas en intervalos de clase En el caso de variables continuas, las clases vienen dadas por intervalos, y aquí la fórmula de la mediana se complica un poco más debido a que supone una interpolación de datos.

Fórmula para interpolar: donde: Li = límite inferior del intervalo mediano N= total de observaciones de la población Fiant= frecuencias acumuladas en la clase anterior del intervalo mediano fi= frecuencia absoluta simple del intervalo mediano Ai = amplitud del intervalo mediano

MEDIANA - Propiedades Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada por las observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma la variable, sino del orden de las mismas. Por ello es adecuado su uso en distribuciones asimétricas. Es de cálculo rápido y de interpretación sencilla. A diferencia de la media, la mediana de una variable discreta es siempre un valor de la variable que estudiamos (ej. La mediana de una variable número de hijos toma siempre valores enteros). Es función de los intervalos escogidos. Puede ser calculada aunque el intervalo inferior o el superior no tenga límites. En variables ordinales puede ser calculada pero sólo indica una clase dentro de la distribución. Por ejemplo, si se analiza el nivel educativo podría suceder que al menos el 50% tienen estudios de cuando más (por ejemplo) secundaria, porque se alcanza este porcentaje en esta categoría de la variable.

Frecuencias Acumuladas Veamos un ejemplo: Clases Frecuencias Frecuencias Acumuladas Marca de Clase 118 – 126 3  122 127 – 135 5 8  131 136 – 144 9 17  140 145 – 153 12 29  149 154 – 162 34  158 163 – 171 4 38  167 172 - 180 2 40  176

MODA - Propiedades Es muy fácil de calcular ( o identificar) Puede no ser única (distribución unimodal, bimodal, etc). Es función de los intervalos elegidos a través de su amplitud, número y límites de los mismos. Aunque el primero o el último de los intervalos no posean extremos inferior o superior respectivamente, la moda puede ser calculada.

Tablas de datos agrupados Observación: El intervalo donde la frecuencia absoluta es la mas grande se llama intervalo modal. Para obtener la moda para datos agrupados, podemos seguir los siguientes pasos: 1º Identificar el intervalo modal, en este caso es 32 - 37, con una frecuencia de 45 personas.

Tablas de datos agrupados 2º Identificar las frecuencias absolutas del intervalo anterior y posterior al intervalo modal. En este caso, el intervalo anterior corresponde a 26 - 31, con una frecuencia de 30 personas; y el intervalo posterior a 38 - 43, con una frecuencia de 40 personas.

Tablas de datos agrupados 3º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo anterior (d1). Entonces, tenemos que, 45 – 30 = 15. 4º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo posterior (d2). Entonces, tenemos que, 45 – 40 = 5.

Tablas de datos agrupados 5º Obtener la amplitud de los intervalos 6º Obtener el número que representa el extremo inferior del intervalo modal (Li ).

Luego, el cálculo de la moda se puede obtener por medio de la expresión:

Veamos un ejemplo Ejemplo: En una empresa, las edades del personal se resumen en la siguiente tabla.

Moda: 36

Frecuencia Absoluta (fi) Ejemplo 2:   Frecuencia Absoluta (fi) Marca de Clase (xi) [60 - 63[ 5 61,5 [63 - 66[ 18 64,5 [66 - 69[ 42 67,5 [69 - 72[ 27 70,5 [72 - 75] 8 73,5

Moda: 67.8

Las estaturas de los y las estudiantes de un 8º Básico se resumen en la siguiente tabla. Complétala. Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.

Ejemplo Las inversiones anuales, en miles de dólares, de una muestra de 40 empresas fueron: 31 17 27 20 10 34 25 28 4 24 15 39 18 30 26 12 46 41 18 23 36 19 29 37 27 27 24 33 26 31 25 28 33 28 23 31 29 22 35 21 Determine las medidas de tendencia central: media, mediana y moda. Interprete los resultados.

Solución: n = 40, Xmax = 46, Xmin = 4, entonces: Rango = R = 46 – 4 = 42. 2. √ 40 = 7 3. Amplitud = 42 / 7 = 6.

Título: “Inversión anual de empresas” Unidades: miles de dólares. Frecuencias Frecuencias Intervalo mi Conteo absolutas acumuladas fi hi Fi Hi  4, 10 7 / 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 /// 3 0,075 4 0,100 16, 22 19 //// / 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 //// //// // 12 0,300 22 0,550 28, 34 31 //// //// / 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 //// 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 // 2 0,050 40 1,000 Total 40 1,000

Ejemplo: Título: “Inversión anual de empresas” Unidades: miles de dólares. Frecuencias Frecuencias Intervalo mi absolutas acumuladas fi fri Fi Fri  4, 10 7 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 3 0,075 4 0,100 16, 22 19 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 12 0,300 22 0,550 28, 34 31 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 2 0,050 40 1,000 40 1,000

1°Hallamos n:2=20 y buscamos en Fi que clase lo contiene. Ejemplo: Título: “Inversión anual de empresas” Unidades: miles de dólares. Frecuencias Frecuencias Intervalo mi absolutas acumuladas fi hi Fi Hi  4, 10 7 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 3 0,075 4 0,100 16, 22 19 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 12 0,300 22 0,550 28, 34 31 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 2 0,050 40 1,000 40 1,000 1°Hallamos n:2=20 y buscamos en Fi que clase lo contiene. Li = 22 fmediana=12 F i-1 =10

1°Hallamos la clase modal Ejemplo: Título: “Inversión anual de empresas” Unidades: miles de dólares. Frecuencias Frecuencias Intervalo mi absolutas acumuladas fi hi Fi Hi  4, 10 7 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 3 0,075 4 0,100 16, 22 19 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 12 0,300 22 0,550 28, 34 31 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 2 0,050 40 1,000 40 1,000 1°Hallamos la clase modal Li = 22 d1=12-6=6 d2=12-11=1

Ejercicio Propuesto:

Ejercicio Propuesto: A continuación, se muestra el promedio obtenido en Matemática por los alumnos y las alumnas de un curso: 4,4 - 5,5 - 5,0 - 4,9 5,9 - 6,0 - 4,2 - 6,8 - 7,0 - 6,1 - 7,0 - 3,7 - 4,5 4,8 - 6,3 - 4,1 - 3,4 - 5,3 - 5,0 - 6,0 - 2,6 - 3,8 4,0 - 2,0 - 5,6 - 6,7 - 6,0 - 4,9 - 3,3 - 7,0 - 6,3 5,0 a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cinco intervalos. b) Determina la media aritmética y moda.

Ejercicio Propuesto: Los datos que a continuación se presentan corresponden al número de llamadas telefónicas que un grupo de personas realiza durante el día. 0, 1, 2, 4, 3, 5, 10, 6, 13, 9, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 6, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 12, 7, 11, 3, 20 a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cinco intervalos. b) Determina la media aritmética y moda.