TEORÍA de CIRCUITOS I Año 2010 UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE INGENIERÍA ÁREA DEPARTAMENTAL ELECTROTECNIA TEORÍA de CIRCUITOS I Año 2010 Clase IV Ing. Eduardo Ariel Ponzano Jefe de Trabajos Prácticos

Cuadripolos Definición: Configuración arbitraria de elementos de circuitos (comúnmente llamada “Caja Negra”) accesibles a través de dos pares de terminales o “PUERTOS” (Entrada – Salida). CUADRIPOLO Sólo interesan en el análisis las tensiones y corrientes en los puertos de entrada y salida, no los valores internos de esos parámetros El problema se reduce a relacionar esas tensiones y corrientes, expresando mediante dos ecuaciones dos de tales variables (Dependientes) en función de las otras dos (Independientes). Los coeficientes de las ecuaciones son los parámetros característicos del cuadripolo. Su significado físico y unidades de medida dependen de cuales variables se adopten como dependientes, y cuales como independientes. Las convenciones para tensiones y corrientes en los puertos, son las que se muestran en la figura. Respetarlas permite generalizar el análisis y estandarizar las ecuaciones.

Restricciones La corriente que entra a un puerto debe ser igual a la que sale del mismo (I1 = - I1’ e I2 = - I2’). En ausencia de excitación externa no hay energía almacenada en el cuadripolo. No existen fuentes independientes dentro del cuadripolo; sin embargo, se permiten las fuentes dependientes. Las soluciones planteadas son sólo válidas para régimen permanente continuo o sinusoidal. Todas las conexiones externas deben hacerse en el puerto de entrada y/o en el puerto de salida; ninguna conexión se permite entre puertos. Los terminales de entrada sólo se vinculan con los de salida a través del cuadripolo. Estas restricciones sólo limitan la gama de problemas a los cuales es aplicable el método de cuadripolos o circuitos de dos puertos. Es frecuente verificarlas en la práctica.

Clasificación Pasivos; Energíaentrada < Energíasalida Activos; Energíaentrada puede ser > Energíasalida Balanceados, poseen eje de simetría longitudinal. Simétricos, poseen eje de simetría transversal. Asimétricos, no poseen eje de simetría. Por comportamiento Energético Por topología

Ecuaciones Posibles Transferencia o Transmisión: Expresa entrada en función de salida o salida en función de entrada. U1 = a11 U2 - a12 I2 ó U1 = a U2 - b I2 ó U2 = b11 U1 - b12 I1 I1 = a21 U2 - a22 I2 ó I1 = c U2 - d I2 ó I2 = b21 U1 - b22 I1 Impedancia: Expresa tensiones en función de corrientes. U1 = z11 I1+ z12 I2 U2 = z21 I1 + z22 I2 Admitancia: Expresa corrientes en función de tensiones. I1 = y11 U1+ y12 U2 I2 = y21 U1 + y22 U2  Híbridas: “Parámetros h” U1= h11 I1+ h12 U2 I2 = h21 I1+ h22 U2 “Parámetros γ”  I1 = g11 U1 + g12 I2 U2= g21 U1 + g22 I2 menos usadas Los coeficientes de las variables independientes se denominan “parámetros característicos” del cuadripolo.

Obtención de los Parámetros Característicos Puede realizarse de diferentes maneras: Aplicando las definiciones de los parámetros a partir de mediciones. Por ejemplo, para la matriz Z: A través del conocimiento interno del cuadripolo, en cuyo caso se caracteriza su comportamiento mediante un sistema de dos ecuaciones, cuyos coeficientes se comparan con los correspondientes a la definición de los parámetros. Por equivalencia entre parámetros, dado que si se conoce un juego de parámetros, a partir de él puede deducirse cualquier otro.

Ecuaciones , Matrices y Modelos de Circuitos

Teorema de Reciprocidad Un cuadripolo se dice recíproco, si pueden intercambiarse la fuente de tensión (o corriente) ideal y el amperímetro (o voltímetro) ideal, sin que ello modifique la indicación del amperímetro (o voltímetro): Si el cuadripolo es recíproco, se cumplen las siguientes condiciones entre sus parámetros: Z12 = Z21 Y12 = Y21 a11a22 - a12a21 = 1 b11b22 - b12b21 = 1 h12 = - h21 g12 = - g21 Por lo tanto, en un “cuadripolo recíproco” sólo hacen falta tres cálculos para determinar todos sus parámetros.

Condición de Simetría Un cuadripolo recíproco es simétrico, si es posible intercambiar sus puertos (Entrada por salida y salida por entrada) sin alterar las tensiones y corrientes en cada uno de ellos. Se cumplen las siguientes relaciones adicionales entre sus parámetros: Z11 = Z22 Y11 = Y22 a11 = a22 b11 = b22 - b12b21 = 1 h11h22 - h12h21 = 1 g11g22 - g12g21 = 1   Por lo tanto, en un cuadripolo recíproco y simétrico, sólo se requieren dos cálculos para determinar todos sus parámetros.

Asociación de Cuadripolos

Asociación de Cuadripolos

Conversión de parámetros Pueden demostrarse las siguientes equivalencias entre parámetros:

Análisis del Cuadripolo Cargado El análisis del circuito completo puede realizarse a partir del siguiente sistema de ecuaciones: U1 = Eg - I1 Zg U2 = - I2 ZL Sistema de ecuaciones del cuadripolo El análisis del circuito usualmente procura determinar uno o varios de los siguientes valores: impedancia de entrada Ze = U1 / I1 corriente de carga I2 equivalente Thévenin respecto al puerto de salida ganancia de corriente I2 / I1 ganancia de tensión U2 / U1 ganancia de tensión U2 / Eg

Análisis del Cuadripolo Cargado Para hallar cada uno de ellos; usaremos en este ejemplo como sistema de ecuaciones del cuadripolo, su matriz Z U1 = z11 I1+ z12 I2 (1) U2 = z21 I1 + z22 I2 (2) U1 = Eg - I1 Zg (3) U2 = - I2 ZL (4)   Impedancia de entrada Ze = U1 / I1 Reemplazando (4) en (2) y despejando I2 - I2 ZL = z21 I1 + z22 I2 (5) - I2 (ZL + z22) = z21 I1 (6) I2 = - z21 I1 / (ZL + z22) (7) Reemplazando (7) en (1) y despejando obtenemos Ze : U1 = z11 I1+ z12 z21 I1 / (ZL + z22) (8) U1 = I1 [z11 + z12 z21 / (ZL + z22)] (9) Ze =U1 / I1 = z11 + z12 z21 / (ZL + z22) (10)

Análisis del Cuadripolo Cargado Corriente de carga I2 Reemplazando (3) en (1) y despejando I1: Eg - I1 Zg = z11 I1+ z12 I2 (9) I1 (Zg + z11) = Eg - z12 I2 (10) I1 = (Eg - z12 I2)/ (Zg + z11) (11) Reemplazando (11) en (7) y se obtiene I2: I2 = - z21 (Eg - z12 I2) / [(Zg + z11) (ZL + z22)] (12) I2 [(Zg + z11) (ZL + z22)] = - z21 (Eg - z12 I2) (13) I2 [(Zg + z11) (ZL + z22)] = - z21 Eg + z12 z21 I2 (14) I2 [(Zg + z11) (ZL + z22) - z12 z21] = - z21 Eg (15)   Finalmente: I2 = - z21 Eg / [(Zg + z11) (ZL + z22) - z12 z21] (16)

Análisis del Cuadripolo Cargado Equivalente Thevenin respecto del puerto de salida Para determinar la tensión de Thevenin vista desde los bornes de salida, desconectamos ZL, con lo cual I2 pasa a ser nula. Así hallamos ETH como la tensión a circuito abierto entre los terminales 2. Con la condición I2 igual a cero, las ecuaciones del cuadripolo (1) y (2) quedan así U1 = z11 I1 (17) U2 = z21 I1 (18) Despejando I1 de (17) y reemplazando en (18) U2I2=0 = z21 U1 / z11 (19) Pero de (3) U1 = Eg - I1 Zg y de (11) con I2 nula I1 = Eg / (Zg + z11), de donde: U1 = Eg – [Eg / (Zg + z11)] Zg (20) U1 = [Eg (Zg + z11) – Eg Zg] / (Zg + z11) (21) U1 = Eg z11 / (Zg + z11) (22) Reemplazando (22) en (19), se obtiene ETH ETH = U2I2=0 = z21 Eg z11 / [(Zg + z11) z11 ] (23)  Finalmente:   ETH = z21 Eg / (Zg + z11) (24)

Análisis del Cuadripolo Cargado Equivalente Thevenin respecto del puerto de salida Para hallar la ZTH debemos pasivar el dipolo accesible desde los bornes 2, lo cual logramos haciendo Eg = 0. En esas condiciones la (3) queda: U1 = - I1 Zg (25) Reemplazando (25) en (1) - I1 Zg = z11 I1+ z12 I2 (27) I1 = - z12 I2 / (z11 + Zg) (28) Reemplazando (28) en la (2), obtenemos ZTH U2 = - z21 z12 I2 / (z11 + Zg) + z22 I2 (29) ZTH = U2 / I2Eg=0= z22 - z21 z12 / (z11 + Zg) Siendo la expresión final de la impedancia de Thevenin:   ZTH = z22 - z21 z12 / (z11 + Zg) (30)

Análisis del Cuadripolo Cargado Ganancia de corriente I2 / I1 Se la obtiene de (7): I2 / I1 = - z21 / (ZL + z22) (31)   Ganancia de tensión del cuadripolo U2 / U1 Despejando I2 de (4) y reemplazando el resultado en (2): U2 = z21 I1 + z22 (- U2 / ZL) (32)    Despejando I1 de (1) y reemplazando I2 por (- U2 / ZL) surge que: z11 I1 = U1 + z12 (U2 / ZL) (33) I1 = U1 / z11 + z12 U2 / (z11 ZL) (34) Reemplazando la (34) en (32): U2 = z21 [U1 / z11 + z12 U2 / (z11 ZL)] - z22 ( U2 / ZL) (35) U2 [1- z21 z12 / (z11 ZL) + z22 ( U2 / ZL) ]= z21 U1 / z11 U2 [z11 ZL - z21 z12 + z11 z22 ] / (z11 ZL) = z21 U1 / z11 (36) Despejando: U2 / U1 = z21 ZL / (z11 ZL - z21 z12 + z11 z22) (37)

Análisis del Cuadripolo Cargado Ganancia de tensión del circuito U2 / Eg Combinamos (1), (3) y (4) despejando I1 en función U2 y Eg Eg - I1 Zg = z11 I1 - z12 U2 / ZL (38) (z11 + Zg) I1 = Eg + z12 U2 / ZL (39) I1 = Eg / (z11 + Zg) + z12 U2 / [ZL (z11 + Zg)] (40) Reemplazando la (40) en (2) y recordando que I2 = - U2 / ZL U2 = z21 {Eg / (z11 + Zg) + z12 U2 / [ZL (z11 + Zg)]} - z22 U2 / ZL (41) U2 { 1 + z22 / ZL - z12 / [ZL (z11 + Zg)] } = Eg z21/ (z11 + Zg) (42) U2 [ ZL (z11 + Zg) + z22 (z11 + Zg) - z12]/ [ZL (z11 + Zg)] = Eg z21/ (z11 + Zg) (43)   Con lo cual la ganancia de tensión a la salida del cuadripolo respecto de la tensión del generador es:   U2 / Eg = z21 ZL/ [ (ZL + z22) (z11 + Zg) - z12z21 (44)

CUESTIONARIO Definir y explicar los siguientes conceptos: a)¿Cómo se clasifican los cuadripolos? b)¿Qué problemas básicos se resuelven con la teoría de cuadripolos? c)¿Qué teorema cumplen los cuadripolos pasivos bilaterales? d)¿Qué relación cumplen los coeficientes de la matriz γ? e)¿Cómo se calculan en general los coeficientes de las matrices que representan cuadripolos? f)Obtener a partir de mallas y/o nodos las formulas de los parámetros Z y/o Y de un cuadripolo.

I2 = y21 U1 + y22 U2  y21 = I2/U1) U2=0 ; y22 = I2/U2) U1=0 Resolución: Comenzamos planteando la solución como dos cuadripolos en paralelo. En tal caso nos conviene trabajar con parámetros Y, ya que: [YT] = [Y] + [Y´] Ahora calculamos las matrices [Y] para ambos cuadripolos, recordando que: I1 = y11 U1+ y12 U2  y11 = I1/U1)U2=0 ; y12 = I1/U2) U1=0 I2 = y21 U1 + y22 U2  y21 = I2/U1) U2=0 ; y22 = I2/U2) U1=0 Como cada cuadriplo es simétrico y11= y22 y y12= y21; entonces sólo hay que hacer dos cálculos para cada uno y se conocen los cuatro parámetros. Luego: y11T y12T 0,53 -0,47 0,25 -0,25 0,78 -0,72 [YT] = = + = y21T y22T -0,47 0,53 -0,25 0,25 -0,72 0,78 Finalmente, de tabla de equivalencias: g11=Y/ y22T= 0,12; g12= y12T/y22T=-0,92 g21 =- y21T / y22T=0,92 y g22 =1/y22T= 1,28

Verificación: Resolución: U1 = h11I1 + h12U2= 0 x I1 + 1 x U2 Representa la matriz de parámetros h, pues: U1 = h11I1 + h12U2= 0 x I1 + 1 x U2 I2 = h21I1 + h22U2 = -1 x I1 + (1/R) x U2 La ecuación del circuito dual exacto con sólo elementos pasivos deberá ser de la forma: U1 = K1I1 + K2U2 = U2  U1 = U2 I2 = K3I1 + K4U2 = -I1 + (1/R) x U2  I2 = -I1 + (1/R) x U2 Es fácil concluir que el circuito totalmente pasivo que responde al mismo sistema de ecuaciones es el siguiente: Verificación: U1 = U2 I2 = -I1 + (1/R) x U2

Es todo …. Gracias y a trabajar