Problema del haz de luz Cálculo II – Comisión 670 – 2015 FCEIA-UNR Profesores: Miyara, Caruso, Ibars

El fenómeno de la refracción A B aire agua Cuando sumergimos un palo en el agua, tenemos la ilusión óptica de que se dobla. Esto es debido a que la velocidad de la luz no es la misma en el aire que en el agua, lo cual hace que los rayos de luz se tuerzan. Pero ¿por qué se tuercen? En óptica existe el principio de Fermat, que establece que el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto A a otro punto B es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo. Si ambos puntos estuvieran en el mismo medio (o en medios donde la velocidad de la luz es igual), el tiempo mínimo se alcanzaría siguiendo una línea recta. En cambio, si los puntos están en medios donde la velocidad de la luz tiene valores diferentes, el haz de luz irá de A a un punto de la interfase, y de este a B, siguiendo sendos segmentos de recta; y la ubicación de ese punto es tal que se minimice la suma de tiempos empleados en un medio y otro.

El problema A B aire agua 2 m x 0,5 m Un haz de luz va desde un punto A situado en el aire (donde la velocidad de la luz es de v 1 = 3·10 8 m/s) a otro punto B ubicado en el agua (donde la velocidad de la luz es de v 2 = 2,25·10 8 m/s), según la figura. θ1θ1 θ2θ2 a)Hallar la posición x donde el haz incide en la interfase aire-agua. b)Determinar el seno del ángulo de incidencia, θ 1, y del ángulo de refracción, θ 2. c)Mostrar que se cumple la ley de Snell, una ley de la óptica que se puede deducir del principio de Fermat, y que establece: v 1 sen θ 2 = v 2 sen θ 1.

Cómo lo encaramos A B aire agua 2 m x 0,5 m Como el tiempo desde A hasta B debe ser mínimo, determinaremos ese tiempo en función de x y trataremos de minimizar esa función. Recordamos, a ese efecto, que en un movimiento a velocidad constante, θ1θ1 θ2θ2 a)Determinaremos las distancias L 1 y L 2 como funciones de x. b)Determinaremos el tiempo total t(x) = t 1 (x) + t 2 (x) = L 1 (x)/v 1 + L 2 (x)/v 2. c)Plantearemos qué se debe cumplir para que t(x) alcance un valor mínimo. d)La ecuación que nos quedará es complicada. La resolveremos con un software (Geogebra, Maple, MuPAD, Derive…). e)Para verificar que el mínimo se alcanza para el x obtenido, graficaremos t(x), también con un software. L1L1 L2L2

¡Suerte!