CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CAPITULO XIII : CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Lección 22

22.1 .- Cálculo matricial de estructuras: Introducción. Lección 22 : 22.1 .- Cálculo matricial de estructuras: Introducción. 22.2 .- Discretización. 22.3 .- Grado de libertad. 22.4 .- Rigidez y flexibilidad de una barra. Matriz de rigidez. 22.5 .- Métodos de cálculo. Método de la rigidez. 22.6 .- Sistemas de referencia. Transformación de coordenadas. 22.7 .- Matriz de rigidez de una estructura. Lección 22

22.1 .- Cálculo matricial de estructuras: Introducción. Se basan en los teoremas energéticos de Maxwell, Mohr y Castigliano (S.XXIX). El objetivo del Cálculo matricial es relacionar las acciones que actúan sobre una estructura con los desplazamientos por medio de las matrices de Rigidez y Flexibilidad. Siguen siendo de aplicación las hipótesis de la Resistencia de materiales: Trabajamos en zonas donde se cumple la Ley de Hooke, rigidez relativa, principio de superposición, Principio de Saint Venant, Hipótesis de Bernouilli. Se estudian estructuras articuladas planas formadas por barras rectas unidas entre si por nudos o nodos. Lección 22

Se llaman variables nodales a dichas acciones y desplazamientos 22.2 .- Discretización. El estudio se concretará en puntos llamados “nodos” (sean o no de unión de barras) donde actuarán las acciones exteriores y cuyos desplazamientos queremos calcular. Se llaman variables nodales a dichas acciones y desplazamientos Se llaman elementos a las distintas barras. Conocidos los esfuerzos y desplazamientos de los nodos, la Resistencia de los Materiales permite analizar cualquier otro punto del un elemento (solución discreta). Las acciones a lo largo de las barra se trasladan a los nodos. Lección 22

q P P 22.2 .- Discretización. Ejemplo de distribuir las cargas a nudos RA HA MA RB HB MB E D C B A RA HA MA RB HB MB q P P = + Lección 22

22.3 .- Grado de libertad. Grado de libertad de una estructura es el nº de coordenadas necesarias para determinar la deformada respecto a su posición anterior a la aplicación de las acciones. Será necesario y suficiente conocer los desplazamientos de los nodos: En un plano: Desplazamientos en eje X, Y. Giro en Z. En el espacio: Desplazamientos en ejes X, Y, Z. Giros en X, Y, Z. Si algún desplazamiento está restringido (ligaduras) baja el grado de libertad. Distinguir entre grado de libertad e Hiperestaticidad. Las coordenadas de la estructura necesarias para definir la posición de sus nodos serán tantas como su grado de libertad. Lección 22

22.3 .- Grado de libertad. Sistema plano. 1 3 5 4 6 Acciones P1 P2 P3 (momento) Deformaciones d1 d2 d3 (giro) Deformaciones d4 d5 d6 (giro) Acciones P4 P5 P6 (momento) Lección 22

22.4 .- Rigidez y flexibilidad de una barra. Matriz de rigidez. Rigidez: resistencia u oposición a la deformación d f = (12·E·Iz) L3 (6·E·Iz) L2 P M * (4·E·Iz) L P A B L y x RA HA MA Sx M d f = L3 . (3·E·Iz) - L2 . (2·E·Iz) L . (E·Iz) P M * Flexibilidad: facilidad de permitir la deformación También llamadas matrices nodales del nodo B Lección 22

22.4 .- Rigidez y flexibilidad de una barra. Matriz de rigidez. 1 3 5 4 6 P1 K11 K12 K13 K14 K15 K16 d1 P2 K21 K22 K23 K24 K25 K26 d2 P3 = K31 K32 K33 K34 K35 K36 · d3 P4 K41 K42 K43 K44 K45 K46 d4 P5 K51 K52 K53 K54 K55 K56 d5 P6 K61 K62 K63 K64 K65 K66 d6 Lección 22

22.5 .- Métodos de cálculo. Método de la rigidez. Siguen siendo de aplicación las hipótesis de la Resistencia de materiales: Ley de Hooke, rigidez relativa, principio de superposición, Principio de Saint Venant, Hipótesis de Bernouilli Hipótesis consideradas La estructura ha de estar en “equilibrio” Cada punto o sección de la estructura tiene un solo valor de desplazamiento: “compatibilidad” Los desplazamientos de los apoyos son compatibles con los enlaces: “contorno” En el método de rigidez las incognitas son los desplazamentos de los nodos, no importa el grado de hiper-estaticidad. Sólo importa el grado total de libertad. F = K . D Se trata de ensamblar las distintas matrices de rigidez de las barras de la estructura. Lección 22

22.6 .- Sistemas de referencia. Transformación de coordenadas Px axx’ axy’ axz’ Px’ Py = ayx’ ayy’ ayz’ · Py’ Pz azx’ azy’ azz’ Pz’ Coordenadas globales Coordenadas locales Coordenadas nodales C B E D Lección 22

22.7 .- Matriz de rigidez de una estructura. Ensamblaje de las matrices elementales F = K . D P = k . d P1 = K11 K14 · d1 P4 K41 K44 d4 P2 = K22 K24 · d2 P4 K42 K44 d4 2 2 P3 = K33 K34 · d3 P4 K43 K44 d4 1 4 3 1 3 Pi = Kii Kij · di Pj Kji Kjj dj Lección 22