CÓNICAS EN APOLONIO Haydee Jiménez Tafur Jael Medina Santana

UN VISTAZO A LA HISTORIA

APOLONIO DE PERGA APORTES OBRAS PERDIDAS TRATADO DE CÓNICAS DEFINICIONES

¿QUIÉN FUE ? Epoca helenística ( Euclides, Arquímedes y Apolonio) Nació en Perga en Pamfilia (Sur Asia Menor) ¿262-192? A.C. Epoca helenística ( Euclides, Arquímedes y Apolonio) Siglo de oro

Astrónomo y geómetra Esquema de “Tetradas” Libros: “Reparto Rápido”, ”Tesoro de análisis”

Secciones en una razón dada Secciones en una área dada Secciones determinadas Tangencias Inclinaciones Lugares planos

Apolonio hace un tratado de las cónicas en ocho libros: Fundamentación Profundización

I. Trata de la generación de las tres secciones y sus propiedades. II. Teoría de los diámetros conjugados y de las tangentes. III. Teoremas para construcción de lugares sólidos y determinación de límites. IV. Intersección de las cónicas entre sí y con el círculo.

V. Estudia segmentos máximos y mínimos respecto a una cónica. VI. Investiga las secciones cónicas iguales y semejantes. VII. Proposiciones relativos a los diámetros de las secciones cónicas VIII. Problemas sobre cónicas ¿?

CONO DIÁMETRO VÉRTICE EJE EJE CONJUGADO PARÁMETRO, ABSCISA

Propiedad fundamental en la construcción de las cónicas Apolonio demuestra que en la parábola el cuadrado de la ordenada es igual al producto del parámetro y la abscisa, mientras que en la hipérbola es mayor y en la elipse es menor.

PARÁBOLAS, HIPÉRBOLAS Y ELIPSES PROPOSICIONES SOBRE PARÁBOLAS, HIPÉRBOLAS Y ELIPSES

PROPOSICIÓN 11 Cortando un cono por un plano que pase por el eje y por otro que corte a la base según una perpendicular a la base del triángulo en dónde el diámetro de la sección es paralelo a uno de los lados del triángulo, se obtiene la sección cónica parábola, en la que el cuadrado de la ordenada es igual que el producto del parámetro y la abscisa.

PARÁBOLA Para la construcción se debe tener en cuenta: Proposición 3-I

PROPOSICIÓN 3-I Un cono de vértice el punto A y base el círculo BG, cortado por un plano que pase por A, determinará en la superficie cónica las rectas AB y AG y el base la recta BG. Entonces se dice que ABG es un triángulo.

PROPOSICIÓN 4-I Una superficie cónica de vértice A y base el círculo BG, al ser cortada por un plano paralelo al del círculo BG se tiene como intersección la línea DE, que es una circunferencia de centro en el eje de la superficie.

PARÁBOLA Por construcción Apolonio establece la longitud del parámetro teniendo en cuenta la siguiente proporción: (1-)

PARÁBOLA DE  BG ZT  ZH ZH // AG KL // DE MN // BG Por propiedad del círculo se tiene(4-): Por construcción: DE  BG ZT  ZH ZH // AG KL // DE MN // BG

PARÁBOLA Debido a las relaciones de paralelismo y ángulos congruentes se obtienen los siguientes triángulos semejantes:  AMN  ABG ZML y por el teorema de proporcionalidad aplicado a  AMN y ZML, resulta:

PARÁBOLA De la proporción anterior se toma:(2-) De la semejanza de los triángulos anteriores también resultan las siguientes proporciones (3-)

PARÁBOLA Reemplazando (2-) y (3-) en (1-), se obtiene (5-): Ahora reemplazando (4-) en (5-), tenemos

PARÁBOLA De la igualdad anterior resulta:

PROPOSICIÓN 14 Cortando dos superficies cónicas opuestas por el vértice por un plano que no pase por el eje se tendrá en cada superficie una sección llamada hipérbola

Características…. El diámetro de ambas secciones será la misma. Los parámetros de las rectas trazadas ordenadamente al diámetro y paralelas a la situada en el cono serán iguales. El eje transverso de la figura será la recta que une los vértices de las dos secciones. Estas secciones se llaman opuestas.

En esta proposición Apolonio por primera vez considera como una sola curva a las dos ramas. Se consideran las ramas semejantes y congruentes en la proposición 16 del libro VI Para la construcción se debe tener en cuenta: Proposición 4-I Elementos XI-16 Elementos XI-3 Proposición 12-I

PROPOSICIÓN 4-I Sea una superficie cónica de vértice A, y BG la circunferencia que recorre la recta para describirla y si se traza un plano paralelo a BG, entonces la circunferencia va a tener centro en el eje AZ . (ZAH va a ser el eje de la superficie).

ELEMENTOS 16-XI Si un plano interseca a dos planos paralelos, entonces la intersección consiste en dos rectas paralelas.

ELEMENTOS 3-XI La intersección de dos planos es una recta.

PROPOSICIÓN 12-I Construcción de una hipérbola “sencilla”. El cuadrado de la ordenada es mayor al rectángulo cuyos lados son el parámetro y la abscisa.

PROPOSICIÓN 12-I Cuando Apolonio construye la hipérbola lo hace de manera tal que:

Secciones Opuestas NTEM es el diámetro EW=TV ET es el lado transverso de ambas secciones

Secciones Opuestas DZ es paralela a HK , PO es paralela a BG (Euclides XI,16) . LAR es el eje de la superficie (Prop. 4-I) Debido a los planos que cortan el cono y por las paralelas establecidas anteriormente se puede deducir que PO  HK y que BG  DZ.

Secciones Opuestas El plano que pasa por el eje corta a las secciones en M y N, en T y E; por tanto estos puntos pertenecen a ese plano. Y estos puntos también están en el plano HKDZ. Entonces los puntos pertenecen a una misma recta (Euclides XI,3)

Secciones Opuestas TV  NM y EW  NM Por tanto EW es el parámetro de las trazadas ordenadamente a la EM y ET por definición de hipérbola es denominado el lado transverso de la figura.

Secciones Opuestas Como AQP  ASG y QAO  SAP, entonces y Por tanto

Secciones Opuestas Y al construir las hipérbolas ya se había deducido que y entonces: por tanto EW = TV

PROPOSICIÓN 13 Cortando un cono por un plano que pase por el eje y por otro no paralelo ni en sentido contrario que cumple ciertas características se obtiene la sección cónica elipse, en la que el cuadrado de la ordenada es menor que el producto del parámetro y la abscisa.

ELIPSE Por construcción Apolonio establece la longitud del parámetro teniendo en cuenta la siguiente proporción: (1)

ELIPSE AK // EH PR // BG ET // MN // DQ Por propiedad del círculo se tiene: (2) Por construcción: AK // EH PR // BG ET // MN // DQ

ELIPSE  ABK  EBH EPM Debido a las relaciones de paralelismo y ángulos congruentes se obtienen los siguientes triángulos semejantes:  ABK  EBH EPM

ELIPSE  AGK  DGH DRM De las proporciones anteriormente establecidas se tiene:(3)

ELIPSE Sustituyendo en (1), (2) y (3) se obtiene: Despejando lo anterior tenemos:(4)

ELIPSE Por otro lado tenemos los siguientes triángulos semejantes:  DET   DMV Por tanto: (5)

ELIPSE Sustituyendo (5) en (4), tenemos: