Capitulo 11: Modelos dinámicos Causas Modelos autoregresivos Modelos de retardos distribuidos Modelos AD Modelos ARMAX Multiplicadores Retardo medio, retardo mediano Teorema de Mann-Wald Estimación por Variables Instrumentales Regressores estocásticas Expectativas Hipótesis de ajustamiento

Información Estos transparencias no son completas. La idea con las transparencias es dar una estructura general y asegurar que gráficos y ecuaciones están reproducidos correctamente. Cada estudiante debe tomar notas adecuadas para completar las transparencias.

Introducción La variable endógena retarda como variable explicativa. Bajo ciertas circunstancias MCO no es consistente y hay que usar alternativas. El efecto de una variable explicativa puede ser repartida a largo del tiempo, es decir, efectos a corto y largo plazo.

Causas Causas psicológicas: Costumbres, hábitos. Ejemplos: precio de tabaco, nuevo peaje, nuevo impuesto. Incertidumbre y expectativas del futuro. Ejemplos: tipo de interés en préstamos e hipotecas.

Causas Causas tecnológicas: Ejemplos: subida de precio de petróleo y una preferencia para coches de bajo consumo o alternativas. Cambiar de coche no es instantáneo. Causas institucionales: Retrasos cuando se trata de tomar decisiones.

Causas Incercia: Persistencia, es decir valores (muchas veces) son muy parecidos para observaciones cercano en el tiempo. La frecuencia de los datos (diarios, mensuales, anuales) influye si captamos este efecto.

Tipos de modelos dinámicos Modelos autoregresivos Modelos de retardos distribuidos Modelos AD Modelos ARMAX

Modelos autoregresivos, AR(p) Esto es una generalización del modelo autoregresivo unívariado; ahora el modelo incluye otras variables explicativas.

Modelos autoregresivos, AR(p) La dinámica viene (aparte del termino determinista ; que puede incluir un constante, tendencia lineal, variables ficticias estacióneles) a través de la variable endógena retarda. Para un modelo estacionario: es necesario que las raíces del polinomio caen fuera del círculo unidad y que las variables explicativas son estacionarios.

Modelos autoregresivos, AR(p) Se puede estimar el modelo con MCO: si el termino de perturbación no esté autocorrelacionado. (consistente y sesgado).

Modelos de retardos distribuidos, La dinámica está introducida por retardos de las variables explicativas. Si el modelo solo contiene una variable explicativa, RD(r);

Modelos de retardos distribuidos Cada variable explicativa puede entrar con un número de retardos diferentes.

Modelos de retardos distribuidos La variable es estacionaria si todas las variables explicativas son estacionarias. Estimacion: Entonces, y si los requisitos básicos del MCO son cumplidas, MCO es insesgado y consistente.

Modelos de retardos distribuidos Normalmente el modelo da una alta multicolinealidad entre los regresores; Contrastes de significación individual son poco fiables y es mejor contrastes conjuntas. Se puede decidir el orden adecuado de los retardos con criterios de información, como Akaike; ( es la varianza residual y m el numero de parámetros en el modelo).

Modelos de retardos distribuidos Si el orden del modelo es infinito, es decir el número de retardos es infinito hay que imponer supuestos sobre la distribución o evolución de los coeficientes. (¡Si no hay demasiados parámetros para estimar!) Dos soluciones: Koyck y Almon.

Modelos de retardos distribuidos Modelo de Koyck Supongamos el modelo ;

Modelos de retardos distribuidos Esta estructura aparece en modelos con expectativas adaptativas.

Modelos de retardos distribuidos Para estimar el modelo se puede… - poner diferentes valores de y buscar el valor que minimizar la suma de los residuos cuadrados: (“Grid search”, “Cerca per graella”, “red de buscada”). multiplicar el modelo por y tener un modelo con un termino de perturbación que sigue un . Este es el modelo ARMAX(1,0,0,1) que vamos a estudiar luego.

Modelos de retardos distribuidos Modelo de Almon La hipótesis de Almon es que los parámetros evolucionan siguiendo una relación polinómica. En esta manera los infinitos parámetros , se quedan reducidas a m+1 coeficientes .

Modelos de retardos distribuidos Ejemplo en el caso de m=2. Bajo este supuesto el modelo se puede escribir como;

Modelos AD, Si combinamos un modelo autoregresivo y un modelo de retardos distribuidos tenemos un modelo .

Modelos AD Si las variables explicativas son estacionarios, las propiedades de MCO son las mismas que tienen los modelos AR(p).

Modelos ARMAX Este es una generalización del modelo AD adonde se permite que el termino de perturbación sigua un proceso .

Modelos ARMAX Ejemplo: Un es; Los modelos ARMA, AD, RD i AR son casos particulares del modelo ARMAX.

Modelos ARMAX Si tiene todas sus raíces fuera del círculo unidad el modelo ARMAX se puede escribir en la forma de función de transferencia: Esta es la base para los multiplicadores.

Modelos ARMAX Estimación del ecuación con MCO normalmente da un estimador inconsistente como consecuencia de una correlación entre la variable endógena retarda el termino de error . Tenemos que usar alternativas (Sección 3.1).

Multiplicadores ¿Cuanto varia la variable y si la variable x cambia con una determinada cuantidad, después que 0, 1 , 2, 3 … periodos? Nota: el parámetro no es la respuesta, porque sólo capta el efecto directo. Para conocer los efectos completas tenemos que calcular multiplicadores.

Multiplicadores Ejemplos:

Multiplicadores Por ejemplo: indica la cantidad que varia y después que dos periodos como consecuencia de un incremento de una unidad de en periodo t. El multiplicador contemporáneo, el efecto inmediato, es . Si las variables vienen expresadas como logaritmos los multiplicadores indican una elasticidad (en corto placo).

Multiplicadores Los multiplicadores se calculan a través de la representación en términos de función de transferencia del modelo:

Multiplicadores recoge el efecto sobre de una variación unitaria de una vez que han transcurrido periodos.

Multiplicadores La secuencia de coeficientes del polinomio se llama función de respuesta al impulso.

Multiplicadores Multiplicador total o ganancia: El multiplicador total o ganancia asociada a la variable se define como: Es la suma de todos los multiplicadores dinámicos (o los coeficientes de la función de respuesta al impulso).

Multiplicadores La suma tiene sentido calcular si tentemos una serie estacionario, Si las variables están expresadas en logaritmos tendremos una elasticidad a largo placo.

Multiplicadores La forma más sencilla de calcular el multiplicador total es: Donde es el polinomio valorado para L=1.

Retardo medio Si todo los coeficientes en el polinomio son positivas, es decir; todo los multiplicadores son positivas, se puede calcular el retardo media del efecto de x sobre y.

Retardo medio

Retardo medio para todos i. En el retardo 0 se ha producido una fracción del efecto total. En el retardo 1 una fracción es el efecto en total.

Retardo medio Se puede calcular el retardo medio como; Nota; Entonces:

Retardo medio Dado que se puede escribir; Y el retardo medio es:

Retardo medio [EJEMPLO 8]

El retardo mediano

Estimación de modelos con regresores estocásticas. El teorema de Mann-Wald especifica condiciones suficientes para que MCO fuera consistente con distribución normal, aunque haya regresores estocásticas (es decir no deterministas).

Mann-Wald 1: indica que la correlación muestral entre regresores y el término de perturbación converge a cero, el valor poblacional.

Mann-Wald

Mann-Wald

Mann-Wald

Mann-Wald

Estimación por Variables Instrumentales Cuando hay regresores correlacionadas con el término de perturbación, es decir cuando el supuesto no está cumplido, se puede usar estimadores con variables instrumentales.

Estimación por Variables Instrumentales Como solución hay que usar otros variables, es decir, variables instrumentales, que tienen que cumplir las siguientes condiciones; - No estar correlacionadas con el término de perturbación. - Estar muy correlacionadas con la variable que se desea instrumentalizar, es decir la variable que tiene la correlación con el término de perturbación. - No puede tener un efecto directo en la variable dependiente; entonces tendríamos que usar la variable como variable explicativa en lugar de instrumento.

Variables Instrumentales Es necesario tener por lo menos un instrumento por cada variable explicativa (endógena) que está correlacionada con el término de perturbación. Con estas variables se puede estimar el modelo consistente.

Variables Instrumentales Las variables ( ) están correlacionadas con el término de perturbación y tenemos que encontrar por lo menos un instrumento ( ) por cada de estas variables.

Variables Instrumentales Escribimos el modelo en forma de matrices:

Variables Instrumentales

Variables Instrumentales Los estimadores de VI son en principio sesgados, pero el sesgo desaparece a nivel asintótica dado que los estimadores VI son consistentes.

Variables Instrumentales Nota: El valor puede ser muy grande si la variable instrumental es poco correlacionada con la variable explicativa endógena ( ). Entonces la varianza del estimador sería muy elevada.

Modelo bietápico (VI) En algunas casos hay varias variables instrumentales que se pueden usar para una variable explicativa endógena ( ). Entonces no es cuadrático y no se puede invertir. En estos casos se puede estimar un modelo bietápico, con los siguientes pasos;

Modelo bietápico (VI) 1. Estimar una regresión para cada variable correlacionada con el término de perturbación sobre el resto de los regresores sin problemas y todos los instrumentos disponibles. Con esta regresión se obtiene los valores ajustados, que es una combinación lineal de las variables incorrelacionadas con el término de perturbación del modelo. 2. Los valores ajustados se usan como instrumentos para los variables.

Modelo bietápico (VI)

Regressores estocásticas Si tenemos la variable endógena retardada como variable explicativa, MCO tiene un sesgo y la tendencia que infraestimar (en valor absoluto) el valor del parámetro. El sesgo aumenta con el valor del parámetro. El sesgo es menor (en valor absoluto) con muestras más grandes. Si no hay correlación entre los regresores i el término de perturbación MCO es consistente y el sesgo es asimptoticamente cero. Con la variable endógena retardada como variable explicativa, los tests de t y F dejan de ser aplicables en muestras pequeñas.

Regressores estocásticas Ejemplo: ARMA(1,1) Es decir, tenemos una correlación entre la variable endógena retarda y el termino de perturbación, que viene por la autocorrelación del termino de perturbación. Entonces; MCO es inconsistente. Podemos estimar el modelo por variables instrumentales. Un instrumento podría ser porque

Regressores estocásticas Ejemplo: AD(1,0) Con autocorrelación en el término de perturbación. MCO es inconsistente, pero podemos usar variables instrumentales (VI) para instrumentar la variable endógena retardada. Podemos usar si no está correlacionada con el término de perturbación, y está correlacionada con (si ).

Regressores estocásticas Simultaneidad Una variable explicativa puede ser una función de la variable dependiente, es decir el modelo tiene dos direcciones de causa. Se puede usar variables instrumentales para aclarar el efecto de la variable explicativa.

Regressores estocásticas Errores de medida Considera el modelo: Pero está medido con un error. Lo observado es donde es una variable aleatoria que representa el error de la medida.

Regressores estocásticas Para simplificar supongamos que es ruido blanco con y Entonces tenemos: con

Regresores estocásticas Si estimamos el modelo con MCO y la variable observada, tenemos una correlación entre la variable y el término de perturbación. MCO sería inconsistente. (La segunda teorema de Mann-Wald no está cumplida).

Regressores estocásticas El sesgo es y el error de medida tiene la consecuencia una infraestimación del valor de .

Regressores estocásticas Nota 1: Si el ratio de señal-ruido es muy elevado, sería pequeño y el sesgo menos importante. Es decir esto es el caso si la varianza del error de medida es pequeño comparado con la varianza de . Nota 2: En una regresión múltiple, todos los coeficientes serían inconsistentes con un error de medida en una variable explicativa.

Regressores estocásticas Nota 3: Si el error de medida es en la variable dependiente y el error no está correlacionado con los regressores, se puede estimar el modelo con MCO.

Regressores estocásticas Para estimar el modelo podemos usar variables instrumentales. Se puede usar el contraste de Hausman (1978) para comparar un modelo estimado por variables instrumentales con un modelo estimado por MCO. La idea es comparar los parámetros estimados con los dos métodos y si son significativo diferente rechazamos la hipotes nula que no hay error en medida. Es decir, en este caso hay que usar variables instrumentales porque este método es consistente, mientras MCO es inconsistente.

Expectativas ¿Que información es relevante para formular expectativas? Si tenemos el modelo teórico, es la expectativa para en el periodo t. no es directamente observable y tenemos que trabajar con un hipótesis sobre como las expectativas se forman.

Expectativas Expectativas ingenuas Es decir, la expectativa es el mismo valor como en el periodo t. Este modelo podría ser adecuado si sigue un paseo aleatorio.

Expectativas

Expectativas Expectativas adaptativas Las expectativas se revisan como una función del error de pronóstico para . ; Expectativas ingenuas. ; Las expectativas no se revisan.

Expectativas La expectativa es una suma ponderada entre el valor de la variable y la expectativa en el momento anterior. es la suma ponderada, con pesos decrecientes, de todos los valores pasados de

Expectativas Si combinamos esta hipótesis sobre las expectativas con el modelo teórico;

Expectativas Estimación

Hipótesis de ajustamiento Una relación teorética de equilibrio: La variable dependiente no está directamente observable.

Hipótesis de ajustamiento ; No hay ajustamiento. ; El ajustamiento es instantáneo

Hipótesis de ajustamiento Se puede escribir como: es una combinación lineal convexa entre y . Es una combinación lineal de los valores presentes y pasados.

Hipótesis de ajustamiento Ejemplo: Minimizar costes; Hay una diferencia un valor real y un valor optimo. A) coste de estar y una situación no optima (que es una función de la diferencia y ) . B) coste de ajustarse (que es una función de la variación de y ).

Hipótesis de ajustamiento Función (aditiva) de costes: Minimizar costes: (condición de primer orden). Tenemos un ajustamiento parcial, con .

Hipótesis de ajustamiento cerca 1: El coste de estar fuera de la posición óptima es muy grande comparado con el coste de ajustarse, el ajustamiento se hace rápidamente. cerca 0: El coste de estar fuera de la posición óptima es muy pequeña comparado con el coste de ajustarse, el ajustamiento se hace lentamente.

Hipótesis de ajustamiento Con un ajustamiento parcial para la variable dependiente, el modelo es;

Hipótesis de ajustamiento Estimación: 1) Tenemos un AR(1) con un cambio de escala para todo los parámetros a la derecha.

Hipótesis de ajustamiento

Hipótesis de ajustamiento Nota: Lo interesante son los parámetros estructurales. Por ejemplo, si estimamos un AR(1) se puede recuperar los parámetros estructurales