EII-405 Investigación de operaciones Programación Lineal La programación lineal es el área de la IO que se ocupa de problemas en donde el modelo matemático que se formula es expresado en términos de funciones lineales. EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplo tipo Supongamos que se dispone de determinadas piezas: 8 piezas pequeñas y 6 piezas grandes. Estas son utilizadas en la elaboración de 2 productos: sillas y mesas. En una silla se utilizan 2 piezas pequeñas y 1 grande, mientras que en la mesa se utilizan 2 pequeñas y 2 grandes. Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar, dada una utilidad de U$15 por silla y U$20 por mesa. Posibles soluciones: Sillas Mesas Utilidad i 4 U$60 ii 2 U$70 iii 3 iv 1 U$65 etc.. .. Todas son factibles pues respetan las restricciones EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones modelo matemático Tiene 3 componentes principales: 1.- Definir las variables de decisión. x:número de sillas elaboradas. y:número de mesas elaboradas. 2.- Definir la Función Objetivo del problema. Maximizar z=15x+20y EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones modelo matemático 3.- Definir las restricciones que posee el problema o modelo que se está construyendo. En el ejemplo era respetar la disponibilidad de piezas para la fabricación de sillas y mesas. 2x+2y  8 (piezas pequeñas) x+2y  6 (piezas grandes) EII-405 Investigación de operaciones

Modelo General de Programación Lineal Se utilizará el siguiente modelo de programación lineal (PPL) MIN/MAX z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn s.a. a11x1 + a12x2 +... + a1nxn  b1 a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 +... + a3nxn  b3 ... am1x1 + am2x2 +... + amnxn  bm xi  0 con i:1.. n EII-405 Investigación de operaciones

Propiedades de los PPL’s Algunas propiedades básicas que se asumen en la formulación de PPL’s: Linealidad. Divisibilidad. No presencia de incertidumbre. No negatividad. EII-405 Investigación de operaciones

Propiedades de los PPL’s Linealidad. La función objetivo y las restricciones son lineales (exponente 1). Lo que tiene una serie de implicancias. Divisibilidad. Las variables de decisión pueden tomar valores fraccionarios. No presencia de incertidumbre. Los parámetros son conocidos con certeza. No negatividad. Las variables de decisión son  0. EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s a) Problema de la dieta. El problema consiste en determinar una dieta a partir de un conjunto dado de alimentos, de manera eficiente (bajo costo), de modo de satisfacer ciertos requerimientos nutricionales. Supongamos que se tiene la siguiente información: Leche (Gl) Legumbre (1 porción) Naranjas (unid.) Necesidad nutricional Niacina (mg) 3.2 4.9 0.8 13 Tianina (mg) 1.12 1.3 .19 1.5 Vit. C (mg) 32.0 93.0 45 Costo (U$) 2 0.2 0.25 EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s Variables de decisión: x: Galones de leche utilizados en la dieta. y: Porciones de legumbre utilizados en la dieta. z: Unidades de naranjas utilizados en la dieta. Función objetivo: Minimizar el costo total de la dieta, dado por F=2x+0.2y+0.25z EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s Restricciones del problema: 3.2 x + 4.9 y + 0.8 z  13 (Req. de Niacina) 1.12x + 1.3 y + 0.19 z  1.5 (Req. de Tiamina) 32.0x + 93.0 z  45 (Req. de Vitamina C) x, y, z  0 EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s b) Problema de dimensionamiento de lotes (de producción). El problema consiste en hallar una política óptima de producción para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar costos de producción e inventario, considerando la disponibilidad de diversos recursos escasos. Se supone que la demanda de cada producto es distinta en cada período de tiempo. Supongamos que una fábrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 períodos y se tiene la siguiente información: Períodos Demanda (Unid.) Costo Prod. (U$/Unid.) Costo Inventario 1 130 6 2 80 4 3 125 8 2.5 195 9 EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s Suspuestos: Existe un inventario inicial de 15 unidades. No se acepta demanda pendiente o faltante (se debe satisfacer la demanda) Variables de decisión: Cuánto se produce y cuánto queda en inventario. xi: número de unidades elaboradas en el período i. Ii: número de unidades en inventario al final del período i. EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s Función objetivo: Minimizar los costos de producción y el costo de mantención en inventario. F= 6 x1 + 4 x2 + 8 x3 + 9 x4 + 2 I1 + I2 + 2.5 I3 + 3 I4 I4 en la sol. óptima va a ser cero, así que podría no incluirse. Sin embargo conviene dejarla, sobretodo en problemas que requieran un stock de seguridad. Restricciones del problema: Restricción de cota. xi  150 (capacidad de producción) EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s Restricciones de demanda. I0 = 15 x1 + I0 - I1 = 130 (Período 1) x2 + I1 - I2 = 80 (Período 2) x3 + I2 - I3 = 125 (Período 3) x4 + I3 - I4 = 195 (Período 4) Restricción de no negatividad. xi  0 EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s b) Problema de transporte. El problema consiste en decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos de destino (centros de distribución, ciudades, etc.), de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y demanda en dichos puntos. Supongamos que una empresa posee 2 plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 450 unidades respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a 3 centros de distribución, con demandas de 200, 200, y 250 unidades respectivamente. Los costos unitarios de transporte son: EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s C.D. 1 ($/Unid.) C.D. 2 C.D. 3 Planta 1 21 25 15 Planta 2 28 13 19 Planta 1 Planta 2 C.D. 1 21 28 25 13 15 19 x11 x12 x13 x21 x22 x23 EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s Variables de decisión: xij: unidades transportadas desde la planta i hasta el centro de distribución j.(con i:1,2 y j:1,2,3) Función objetivo: Minimizar el costo de transporte. F= 21 x11 + 25 x12 + 15 x13 + 28 x21 + 13 x22 + 19 x23 Restricciones del problema: Restricción de no negatividad. xi  0 EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s Restricciones de demanda. x11 + x21 = 200 (C.D. 1) x12 + x22 = 200 (C.D. 2) x13 + xI23 = 250 (C.D. 3) Restricciones de oferta. x11 + x12 + x13  250 (Planta 1) x21 + x22 + x23  450 (Planta 2) Las variables de decisión deben aceptar soluciones reales. Sin embargo, en este problema si los parámetros de oferta y demanda son enteros, entonces la solución óptima también resulta entera. EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s d) Problema de selección de procesos y elaboración de productos. Consideremos un problema que consiste en la elaboración de 3 productos, que pueden ser elaborados de maneras distintas, haciendo uso de ciertas máquinas y ciertas capacidades máximas de utilización. Los parámetros del modelo son: Prod. 1 Prod. 2 Prod. 3 Cap. Máx. (hrs.) a b Máq. A 2 3 100 Máq. B 4 7 1 200 250 Máq. C 6 5 9 EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s El problema consiste en determinar cuántas unidades elaborar de cada producto, en cada proceso, considerando beneficios netos de U$4, U$3 y U$6 para los productos 1, 2, y 3 respectivamente. Se supone que todo lo que se fabrica se va a vender. Variables de decisión: x1a: unidades elaboradas del producto 1 en el proceso a. x1b: unidades elaboradas del producto 1 en el proceso b. x2 : unidades elaboradas del producto 2. x3a: unidades elaboradas del producto 3 en el proceso a. x3b: unidades elaboradas del producto 3 en el proceso b. EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s Función objetivo: Maximizar los beneficios totales. F= 4( x1a + x1b ) + 3 x2 + 6 ( x3a + x3b ) Restricciones del problema: Restricciones de capacidad máxima. 2 x1a + 2 x2 + 3 x3a + 2 x3b  100 (Máq. A) 4 x1b + 7 x2 + 2 x3a + x3b  200 (Máq. B) 6 x1a + 5 x1b + x2 + 5 x3a + 9 x3b  100 (Máq. C) x1a , x1b , x2 , x3a , x3b  0 EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s e) Planificación de turnos. Una aerolínea tiene abierta una oficina de reservas telefónicas las 24 hrs. del día, de lunes a viernes, y el número de agentes necesarios en cada uno de los siguientes horarios son: Períodos Nº requerido de agentes 12 am - 4 am 11 4 am - 8 am 15 8 am - 12 pm 31 12 pm - 4 pm 17 4 pm - 8 pm 25 8 pm - 12 am 19 EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s Las personas contratadas deben hacer turnos de 8 horas consecutivas y la empresa desea conocer el mínimo número de turnos requeridos para cada período. Variables de decisión: xi: Nº de turnos requeridos al inicio del período i. Función objetivo: Minimizar los turnos requeridos. F= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 EII-405 Investigación de operaciones

Ejemplos de Modelamiento de PPL’s Restricciones del problema: x1 + x2  15 x2 + x3  31 x3 + x4  17 x4 + x5  25 x5 + x6  19 x6 + x1  11 xi  0 (y entero) EII-405 Investigación de operaciones