Gestión de Investigación de Operaciones

Gestión de Investigación de Operaciones
Contenidos I. Introducción a la Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Programación Entera Programación No- lineal III. Modelos Probabilísticos Procesos Estocásticos y Cadenas de Markov Sistemas de Espera Gestión de Investigación de Operaciones

I. Introducción a la Investigación de Operaciones
El principal objetivo de esta área de conocimientos consiste en formular y resolver diversos problemas orientados a la toma de decisiones. La naturaleza de los problemas abordados puede ser determinística, como en los Modelos de Programación Matemática, donde la teoría de probabilidades no es necesaria, o bien de problemas donde la presencia de incertidumbre tiene un rol preponderante, como en los Modelos Probabilísticos. Gestión de Investigación de Operaciones

Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran cantidad de problemas reales cada más complejos y especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologías para la formulación matemática de estos problemas y, conjuntamente, de métodos y herramientas de resolución, como los que provee la Investigación de Operaciones. Gestión de Investigación de Operaciones

I.2 Elementos de un modelo de optimización. Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos finales. Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo). Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la máxima utilidad, dado un beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20 por cada mesa fabricada. Gestión de Investigación de Operaciones

Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que respetan las restricciones del número de piezas disponibles, son por ejemplo, fabricar: 4 sillas, que reportan una utilidad de U$60 1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55 3 mesas, utilidad de U$60 1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65 2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70 etc. Gestión de Investigación de Operaciones

Un modelo matemático para hallar la mejor solución factible a este problema tiene tres componentes básicas: i) Las variables de decisión, que consiste en definir cuáles son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo, x: número de sillas elaboradas. y: número de mesas elaboradas. Gestión de Investigación de Operaciones

ii) La función objetivo del problema, que permita tener un criterio para decidir entre todas las soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la utilidad dada por: z = f(x,y) = 15x + 20y Gestión de Investigación de Operaciones

iii) Restricciones del problema, que consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisión a aquellos considerados como factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezas para la fabricación de sillas y mesas: Piezas pequeñas: 2x + 2y  8 Piezas grandes : x + 2y  6 También se impone restricciones de no – negatividad: x,y  0 Gestión de Investigación de Operaciones

En resumen: Max 15x + 20y sa: 2x + 2y  8 x + 2y  6 x,y  0 El ejemplo corresponde a un modelo de Programación Lineal. Si además restringimos los valores de x e y a números enteros, tendríamos un modelo de Programación Entera. Por otra parte, si hubiese retornos crecientes a escala, deberíamos emplear una función objetivo no lineal como f(x,y) = cxa + dyb con a,b >1, y tendríamos un modelo de Programación No Lineal. Gestión de Investigación de Operaciones

BIBLIOGRÁFIA EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1. Introducción a la Investigación de Operaciones, F.S. Hillier y G.J. Lieberman, McGraw Hill, Sexta Edición, 1997. 2. Investigación de Operaciones, una introducción, H.A. Taha, Prentice Hall, México, Sexta Edición, 1998. 3. Introduction to Management Science, F. Hillier, M. Hillier and G.J. Lieberman. Irwin McGraw-Hill, 1999. 4. Model Operations Research: A practical Introduction. M.W. Carter and C.C.Price. CRC Press, 2000. 5. Practical Management Science: Spreadsheet Modeling and Applications, Winston, W.L., Albright S.C. y Broadie M., International Thomson Publishing Company, 1997. Gestión de Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal
Temario: II.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. II.2. Resolución gráfica de problemas. II.3. Análisis de Sensibilidad. II.4. El Método Simplex. II.5. Dualidad en Programación Lineal. II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. i) Problema de Transporte. El problema consiste en decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos de destino (centros de distribución, ciudades, etc..) de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y demanda en dichos puntos. Se suponen conocidos los costos unitarios de transporte, los requerimientos de demanda y la oferta disponible. Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Por ejemplo, suponga que una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 450 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son: Gestión de Investigación de Operaciones C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3 Planta 1 21 25 15 Planta 2 28 13 19

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Diagrama: Planta 1 Planta 2 C.D.2 C.D.1 C.D.3 X11 X12 X21 X22 X13 X23 Orígenes Destinos Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Variables de decisión: xij = Unidades transportadas desde la planta i (i=1,2), hasta el centro de distribución j (j=1,2,3) Función Objetivo: Minimizar el costo total de transporte dado por la función: 21x11+25x12+15x13+28x21+13x22+19x23 Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Restricciones del problema: 1) No Negatividad: xij  0 2) Demanda: CD1 : x x = 200 CD2 : x x = 200 CD3 : x x = 250 Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. 3) Oferta : P1 : x11 + x12 + x  250 P2 : x21 + x22 + x23  450 Las variables de decisión deben aceptar soluciones como números reales para tener un modelo de P.L. Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. ii) Problema de la dieta: este consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer ciertos requerimientos nutricionales. Supongamos que se tiene la siguiente información: Gestión de Investigación de Operaciones Leche (galon) Legumbre (1 porción) Naranjas (unidad) Requerimientos Nutricionales Niacina 3,2 4,9 0,8 13 Tianina 1,12 1,3 0,19 15 Vitamina C 32 93 45 Costo 2 0,2 0,25

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Variables de decisión: x1 : galones de leche utilizados en la dieta. x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta. x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta. Función Objetivo: Minimizar el costo total de la dieta, dado por: 2 x x x3 Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Restricciones del problema: Requerimientos mínimos de los nutrientes considerados: 3.2 x x x3  13 1.12 x x x3  15 32 x x3  45 x1  0 ; x2  0 ; x3  0 Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. iii) Problema de dimensionamiento de lotes: este consiste en hallar una política óptima de producción para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar costos de producción e inventario, considerando la disponibilidad de diversos recursos escasos. Supongamos que una fabrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente información: Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Supuestos adicionales: 1) Existe un inventario inicial de 15 unidades. 2) No se acepta demanda pendiente o faltante (es decir, se debe satisfacer toda la demanda del periodo). Periodos Demandas (unidades) Costo Prod. (US$/unidad) Costo de Inventario 1 130 6 2 80 4 3 125 8 2.5 195 9 Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Variables de decisión: xt : número de unidades elaboradas en el periodo t. It : número de unidades de inventario al final del periodo t. Función objetivo: Consiste en minimizar los costos de producción y el costo de mantenimiento de inventario. 6x1+ 4x2 + 8x3 + 9x4 + 2I1 + I I3 + 3I4 Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Notar que en el óptimo I4 va a ser 0, así que incluso podríamos no incluirla, pero de todos modos la consideramos. Restricciones del problema: 1) Restricciones de cotas, que reflejan la capacidad de producción. xt 150 Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. 2) Restricciones de no negatividad xt  0 3) Restricciones de demanda x1 + I0 – I1 = 130 Periodo 1 I0=15 x2 + I1 – I2 = 80 Periodo 2 x3 + I2 – I3 = 125 Periodo 3 x4 + I3 – I4 = 195 Periodo 4 Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. iv) Problema de planificación financiera: Supongamos que un banco dispone de $250 millones para destinar a 4 tipo de créditos ofrecidos, los cuales tienen las siguientes, tasas de crédito: Primer crédito corriente :12% Segundo crédito corriente :16% Crédito para el hogar :16% Crédito personal :10% Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. La asignación de estos créditos, debe satisfacer la siguiente política utilizada por la institución: El monto asignado a los PCC, debe ser al menos, el 55% del monto asignado a los créditos corrientes, y al menos un 25% del total del dinero prestado. El SCC, no puede exceder el 30% del total del dinero prestado, por políticas tributarias el interés recibido por el banco no debe exceder a un retorno del 14% sobre el capital prestado. Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. ¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la manera más eficiente, respetando la política del banco? Variables de decisión: x1 :Monto asignado al PCC. x2 : Monto asignado SCC. x3 : Monto asignado al crédito para el hogar. x4 : Monto asignado al crédito personal. Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Función Objetivo: Se propone maximizar los retornos recibidos en la asignación, dados por: 0.12 x x x x4 Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Restricciones del problema: x1  ( x1 + x2 ) x1  ( x1 + x2 +x3 + x4 ) x2  ( x1 + x2 +x3 + x4 ) (0.12x1+0.16x2+0.16x3+0.10x4 )  0.14 ( x1+ x2 +x3 +x4 ) Adicionalmente: x1 + x2 +x3 + x4  250 Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. v) Problema de mezcla de productos: en este problema una refinería produce 4 tipos de gasolina (gas 1, gas 2, gas 3 y gas 4). Dos características importantes de cada gasolina son su número de performance (NP) y su presión de vapor (RVP), que están dados por: Gestión de Investigación de Operaciones NP RVP Barriles diarios gas 1 107 5 3814 gas 2 93 8 2666 gas 3 87 4 4016 gas 4 108 21 1300

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente a un precio de $2483 por barril o bien mezcladas para obtener gasolinas de aviación (avgas A y avgas B). La calidad de estas dos últimas junto con sus precios de venta son: Gestión de Investigación de Operaciones NP RV Precio por barril (US$) avgas A Al menos 100 A lo más 7 26,45 Avgas B Al menos 91 A lo más 6 25,91

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. El NP y RVP de cada mezcla es un promedio de los respectivos NP y RVP de las gasolinas empleadas. Se desea obtener un plan de venta de las distintas gasolinas que maximice los retornos. Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Variables de decisión: xj : cantidad de barriles del gas j que son vendidos sin mezclar, con j = 1, 2, 3, 4. xA : cantidad de barriles de avgas A. xB : cantidad de barriles de avgas B. xjA: cantidad de gas j usado en avgas A. xjB: cantidad de gas j usado en avgas B. Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Función objetivo: Max 24,83 (x1 + x2 + x3 + x4) + 26,45xA + 25,91xB Restricciones: x1 + x1A + x1B = 3814 x2 + x2A + x2B = 2666 x3 + x3A + x3B = 4016 x4 + x4A + x4B = 1300 x1A + x2A + x3A + x4A = xA x1B + x2B + x3B + x4B = xB Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. NP, avgas A: NP, avgas B: RVP, avgas A: RVP, avgas B: Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. vi) Problema de expansión de la capacidad de un Sistema de Potencia Eléctrica: En este problema se desea planificar la expansión de la capacidad de un sistema eléctrico para los siguientes T años. La demanda (estimada) para el año t corresponde a dt MW para t = 1, 2, ..., T. La capacidad existente del sistema corresponde a ct MW para el año t = 1, 2, ..., T. Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Existen 2 alternativas para la expansión de la capacidad del sistema: Usar plantas térmicas a petróleo. Usar plantas térmicas a gas. Se requiere una inversión pt por MW instalado de una planta a petróleo que esté operativa al comienzo del año t, y el correspondiente costo para una planta a gas es gt. Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Por razones políticas y de seguridad, se ha decidido que no más del 30% de la capacidad instalada, corresponda a plantas a gas (nuevas). Cada planta a petróleo tiene una vida de 20 años y una planta a gas una vida de 15 años. Se desea proponer un plan de expansión al mínimo costo posible. Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Variables de decisión: xt : cantidad de MW expandidos en planta a petróleo al inicio del año t, con t = 1, 2, ..., T. yt : cantidad de MW expandidos en planta a gas al inicio del año t, con t = 1, 2, ..., T. zt : cantidad total de MW disponible en plantas nuevas a petróleo al inicio del año t. wt : cantidad total de MW disponible en plantas nuevas a gas al inicio del año t. Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Función Objetivo: Restricciones: Gestión de Investigación de Operaciones

II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Gestión de Investigación de Operaciones

II.2. Resolución gráfica de problemas. Consideremos el siguiente problema a resolver gráficamente: Max z = 3x1 + 5x2 sa: x1 £ 4 2x2 £ 12 3x1 + 2x2 £ 18 x1,x2 ³ 0 Gestión de Investigación de Operaciones

II.2. Resolución gráfica de problemas. Curvas de Nivel Región de puntos factibles 9 6 2 4 x2 x1 x* x* Solución Optima Gestión de Investigación de Operaciones

II.2. Resolución gráfica de problemas. En primer lugar, se debe obtener la región de puntos factibles en el plano, obtenida por medio de la intersección de todos los semi - espacios que determinan cada una de las inecuaciones presentes en las restricciones del problema. Gestión de Investigación de Operaciones

II.2. Resolución gráfica de problemas. Enseguida, con el desplazamiento de las curvas de nivel de la función objetivo en la dirección de crecimiento de la función (que corresponde a la dirección del vector gradiente de la función, z(x1,x2) = (3,5)T), se obtiene la solución óptima del problema en la intersección de las rectas: 2x2 = 12 y 3x1+2x2 = 18 (restricciones activas). Esto es: x1* = x2* = 6 z* = 3 x1* + 5 x2* = 36 Gestión de Investigación de Operaciones

II.2. Resolución gráfica de problemas. Notar que se pueden dar otras situaciones en la búsqueda de una solución óptima para esta clase de problemas: 1) La solución óptima exista pero haya más de una. En el ejemplo, considere la nueva función objetivo: z = 6x1+4x2. 2) El problema no tenga solución, dada una región de puntos factibles no - acotada. En el ejemplo, reemplace cada desigualdad  por una . 3) El problema no tenga solución, porque no existen puntos factibles. En el ejemplo, suponga que agregamos la restricción: x1  5. Gestión de Investigación de Operaciones

II.3. Análisis de sensibilidad. 3 4 6 Gestión de Investigación de Operaciones

II.3. Análisis de sensibilidad. A partir de la resolución gráfica del problema se tiene: Solución óptima : x1*= 2 ; x2*= 2 Valor óptimo : z = z(2,2) = 70 El análisis de sensibilidad permite responder, entre otras, las siguientes preguntas: Gestión de Investigación de Operaciones

II.3. Análisis de sensibilidad. 1) ¿Cuál es el intervalo de variación de algún coeficiente de la función objetivo, de modo que la actual solución siga siendo la óptima? Sea z = c1x1+c2x2 La solución óptima de la nueva función, seguirá siendo: x1*= 2 ; x2*= 2 ssi: Gestión de Investigación de Operaciones

II.3. Análisis de sensibilidad. También podemos estudiar el intervalo de un sólo coeficiente, dejando el resto de los parámetros fijos: Para C1: Para C2: Gestión de Investigación de Operaciones

II.3. Análisis de sensibilidad. 2) ¿ Cuál es la variación del actual valor óptimo de la función objetivo, si cambamos en una unidad algún coeficiente del lado derecho de las restricciones ? Estudiaremos por separado las variaciones de cada uno de los coeficientes del lado derecho de las restricciones, de modo preservar la geometría del problema, esto es, que se conserven las mismas restricciones activas de la solución óptima inicial. Gestión de Investigación de Operaciones

II.3. Análisis de sensibilidad. Primera restricción. La mayor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en x1 = 0 y x2 = 4, de donde se obtiene: z(0,4) = 15 x x 4 = 80 y b1* = x 4 = 8 La menor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x1 = 4 ; x2 = 0, de donde se obtiene: z(4,0) = 15 x x 0 = 60 y b1 = x 0 = 4 Gestión de Investigación de Operaciones

II.3. Análisis de sensibilidad. De aquí, se calcula el precio sombra P1, que indica la razón o tasa de cambio de la función objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho: Gestión de Investigación de Operaciones

II.3. Análisis de sensibilidad. Segunda restricción. La mayor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en x1 = 6 y x2 = 0, de donde se obtiene: z(0,4) = 15 x x 0 = 90 y b1*= 2 x 6 + 2x0 = 12 La menor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x1= 0 ; x2= 3, de donde se obtiene: z(4,0) = 15 x x 3 = 60 y b1= 2 x x 3 = 6 Gestión de Investigación de Operaciones

II.3. Análisis de sensibilidad. De aquí, se calcula el precio sombra P2, que indica la razón o tasa de cambio de la función objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho: Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. En lo que sigue consideremos el siguiente problema de programación lineal en su forma estándar. Min c1x1 + c2x cnxn sa a11x1 + a12x a1nxn = b1 a21x1 + a22x a2nxn = b2 am1x1 + am2x amnxn = bm xi  0, i = 1, 2, ..., n y m  n Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Matricialmente escrito como: Min cTx sa Ax = b x  0 No existe pérdida de la generalidad al suponer que un problema viene dado en la forma estándar. En efecto, si tuviésemos el siguiente problema: Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. P) Max 9u + 2v + 5z sa 4u + 3v + 6z  50 u + 2v + 3z  8 2u – 4v + z = 5 u,v  0 z  IR Es posible reformular de manera equivalente el problema anterior usando que: Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. 1) Siempre es posible llevar un problema de maximización a uno de minimización. Si f(x) es la función objetivo a maximizar y x* es la solución óptima: f(x*)  f(x) , " x factible - f(x*)  - f(x) , " x factible \ x* es también mínimo de - f(x) Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. 2) Cada restricción del tipo  puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una (nueva) variable de holgura no negativa, con un coeficiente nulo en la función objetivo. 3) De igual modo, cada restricción del tipo  puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una variable de exceso no negativa. 4) Siempre es posible escribir una variable libre de signo como la diferencia de dos variables no negativas. Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. En resumen el problema P) puede ser escrito de manera equivalente como: Min - 9x1 - 2x2 - 5x3 + 5x4 + 0x5 + 0x6 sa: 4x1 + 3x2 + 6x3 - 6x x =50 x1 + 2x2 - 3x3 + 3x x6 = 8 2x1 - 4x2 + x x = 5 xi  0, i=1,2,3,4,5,6. Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Con u = x1 v = x2 z = x3 - x4 s1 = x5 (HOLGURA) s2 = x6 (EXCESO) La búsqueda de la solución óptima se restringe a encontrar un vértice óptimo y cada vértice del conjunto de las restricciones del problema, llamado región de puntos factibles, corresponde a una solución básica factible del sistema Ax = b. Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Esta solución básica factible, corresponde a su vez a aquellas soluciones que resultan de resolver el sistema para exactamente m variables, fijando las restantes n-m en cero, llamadas respectivamente variables básicas y no-básicas, que además deben satisfacer condiciones de no-negatividad. Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Teorema Fundamental de la Programación Lineal: Si un problema tiene solución óptima, tiene una solución básica factible óptima. Dada una matriz B de m x m invertible, esta induce una partición de las variables y parámetros del modelo como lo muestra la siguiente diapositiva. Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. B D A = m n n-m B : es llamada una matriz de base Gestión de Investigación de Operaciones xB :variables básicas. xD :variables no básicas. cB :costos básicos. cD :costos no básicos.

II.4. El Método Simplex. Criterio de Optimalidad: Gestión de Investigación de Operaciones valor actual de la función obj. vector de costos reducidos.

II.4. El Método Simplex. La ecuación que define cada uno de los costos reducidos es: Donde j es el índice de variable no-básica y Aj la respectiva columna en A de esa variable. La actual solución básica factible es óptima ssi rj  j, existe una variable no básica xp con costo reducido negativo, que entra a la nueva base. Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Para decidir quién deja la base, es necesario calcular el mayor valor que puede tomar la variable entrante que garantiza la factibilidad de la nueva solución básica, con: y se debe calcular: Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Ejemplo. Resolver el siguiente problema de P.L. Max 40x + 60y sa: 2x + y  70 x + y  40 x + 3y  90 x,y  0 Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Se deben agregar 3 variables de holgura ( x1 , x2 , x3 var.básicas), y llevar a forma estándar (x4 = x y x5 = y). Min x4 – 60x5 sa: x x4 + x5 = 70 x x4 + x5 = 40 x3 + x x5 = 90 xi  0, i = 1, 2, 3, 4, 5 Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Tabla inicial: x1 x2 x3 x4 x5 1 2 70 40 3 90 -40 -60 Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Usamos como variable entrante a la base x5 (pues r5<0). Se calcula Min { 70/1, 40/1, 90/3 } = 30, por lo tanto sale x3. Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 x3 x4 x5 1 2 70 40 3 90 -40 -60

II.4. El Método Simplex. Actualizando, queda la siguiente tabla (no óptima), donde la variable entrante a la base es x4 (pues r4<0). Se calcula Min { 40/(5/3), 10/(2/3), 30/(1/3) } = 15, por lo tanto x2 deja la base actual. Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 x3 x4 x5 1 -1/3 5/3 40 2/3 10 1/3 30 20 -20 1800

II.4. El Método Simplex. Actualizando, queda la siguiente tabla final: Como todos los costos reducidos son mayores o iguales que cero nos encontramos en la solución óptima. x1 x2 x3 x4 x5 1 -5/2 15 -1/3 -1/2 1/3 25 20 10 2100 Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. z* = - 40 x x 25 = En la formulación inicial, tenemos como solución óptima x*=15, y *=25, con valor óptimo Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Resumen del Método Simplex: Paso 0 : Escribir el problema de programación lineal en su forma estándar. Paso 1 : Escoger una solución básica factible inicial. Paso 2 : Escoger una variable no - básica con costo reducido negativo que determina la variable entrante y seguir al paso tres. Sin embargo, si todos los costos reducidos son mayores que cero , parar, ya que la actual solución es la óptima. Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Paso 3 : Calcular el criterio de factibilidad que determina que variable deja la base. Si todos los cuocientes son negativos: problema no - acotado, parar. Paso 4 :Actualizar la tabla de modo de despejar el valor de las nuevas variables básicas, los costos reducidos y el valor de la función objetivo. Volver al Paso 2. Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. No siempre es fácil obtener una solución básica factible inicial, en las variables originales del modelo. Para conseguir esto existen varios procedimientos como son: Método Simplex de dos fases. Método de la M – grande. Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. Fase 1: Se considera un problema auxiliar que resulta de agregar tantas variables auxiliares a las restricciones del problema, de modo de obtener una solución básica factible. Resolver por Simplex un nuevo problema que considera como función objetivo la suma de las variables auxiliares. Si el valor óptimo es cero ir a la Fase 2. En caso contrario, no existe solución factible. Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. Fase 2: Resolver por Simplex el problema original a partir de la solución básica factible hallada en la Fase1. Ejemplo: Max 2x1 + x2 sa: 10x1 + 10x2  9 10x1 + 5x2  1 x1,x2  0 Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. Se debe agregar una variable de holgura (x3) y una variable de exceso (x4), y llevarlo a su forma estándar. Min -2x1 - x2 sa: 10x1 + 10x2 +x = 9 10x1 + 5x x4 = 1 x1,x2, x3, x4  0 Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. Aplicamos Simplex de dos Fases : Fase 1: Min x5 sa: 10x1 + 10x2 +x = 9 10x1 + 5x x4 + x5 = 1 x1,x2, x3, x4, x5 0 Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. Quedando la siguiente tabla: donde: Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 x3 x4 x5 10 1 9 5 -1

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. Luego se hace cero el costo reducido de la variable x5 de la tabla anterior, y queda la siguiente tabla inicial. Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 x3 x4 x5 10 1 9 5 -1 -10 -5

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. La variable entrante a la base es x1 ( pues r1 < 0). Calculamos Min { 9/10, 1/10}= 1/10, por lo tanto sale x5. Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 x3 x4 x5 10 1 9 5 -1 -10 -5

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. Obteniéndose la siguiente tabla final: Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 x3 x4 x5 5 1 -1 8 -1/10 1/10

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. Donde, al anterior, corresponde a la solución óptima del problema en la Fase 1, con valor óptimo 0. De aquí entonces tomamos x1 y x3 como variables básicas. Fase 2: Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 x3 x4 5 1 8 -1/10 1/10 -2 -1

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. En la tabla hacemos 0 los costos reducidos de variables básicas Luego la variable entrante a la base es x4 (pues r4<0). Y calculando Min { 8/1, (-1/10)/(1/10) } = 8, se tiene que sale x3. Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 x3 x4 5 1 8 -1/10 1/10 -1/5 1/5

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. Quedando: donde la solución óptima del problema resulta ser: Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 x3 x4 5 1 8 1/10 9/10 1/5 9/5

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. Algunos casos especiales 1) Problema Infactible. Esta situación se detecta cuando el valor óptimo del problema de la Fase 1 da mayor que cero. 2) Múltiples soluciones óptimas. Esta situación se detecta cuando existen costos reducidos iguales a cero en una o más de las variables básicas óptimas. Gestión de Investigación de Operaciones

II.4. El Método Simplex. Método Simplex de dos Fases. 3) Problema no acotado. Esta situación se detecta cuando al realizar el cálculo de la variable que deja la base, todos los elementos ykj de la columna j en la tabla, son negativos para j el índice de una variable no básica con costo reducido negativo. Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Consideremos un ejemplo de producción de 2 productos finales que hacen uso de tres recursos escasos (máquinas), cuyas disponibilidades en horas corresponden a los lados derechos de las restricciones. P) Max 40x1 + 60x2 sa: 2x1+2x2  70 x1 + x2  40 x1 + 3x2  90 x1, x2  0 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. La solución óptima y el valor óptimo del problema P) esta dada por: x1* = 5 x2* = 25 z = v(p) = 2100 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. En lo que sigue, combinaremos las distintas restricciones del problema, ponderando por los valores 1, 2 y 3 cada una, respectivamente, de modo de obtener la mejor cota superior del valor óptimo del problema P). Vale decir: 1(2x1+2x2) + 2(x1+x2) + 3(x1+3x2)  70 1 + 40  3 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Para garantizar que el lado derecho de esta última desigualdad sea una cota superior de la función objetivo se debe cumplir que : 2 1 + 2 + 3  40 21 + 2 + 3 3  60 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. La mejor elección de esta cota se obtendría al resolver: D) Min 70   3 sa: 2 1 + 2 + 3  40 21 + 2 + 3 3  60 1, 2, 3  0 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Este problema se conoce como el problema “ Dual” D) asociado al problema “Primal” P). También resulta que al formular el problema dual de D) se obtiene el problema primal (o uno equivalente). Cualquiera de los dos entrega la misma información y el valor óptimo alcanzado es el mismo. Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Más generalmente, si el problema primal es: P) Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. su dual resulta el problema: D) Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Lo que se puede expresar en forma matricial como: P) Max cTx sa: Ax  b x  0 D) Min bT  sa: AT   c   0 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Si el problema primal corresponde a: P) Max -cTx sa: Ax  b x  0 Su dual resulta ser: D) Min -bT  sa: AT   c   0 Es decir, el dual del dual es el problema primal Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Teorema de dualidad débil: Si x Î IRn, es una solución factible del problema primal P) y  Î IRm, una solución factible del problema dual D), entonces: En particular, si ambas soluciones son los óptimos de sus respectivos problemas, sus valores óptimos cumplen que : v(P)  v(D) Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Teorema de dualidad fuerte: Si x* = (x1*, x2*, ..., xn*)T, es una solución óptima problema primal P), entonces el problema dual D) tiene solución óptima * = (1*, 2*, ..., m*)T que satisface: Además: i)Si P) es no-acotado entonces D) es infactible. ii)Si D) es no-acotado entonces P) es infactible. Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Ejemplo: P) Min 3x1 + 4x2 + 5x3 sa: x1+ 2x2 + 3x3  5 2x1 + 2x2 + x3  6 x1, x2, x3  0 D) Max 5 1 + 6 2 sa: 1 + 22  3 21 + 22  4 31 + 2  5 1, 2  0 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Resolvemos D) por Simplex, en su forma estándar: Luego la variable entrante a la base es 2 (pues r2<0). Y calculando Min { 3/2, 4/2, 5/1 } = 3/2, se tiene que sale 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 -5 -6 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Luego la variable entrante a la base es 1 (pues r2<0). Y calculando Min { (3/2)/(1/2), 1/1, (7/2)/(5/2)} = 1, se tiene que sale 4 1 2 3 4 5 1 3/2 -1 5/2 -1/2 7/2 -2 3 9 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Sol. óptima de D): 1* = 1; 2* = 1; v(D) = 11 Sol. óptima de P): x1* = 1; x2* = 2; x3* = 0; v(P) = 11 1 2 3 4 5 1 -1/2 -1 2 -5/2 11 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Método Simplex Dual: La idea de este método consiste en resolver de alguna manera el problema dual asociado a P) en la tabla y variables del problema primal P), según veremos en su aplicación a un problema primal (ejercicio anterior). Min 3x1 + 4x2 + 5x3 sa: x1+ 2x2 + 3x3  5 2x1 + 2x2 + x3  6 x1, x2, x3  0 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Método Simplex Dual: Min 3x1 + 4x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5 sa: x x2 + 3x3 - x  5 x(-1) 2x1 + 2x2 + x x5  6 x(-1) x1, x2, x3, x4, x5  0 Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 x3 x4 x5 -1 -2 -3 1 -5 -6 3 4 5

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Método Simplex Dual: En la tabla anterior se toman dos variables de exceso x4 y x5 , y se multiplica por un número negativo con la finalidad de encontrar la matriz identidad IRn, además es necesaria la condición de que los costos reducidos de la tabla sean mayores que cero ( lo que en este caso se cumple). Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Método Simplex Dual: En la tabla anterior se escoge, usando el lado derecho, alguna variable con valor negativo. Escogemos x5 , variable que dejará la base. Enseguida , se obtiene la variable entrante calculando: Min { (-3/-2) , (-4/-2),(-5/-1)} = 3/2. De donde resulta que x1 entra a la base. Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Método Simplex Dual: La tabla posee aún un lado derecho negativo (costos reducidos negativos del problema dual), por lo cual no es factible en P). x5 x4 x3 x2 x1 -2 -1/2 1 -5/2 -1 -9 3/2 7/2 3 1/2 Gestión de Investigación de Operaciones

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Método Simplex Dual: x4 (=-2) deja la base, luego calculamos : Min {(-1/-1),((-7/2)/(-5/2)),((-3/2)/(-1/2))} = 1, por lo que x2 entra a la base. Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 x3 x4 x5 1 5/2 -1 2 -2 -11

II.5. Dualidad en Programación Lineal. Método Simplex Dual: La tabla posee lados derechos no-negativos (costos reducidos positivos del problema dual) y también los costos reducidos de las variables no básicas x3, x4 y x5 son no-negativos , por lo que tenemos una solución factible en P) que es la solución óptima del problema. Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal 1) ¿Qué ocurre con las actuales variables básicas si se cambia algún coeficiente del lado derecho (b)? Si calculamos: y se cumple: Las mismas variables básicas lo son también de la nueva solución óptima, calculada con el nuevo . Si lo anterior no se cumple, se puede aplicar el Método Simplex Dual. Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal 2) ¿ Qué ocurre con la actual solución óptima si se agrega una nueva variable al problema ? Para decidir si la actual solución básica es óptima para el nuevo problema, calculamos el costo reducido de la nueva variable mediante la formula: Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal donde k es el índice de la nueva variable y Ak su respectiva columna en la matriz de coeficientes. Si se cumple que rk0 se conserva la actual solución óptima. En caso contrario, se sigue con el Simplex. Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal 3) ¿ Que ocurre con la actual solución óptima del problema P) si se cambian los coeficientes que definen la función objetivo ? Supongamos que el vector de coeficientes en la función objetivo cambia a un vector La actual solución óptima también lo es para con: Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Siempre que los nuevos costos reducidos sean mayores o iguales a cero (notar que también cambia el valor de la función objetivo en la actual solución óptima). Es decir se debe cumplir que: En caso contrario, se aplica el Simplex a partir de la tabla final de P) con los nuevos costos reducidos y nuevo valor de la actual solución básica. Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Veamos los cambios que tienen lugar cuando sólo varía un coeficiente del vector c de la función obj. a) Cambio de un coeficiente asociado a una variable no-básica xJ: Se conserva la misma solución óptima del problema P) ssi. para esa variable xJ: Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Consideremos : Por lo tanto se conserva la misma solución ssi: Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal b) Cambio en un coeficiente de la función objetivo asociado a una variable básica: En este caso para tener la misma solución óptima, se debe cumplir que el costo reducido de todas las variables.a cero. Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Si el incremento es cualquiera en el siguiente intervalo, se conserva la misma solución óptima: donde rj es el costo reducido de la respectiva variable no básica en la actual solución óptima y los coeficientes yij denotan las entradas en la tabla final del Simplex asociadas a la variable básica xi (cuyo costo cambia) y la respectiva variable no básica xj Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Ejemplo: La siguiente tabla, es la tabla final de un problema de programación lineal. Con esta tabla realizaremos un análisis de sensibilidad: Gestión de Investigación de Operaciones 1,00 2,33 1,67 0,00 0,27 -0,07 1333,33 -0,03 0,03 -0,01 66,67 6,67 3,33 2,93 18666,67

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Variar los recursos ( lado derecho): Las xB del problema primal no cambian como base óptima, si los valores asociados a estas variables. Para calcular estos intervalos de recursos, se necesita la matriz inversa asociada a las variables básicas del tabla final. Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Intervalo recurso 1: Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Intervalo recurso 2: Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Variable x1: Max {0}  C1  Min {((20/3)/(7/3)),((10/3)/(5/3))} 0  D1   C1* 12 Variable x4: Máx {((20/3)/(-1/30))}  D4  Min {((10/3)/(1/30))} -200  D4   C4* 240 Gestión de Investigación de Operaciones

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Variable x2: C2* = C2 + D2 C2 = -20 D2 - r2 C2*  ( 20/3) C2*  - 80/3 Variable x3: C3* = C3 + D3 C3 = -18 D3 - r3 C3*  ( 10/3) C3*  - 64/3 Gestión de Investigación de Operaciones

BIBLIOGRÁFIA EN PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Linear Programming and Network Flow, M.Bazaraa, J.Jarvis and H.Sherali. John Wiley & Sons, Inc., New York, Second Edition 1990. 2. Introduction to Linear Optimization, D.Bertsekas and J.Tsitsiklis. Athena Scientific USA, 1997. 3. Linear Programming, V.Chvátal. W.H. Freeman and Company, New York, 1983. 4. Linear Programming and Extensions, G. Dantzig. Princeton University Press, New Jersey, tenth printing, 1993. 5. Introducción a la Programación Lineal y No Lineal, D.Luenberger. Adisson Wesley Iberoamericana, 1989. 6. Linear and Combinatorial Programming, K. Murty. John Wiley & Sons, Inc., New York, Second Edition 1976. 7. Model Building in Mathematical Programming, H.P. Williams. John Wiley & Sons, Inc., New York, 4rd Edition 1999. Gestión de Investigación de Operaciones

DIRECCIONES ELECTRÓNICAS EN PROGRAMACIÓN LINEAL Preguntas de consulta frecuente en Programación Lineal: Servidor NEOS, guía de software de Programación Lineal: Servidor NEOS, ejemplo problema de la dieta: Guía de software de Programación Lineal en revista OR&MS Today (INFORMS Magazine): Gestión de Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Entera
Temario: III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. III.2. Resolución de problemas de P. E. III.3. Método de Branch and Bound. Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. a) Problema de la mochila. Una empresa está pensando invertir en cuatro proyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a lo más en 3 años. Los flujos de caja requeridos en cada año junto con el Valor Presente Neto de cada proyecto, concluídos los años de ejecución, y las disponibilidades de recursos financieros se resumen en la siguiente tabla: Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Interesa determinar en cuáles proyectos invertir de modo de conseguir el mayor V.P.N. de la inversión. Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4 Disp. Recursos Año 1 10 8 6 12 30 Año 2 15 4 Año 3 18 16 V.P.N. 35 24 Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Variables de decisión: Función objetivo: Max 35x1 + 18x2 + 24x3 + 16x4 Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Restricciones (tres alternativas): 1) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período: Año1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 = 30 Año2: 8x1 + 15x2 + 4x s2 = 15 + s1 Año3: 18x x3  12 + s2 xi  {0,1} i = 1,2,3,4 Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. 2) Sin invertir el dinero no utilizado en un período, pero utilizando el retorno de los proyectos concluídos: Año1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4  30 Año2: 8x1 + 15x2 + 4x3  x4 Año3: 18x x3  x2 xi  {0,1} i = 1,2,3,4 Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. 3) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período y, también el retorno de proyectos concluídos: Año1: 10x1+ 8x2+ 6x3+ 12x4+ s1 = 30 Año2: 8x1+ 15x2+ 4x s2 = 15 + s1 + 16x4 Año3: 18x x  12 + s2 + 18x2 xi  {0,1} i = 1,2,3,4 Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Notar que el conjunto de las soluciones factibles es finito. Esto ocurrirá generalmente con los problemas de Programación Entera (puros). En el ejemplo, el número de soluciones factibles no supera el número de las soluciones binarias del problema (variables restringidas sólo a valores 0 o 1) que son 24 = 16, dado el número de variables utilizadas, de hecho las soluciones factibles son menos de 16 pues en particular xi=1 para i=1,2,3,4 no satisface las disponibilidades de capital en cualquiera de las tres alternativas. Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Supongamos que adicionalmente la inversión efectuada requiera nuevas restricciones. Se debe invertir en al menos 1 de los 3 primeros proyectos: x1 + x2 + x3 ³ 1 El proyecto 2 no puede ser tomado a menos que el proyecto 3 si sea tomado: x2 £ x3 Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. iii) Se puede tomar el proyecto 3 o 4 pero no ambos: x3 + x4 £ 1 iv) No se puede invertir en más de dos proyectos: x1 + x2 + x3 + x4 £ 2 Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. b) Cumplimiento de un subconjunto de las restricciones de un problema. Consideremos un problema que posee las siguientes restricciones: 12x1 + 24x2 + 18x3  2400 15x1 + 32x2 + 12x3  1800 20x1 + 15x2 + 20x3  2000 Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Supongamos además, que nos basta con obtener alguna solucion óptima que verifique el cumplimiento de al menos 2 de las 3 restricciones anteriores. Variables de decisión: Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Cada inecuación anterior la reemplazamos por: 12x1 + 24x2 + 18x3  M1 (1- y1) 15x1 + 32x2 + 12x3  M2 (1- y2) 20x1 + 15x2 + 20x3  M3 (1- y3) Además, debemos agregar la restricción que permita que a lo más una de las restricciones no se cumpla: y1 + y2 + y3  2 Mi = constante lo suf. grande Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. c) Inclusión de costos fijos. Supongamos que se desea tener lotes de compra de un producto dado, para satisfacer demandas que fluctúan en el tiempo sobre un horizonte de planificación dividido en T períodos. Asumimos conocidos: una estimación de la demanda dt, con t = 1, 2, ..., T, los costos fijos asociados a la compra de una unidad pt, Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. los costos asociados al mantenimiento de una unidad en inventario de cada período ht y los costos fijos asociados a la gestión de compra en el período t, st. Observación: no se permite unidades de faltante. Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Variables de decisión xt: número de unidades compradas en t. It : nivel de inventario al final del período t. con t: 1, 2, ..., T Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Función objetivo Restricciones xt + It-1 - It = dt t = 1, 2, ..., T I0 = inventario inicial xt  Mt yt t = 1, 2, ..., T Mt = cte. grande Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. d) Problema de cobertura: Dado un número de regiones o zonas, en las cuales se ha subdividido una comuna, cuidad, país, etc., digamos que un total de m, se desea instalar un cierto número de servidores (escuelas, centros de atención primaria de salud, compañías de bomberos, etc.) de entre un conjunto de n potenciales servidores ubicados en alguna de las zonas dadas. Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Se conoce la información relativa a que zonas pueden ser atendidas por cada uno de los n potenciales servidores, es decir, se conoce la matriz de incidencia A = (aij) donde : Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Se desea determinar cuáles son los servidores que deben ser instalados de modo de dar cobertura a cada zona, dados los costos de instalación cj del servidor j. Variables de desición: Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Función objetivo: Restricciones:Para cada zona i Se agrega la siguiente restricción, si adicionalmente, hay algún límite en el número de servidores que se pueden instalar (digamos k) : Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. e) Problema de transporte y localización : Si se tiene un conjunto de m clientes que demandan di unidades de un producto determinado. Una compañía desea satisfacer esas demandas desde un cierto conjunto de plantas elegidas de n potenciales lugares donde se instalarán. Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Sean cj los costos asociados a la instalación de la planta j , vj el costo unitario de producción de la planta j y tij el costo de transporte de una unidad desde la planta j al cliente i . Se desea decidir cuáles plantas abrir y el tamaño de cada una de modo de satisfacer las demandas estimadas. Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Variables de decisión: xij = el número de unidades elaboradas en la planta j para satisfacer el cliente i, con j = 1,...,n y i = 1,....,m. Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Función objetivo: Costo de Costo de Costo de Instalación Producción Transporte Gestión de Investigación de Operaciones

III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Restricciones: 1) Demanda cliente i: 2) Relacionar variables de producción con las asociadas a la apertura de plantas (variables binarias): donde Mj es una constante grande (por ejemplo, capacidad máxima de producción de la planta j), con xij  0 e yj  {0,1}. Gestión de Investigación de Operaciones

III.2. Resolución de problemas de P. E. Supongamos que tenemos el siguiente problema de programación lineal: PL) Max cTx s.a. A x = b x  0 Pero todas o una parte de las variables deben restringir su valor a números enteros, dando origen a un problema de Programación Entera (puro) o de Programación Entera- Mixta, respectivamente. Gestión de Investigación de Operaciones

III.2. Resolución de problemas de P. E. Por ejemplo: PLE) Max cTx s.a. A x = b x  0, xj entero El problema PL) corresponde a la relajación continua del problema PLE), que resulta de eliminar las condiciones de integralidad de las variables de decisión en PLE). Gestión de Investigación de Operaciones

III.2. Resolución de problemas de P. E. El valor óptimo de PL) provee sólo una cota superior del valor óptimo de PLE). Notar sin embargo, que si la solución óptima de PL) cumple con la integralidad de los valores requiridos, entonces esta solución es también solución óptima de PLE). Gestión de Investigación de Operaciones

III.2. Resolución de problemas de P. E. Ejemplo PLE) Max x2 s.a. - 2x1 + 2x2  1 2x1 + x2  7 x1  0, x2  0 enteros Gestión de Investigación de Operaciones

III.2. Resolución de problemas de P. E. 7 3.5 - 2x1 + 2x2  1 2x1 + x2  7 x1 x2 . . Gestión de Investigación de Operaciones

III.2. Resolución de problemas de P. E. Notar que en el ejemplo la solución óptima puede ser hallada por simple enumeración de todas las soluciones factibles. Aquí las soluciones óptimas son: x1* = 1 o x1* = 2 x2* = 1 x2* = 1 Esta alternativa de enumeración queda naturalmente restringida a problemas muy pequeños. Gestión de Investigación de Operaciones

III.2. Resolución de problemas de P. E. Alternativamente, podemos resolver la relajación continua asociada al problema PLE). Si la solución óptima de la relajación continua da una solución entera, esa es la solución óptima no solo del problema lineal sino que también lo es del problema lineal entero. En el ejemplo, la solución de la relajación continua es: x1 = 3/2 x2 = 2 Gestión de Investigación de Operaciones

III.2. Resolución de problemas de P. E. A partir de esta última solución podemos redondear o truncar los valores que no salieron enteros, obteniendo respectivamente en el ejemplo: x1 = 2 x1 = 1 x2 = 2 x2 = 2 las cuales no son soluciones factibles de PLE), de modo que desde el punto de vista de una resolución numérica no es suficiente con resolver la relajación continua. Gestión de Investigación de Operaciones

III.2. Resolución de problemas de P. E. Todavía podrían resultar soluciones factibles de PLE), pero no neceasariamente óptimas. Por ejemplo: PLE) Max f(x1, x2) = x1 + 5x2 s.a. x1 + 10x2  10 x1  1 x1  0, x2  0 enteros Gestión de Investigación de Operaciones

III.2. Resolución de problemas de P. E. Solución óptima de PL) x1 = f(1,9/10)=5,5 x2 = 9/10 Redondeando o truncando los valores x1 = 1 infactible x1 = 1 f(1,0)=1 x2 = 1 x2 = 0 Pero la solución óptima de PLE) es: x1 = 0; x2 = 1; v(PLE) = 5 Gestión de Investigación de Operaciones

III.3. Método de Branch and Bound. Consideremos el siguiente problema de programación entera: PLE) Max 21x1 + 11x2 s.a. 7x2 + 4x2  13 x1  0 x2  0 x1, x2 enteros Gestión de Investigación de Operaciones

III.3. Método de Branch and Bound. Consideremos inicialmente la resolución de la relajación continua de PLE), que consiste en eliminar las condiciones de integralidad. Gestión de Investigación de Operaciones

III.3. Método de Branch and Bound. x1 x2 1 2 3 21x1+11x2 21x1+11x2=39 7x1+4x2=13 x2 = 3 x2 = 2 x2 = 1 x1 = 1 x1 = 2 13/7 sol. relajada 3/2 Gestión de Investigación de Operaciones

III.3. Método de Branch and Bound. Descripción del método Branch and Bound (maximización) Paso 0 Hacer P0), la relajación continua de PLE) Fijar la cota inferior del v(PLE) en -. Gestión de Investigación de Operaciones

III.3. Método de Branch and Bound. Paso1 Seleccionar un problema no resuelto, Pi) Resolver Pi) como problema de programación lineal. Agotar este problema, usando: (i) que se encontró una solución entera (ii) que el problema resulta infactible (iii) que el problema no provee un valor mejor que la actual cota del valor óptimo v(PLE). Gestión de Investigación de Operaciones

III.3. Método de Branch and Bound. Si el problema Pi) resulta agotado y da solución entera, mejorar el valor de la cota inferior de v(PLE). Si todos los problemas están agotados, parar. Solución óptima de PLE), la solución entera asociada a la actual cota inferior de v(PLE), si existe (si no existe entonces PLE) es infactible) Si el problema no está agotado pasar al paso 2. Gestión de Investigación de Operaciones

III.3. Método de Branch and Bound. Paso 2 Seleccionar una variable xj= ûj, cuyo valor en la solución óptima de Pi) no de entero. Eliminar la región correspondiente a ûj < ûj < ûj + 1 Crear dos nuevos problemas de programación lineal que incorporen a Pi) dos restricciones mutuamente excluyentes: xj  ûj, xj  ûj +1 una en cada problema y volver al paso 1. Gestión de Investigación de Operaciones

III.3. Método de Branch and Bound. P0 P1 P2 P11 P12 P121 P122 P1211 P1212 infactible x24 x22 x12 x11 x23 x21 x11 x1 = 13/7 x2 = 0 z = 39 x1 = 1 x2 = 3/2 z = 37.5 x2 = 1 z = 32 x1 = 5/7 x2 = 2 z = 37 x1 = 0 x2 = 13/4 z = 35.75 x2 = 3 z = 33 P0) Relajación continua -< z  39 P1) Max 21x1 + 11x2 s.a. 7x1 + 4x2  13 x1  1 x1  0 x2  0 P2) Max 21 x1 + 11x2 s.a. 7x1 + 4x2  13 x2  1 De donde 32  z  39  Solución óptima x1* = 0; x2* = 3; z = 33 Gestión de Investigación de Operaciones

BIBLIOGRÁFIA EN PROGRAMACIÓN ENTERA 1) Integer Programming, L.A.Wolsey. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. 2) Combinatorial Optimization C.H.Papadimitriou and K.Steiglitz. Prentice Hall Inc., USA, 1982. 3) Linear and Combinatorial Programming, K. Murty. John Wiley & Sons, Inc., New York, Second Edition 1976. 4) Integer and Combinatorial Optimization, George L. Nemhauser and Laurence A. Wolsey. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999. 5) Model Building in Mathematical Programming, H.P. Williams. John Wiley & Sons, Inc., New York, 4rd Edition 1999. Gestión de Investigación de Operaciones

DIRECCIONES ELECTRÓNICAS EN PROGRAMACIÓN ENTERA Preguntas de consulta frecuente en Programación Lineal: Servidor NEOS, guía de software de Programación Entera: Servidor NEOS, ejemplo problema corte de rollos: Guía de software de Programación Lineal en revista OR&MS Today (INFORMS Magazine): Gestión de Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación No - lineal
Temario: IV.1. Introducción y ejemplos. IV.2. Propiedades básicas de los problemas de programación no-lineal. IV.3. Problemas de optimización no restringida. IV.4. Problemas con restricciones de igualdad. IV.5. Problemas con restricciones de igualdad y desigualdad. IV.6. Métodos de optimización restringida. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. A esta clase de problemas de optimización pertenecen todos aquellos, en los cuales la función objetivo y/o las restricciones son funciones no-lineales de las variables de decisión. En particular, la programación no-lineal provee una manera de abordar el no cumplimiento del supuesto de proporcionalidad de la programación lineal, permitiendo la programación de economías o deseconomías de escala y/o retornos crecientes o decrecientes a escala. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. a) Rendimientos decrecientes a escala. Una compañía vende cuatro productos diferentes. El retorno que provee cada producto es una función de la cantidad de recursos asignados a la promoción y venta de cada producto, según la siguiente tabla: Gestión de Investigación de Operaciones PRODUCTO RETORNO (M$) Producto 1 x1 0.50 Producto 2 7.500 x2 0.75 Producto 3 9.000 x3 0.60 Producto 4 x4 0.30

IV.1. Introducción y ejemplos. En este ejemplo: xi es la cantidad de recursos asignados al producto i, con i = 1,2,3,4. El siguiente modelo provee una asignación de estos recursos, de modo de maximizar las utilidades, considerando una inversión anual no superior a los M$ Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. Max x x x x40.3 s.a: x1 + x2 + x3 + x4  xi  0; i = 1, 2, 3, 4, 5. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. b) Aproximación y ajuste de curvas. Supongamos que se tiene un conjunto de datos correspondientes a una determinada función y=g(x) (desconocida), digamos (x1,y1), (x2,y2), .., (xm,ym) y se desea aproximar g(x) por una función h(x) Gestión de Investigación de Operaciones y2 y1 ym x1 x2 xm

IV.1. Introducción y ejemplos. Algunas elecciones posibles: h (x) = a0 + a1 x h (x) = a0 + a1 x + a2 x2 h (x) = a0 + a1 h (x) = a0 h (x) = a0 + a1 x + a2 h (x) = a0 + a1 ln(x) Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. ¿Cómo elegir los coeficientes a=(a0,...,an) en la función h(x) que aproxima o ajusta los datos observados? Se define una función de error: e(x,a) = g(x) – h(x) Una elección posible de los coeficientes ai resulta de minimizar la suma ponderada de los errores al cuadrado en cada uno de los datos , es decir: Min F(a) = = Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. Que da origen a un problema de programación no-lineal sin restricciones. Si escogemos 1 = ... = m = 1 y h(x) = a0 + a1x, el problema corresponde a una regresión lineal. Gestión de Investigación de Operaciones y2 y1 ym x1 x2 xm h(x)= a0 + a1x

IV.1. Introducción y ejemplos. Cuya solución resulta ser: Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. c) Localización de instalaciones. Una compañía petrolera desea construir una refinería que recibirá suministros desde tres instalaciones portuarias, cuyas coordenadas se muestran en la siguiente figura: Gestión de Investigación de Operaciones 30 40 80 Puerto B Puerto C Puerto A

IV.1. Introducción y ejemplos. Si denotamos por x e y las respectivas coordenadas de la refinería que se debe instalar, una posible elección es aquella que resulta de minimizar la cantidad total de tubería necesaria para conectar la refinería con los puertos, dada por: Min f(x,y) = Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. La solución óptima calculada por el solver de Excel es: x*=30, y*= 37, Puerto B Puerto C Puerto A Refinería Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. d) Optimización de carteras de inversión Se desea obtener una cartera de inversiones en base a distintos instrumentos (acciones, pagarés, bonos, etc). La cartera elegida deberá reflejar un compromiso entre los retornos de los instrumentos elegidos y el riesgo asociado a cada uno de ellos, de hecho es natural esperar que a mayor retorno haya un mayor riesgo y también que exista cierta correlación entre los retornos de los distintos instrumentos de la cartera. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. A continuación se formula un modelo para obtener una cartera de inversión de un tomador de decisiones con aversión al riesgo, con un vector de retornos que tiene una distribución normal con media: r = (r1, r2, ..., rn)T y matriz de covarianza: Q = (sij) con i = 1, 2, ..., n y j = 1, 2, ..., n donde sii denota la varianza del retorno del instrumento i y donde sij (i ¹ j) es la covarianza de los retornos del instrumento i con el j. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. Sea xi el porcentaje de inversión del instrumento i en la cartera, con i = 1, 2, ..., n las variables de decisión del modelo y sea K una constante de aversión al riesgo. El siguiente modelo (propuesto por Markowitz, Premio Nobel de Economía 1991), combina ambos elementos presentes en una decisión de esta naturaleza: Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. Usando el servidor Neos para una cartera con tres acciones seleccionadas del menú para este problema en el servidor y un bono, se tiene: Gestión de Investigación de Operaciones

IV.1. Introducción y ejemplos. Selected value of K is 10.00 Risk less rate of return (monthly) is Gestión de Investigación de Operaciones Name Avg Return (monthly, pet) Std Desviation Pet of optimal Portfolio Coca Cola Co 2,885 6,574 48,6 Exxon Corp 1,647 4,939 13,7 Texaco Inc 1,869 6,381 16,6 Bond 0,407 21

IV.1. Introducción y ejemplos. Optimal Portfolio Statistics Avg Return (monthly, pet) 2,03 Std Desviation 4,02 Pet of Optimal Potrfolio 27,2 Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL De manera general, un problema de optimización considera la resolución de un modelo como el que sigue: P) Min f(x) s.a. x  D  IRn Donde f: IRn IR es una función, comúnmente continua y diferenciable, y D es el dominio de factibilidad del problema, generalmente dado por: D = {x IRn / gi(x) = bi i=1,...,m; hr(x) dr r =1,...,l} Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Decimos que x*  D es un mínimo global o solución óptima del problema P) ssi: f(x*)  f(x) para todo x  D Por otra parte, decimos que x^  D es un mínimo local del problema P) ssi: f(x^)  f(x) para todo x en una vecindad de x^ (x  D  B(x^, )) Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Min f(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5) s.a: 1  x  5 Gestión de Investigación de Operaciones x f(x) Son mínimos locales x=1, x+ y x*, en tanto la solución óptima o minimo global es x* x* x+ 1 2 3 4 5

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL f(x,y) = -4x3 + 3x - 6y Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL f(x,y) = x2 - 4x - 2y Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Existen resultados que garantizan la existencia y unicidad de la solución de un problema de programación no lineal. Teorema (Weiertrass). Si f es una función continua y D es un conjunto no vacío cerrado y acotado de IRn, entonces P) tiene solución óptima. Teorema. Si f es una función continua y D es un conjunto cerrado no vacío y además f cumple que: , entonces P) tiene solución óptima. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Por su parte, la unicidad de la solución óptima se puede garantizar sólo bajo ciertas condiciones muy especiales. De igual modo es posible garantizar si un mínimo local es un mínimo global del problema. Para esto se requiere saber si el problema P) es un problema convexo, esto es si la función objetivo f(x) es convexa y el conjunto D de puntos factibles es un conjunto convexo. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Definición. Decimos que f: IRnIR es una función convexa ssi: fx + (1-)y )  f(x) + (1-)f(y) para todo x, y  D (x  y) con   [0, 1] Si la desigualdad anterior se cumple de manera estricta, decimos que f es estrictamente convexa. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL x y f(x) f(y) Lineal a trozos Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Adicionalmente, se tiene el siguiente resultado Teorema. Si f es una función dos veces continuamente diferenciables, las siguientes afirmaciones son equivalentes: f es una función convexa f(x)  f(y) + fT(y)(x-y) para dos puntos cualesquiera x e y. La matriz hessiana de las segundas derivadas parciales de f, denotada en lo que sigue por D2f(x), es semi positiva definida para todo x. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Por otra parte, también podemos caracterizar si un conjunto cualquiera es convexo o no, de acuerdo a la siguiente: Definición. D  IRn, un conjunto no vacío, es convexo ssi x + (1-) y  D, para todo x  D, y  D con   [0,1]. Gestión de Investigación de Operaciones x y No es convexo x y Es convexo

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Así por ejemplo, si h(x) es una función convexa el conjunto D = { x  IRn  h(x)  d } es convexo para cualquier escalar real d. También es posible demostrar que la intersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo. De aquí que por ejemplo el problema P) Min f(x) s.a hr(x)  dr r=1,2,...,l Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Con f(x) y hr(x) funciones convexas para r=1,2,..,l definen un problema convexo, pues el dominio de factibilidad es la intersección de los conjuntos convexos Dr={ x  IRn  hr(x)  dr }, para r=1,2,..,l. Teorema. Si P) es un problema convexo y x* es un mínimo local de P) entonces x* es un mínimo global o solución óptima de P), si además, f es una función estrictamente convexa x* es una solución óptima única. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL La principal dificultad en los problemas de programación no lineal es que incluyen restriciones no lineales de igualdad como g(x) = b y el conjunto de puntos {xIRn : g(x)=b} generalmente no es convexo cuando g(x) es una función no lineal cualquiera. Por lo tanto no todos los problemas de programación no lineal son convexos y esto hace más difícil garantizar que la solución encontrada por un solver sea una solución óptima del problema. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Como puede verse en el siguiente ejemplo, que resolveremos gráficamente, la geometría de los problemas también cambia respecto de lo observado en programación lineal. Consideremos el siguiente problema: Min (x1 - 3)2 + (x2 - 4)2 s.a. x1 + x2  5 x1 - x2  5/2 x1  0, x2  0 Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL La solución óptima x* de este problema se alcanza el punto x1* = 2, x2* = 3 correspondiente al único punto de la curva de nivel que tiene el menor valor y que intersecta la región de puntos factibles. Notar que la solución ya no corresponde a un vértice del dominio de factibilidad del problema, aún cuando todavía esta solución se alcanza en la frontera de dicho conjunto. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Sin embargo, esto último, a diferencia de lo que ocurre en programación lineal, no siempre se produce. Si por ejemplo el problema es ahora: Min (x1 - 2)2 + (x2 - 2)2 s.a x1 + x2  5 x1 - x2  5/2 x1  0, x2  0 Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL La solución cambia a lo representado en la siguiente figura, donde la solución óptima se alcanza en x1* = 2, x2* = 2, ahora perteneciente al interior del dominio de factibilidad del problema. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Gestión de Investigación de Operaciones

IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL Gráficamente, también podemos observar la presencia de divesos mínimos locales en un problema no lineal. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. En esta sección consideraremos un problema P) Min f(x) con x  IRn A esta clase de problemas pertenece por ejemplo el problema de aproximación y ajuste de curvas. Sin embargo, la principal razón para su estudio radica en la extensión de las ideas y métodos para esta clase de problemas a los problemas de optimización restringida. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. A continuación se resumen algunos resultados teóricos para esta clase de problemas: Teorema (condiciones necesarias de primer orden). Si f es una función continuamente diferenciable y x+  IRn es un mínimo local de P), entonces: f(x+) = 0. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Teorema (condiciones necesarias de segundo orden). Si f es una función dos veces continuamente diferenciable y x+  IRn es un mínimo local de P), entonces: f(x+) = 0 y D2 f(x+) es semi positiva definida. Dado lo anterior, no todos los puntos x  IRn que satisfacen las propiedades mencionadas son mínimos locales de la función, sin embargo existen resultados que proveen condiciones necesarias y suficientes para que un punto sea un mínimo local. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Teorema (condiciones necesarias y suficientes de segundo orden). Sea f una función dos veces continua diferenciable en x+  IRn . Si f(x+) = 0 y D2f(x+) es positiva definida, entonces x+ es un mínimo local estricto. Teorema. Sea f una función convexa continuamente diferenciable, entonces x+ es un mínimo global ssi f(x+) = 0. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Ejemplo. Considere la función: f(x1,x2) = 3 x12 + x23 - 3/2 x22 su gradiente y matriz Hessiana corresponden a: Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. De modo que hay dos posibles candidatos, x+ = (0, 0)T y x* = (0, 1)T, que satisfacen las condiciones necesarias de primer orden. Sin embargo sólo es positiva definida en x* = (0,1), de modo que x* es un mínimo local del problema. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. La mayor parte de los algoritmos de optimización para abordar esta clase de problemas pertenecen a la clase de algoritmos generales de descenso que reducen el cálculo de un mínimo local a una secuencia de problemas de búsqueda lineal (o búsqueda unidimensional). Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Decimos que un vector d  IRn es una dirección de descenso de la función f en el punto x+ ssi la derivada direccional de f en x+ en la dirección d, es negativa: Gestión de Investigación de Operaciones x1 x2 Z=10 Z=20 x+ f(x) -f(x) d

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Consideremos además la función unidimensional (en una variable) g() = f(x+ + d) donde  es un escalar real llamado el tamaño del paso. Esta función da el valor de la función f cuando uno se mueve a partir del punto x+ en la dirección d un cierto paso . Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Claramente, si g’(0) = fT(x+)d < 0, es posible escoger un paso  tal que: g() = f(x+ + d) < f(x+) = g(0) esto es, que reduzca el valor de la función respecto del valor actual en x+. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Algoritmo general de descenso 1) Considere un punto inicial x = x0. Hacer k = 0. 2) Escoger una dirección de descenso dk. 3) Realizar una búsqueda lineal que seleccione un paso k tal que: gk(k) = f(xk + kdk) < f(xk) = gk(0) 4) Hacer xk+1 = xk + kdk. 5) Hacer un test de convergencia. Si converge parar. En caso contrario, hacer k=k+1 y volver a 2) Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. En el paso 5), los criterios más usuales de convergencia son que se cumpla:  f(xk)    f(xk+1) - f(xk)/ (1+ f(xk))   para un cierto número L de valores consecutivos de k, y donde  es una tolerancia de error dada, por ejemplo  = 10-4. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Existen varios métodos para escoger una dirección de descenso, uno de ellos es: Método del Descenso más Pronunciado En este método, también conocido como Método del Gradiente o Método de Cauchy, dado la actual aproximación xk, la dirección de descenso se escoge como: dk = -f(xk) Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Ejemplo.Considerar el problema: Min (x1 – 2)4 + (x1 – 2x2)2 sa: que resolvemos usando el método del descenso más pronunciado a partir del punto x10 = 0, x20 = 3 Gestión de Investigación de Operaciones

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IV.3. Problemas de optimización no restringida. Iteración k xk f(xk) f(xk) k 1 (0.00,3.00) (-44.00,24.00) 0.062 2 (2.70,1.51) (0.73, 1.28) 0.24 3 (2.52,1.20) (0.80,-0.48) 0.11 4 (2.43,1.25) (0.18, 0.28) 0.31 5 (2.37,1.16) (0.30,-0.20) 0.12 6 (2.33,1.18) (0.08, 0.12) 0.36 7 (2.30,1.14) (0.15,-0.08) 0.13 8 (2.28,1.15) (0.05, 0.08) Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Otra elección posible para la dirección de descenso es la que usa el: Método de Newton Aquí el vector dk se calcula como la solución del siguiente sistema de ecuaciones: D2f(x)dk = - f(x) Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Sin embargo, a pesar de ser un método más eficiente que el anterior respecto de su rápidez de convergencia, requiere en cada iteración, el cálculo de las segundas derivadas parciales y la resolución de un sistema de ecuaciones. Además, dk está garantizada que es una dirección de descenso sólo si D2f(xk) es positiva definida. Al aplicar el método al ejemplo anterior se tiene: Gestión de Investigación de Operaciones

IV.3. Problemas de optimización no restringida. Iteración k f(xk) f(xk) 1 (0.00,3.00) (-44.00,24.00) 2 (0.67,0.33) (-9.39,-0.04) 3 (1.11,0.56) (-2.84,-0.04) 4 (1.41,0.70) (-0.80,-0.04) 5 (1.61,0.80) 6 (1.74,0.87) 8 (1.83,0.91) Gestión de Investigación de Operaciones (-0.22,-0.04) (-0.07, 0.00) ( ,-0.04)

IV.4. Problemas con restricciones de igualdad. El problema que se desea abordar consiste en: P) Min f(x) s.a. g1(x) = b1 g2(x) = b2 g m(x) = bn mn Gestión de Investigación de Operaciones

IV.4. Problemas con restricciones de igualdad. Definición. Decimos que x  IRn es un punto regular de las restricciones del problema P) ssi: gi(x) = bi i = 1, 2, ..., m g1(x), g2(x), ..., gm(x) son vectores l.i. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.4. Problemas con restricciones de igualdad. Para presentar algunos resultados teóricos, que permiten el cálculo de mínimos locales, se introdujo la definición anterior, que se relaciona con el cumplimiento de ciertas condiciones de regularidad del problema. A continuación, introducimos la función Lagrangiana asociada a P): Gestión de Investigación de Operaciones

IV.4. Problemas con restricciones de igualdad. donde l = (l1, l2, ..., lm)T representa el vector de los Multiplicadores de Lagrange. Los siguientes resultados teóricos establecen ciertas propiedades que satisface un mínimo local, las cuales muestran, en particular, que dicho punto es un punto estacionario de la función lagrangeana. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.4. Problemas con restricciones de igualdad. Teorema. (Condiciones necesarias de primer orden): Sean f(x) y g1(x),g2(x),...,gm(x) funciones continuamente diferenciales y sea x^ un mínimo local que además es un punto regular de las restricciones de P), entonces existe un vector λ^  IRm, de multiplicadores de Lagrange tales que: Gestión de Investigación de Operaciones

IV.4. Problemas con restricciones de igualdad. Teorema (Condiciones necesarias y suficientes de segundo orden). Sean f, g1 ,g2, ..., gm funciones dos veces continuamente diferenciables y sea x^  IRn un punto regular de las restricciones de P) que junto con λ^  IRm, satisfacen: y que es una matriz positiva definida entonces x^ es un mínimo local de P). Gestión de Investigación de Operaciones

IV.4. Problemas con restricciones de igualdad. Ejemplo: Buscamos la solución óptima usando las condiciones de optimalidad: Gestión de Investigación de Operaciones

IV.4. Problemas con restricciones de igualdad. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.4. Problemas con restricciones de igualdad. Luego las condiciones de primer orden son: 2x1 + λ1 = 0 2x2 + λ1 = 0 x1 + x2 - 4 = 0 ( Factibilidad) Resolviendo el sistema: x1 = x2 = 2; λ1 = -4, luego por existencia de la solución óptima de P) se tiene que la solución óptima es : x1=2 , x2=2 Gestión de Investigación de Operaciones

IV.4. Problemas con restricciones de igualdad. De todos modos las condiciones de segundo orden se cumplen pues: es positiva definida. Notar que en x* se tiene: Gestión de Investigación de Operaciones

IV.5. Prob. con rest. de igualdad y desigualdad. Por último consideramos un problema más general de optimización: P) Min f(x) s.a. gi(x) = bi i = 1, 2, ..., m hr(x) = dr r = 1, 2, ..., l En este caso decimos que x^ es un punto regular de las restricciones del problema ssi: Gestión de Investigación de Operaciones

IV.5. Prob. con rest. de igualdad y desigualdad. gi(x^) = bi ; i = 1, 2, ..., m hr(x^) £ dr ; r = 1, 2, ..., l g1(x^), g2(x^), ..., gm(x^), hj(x^) vectores l.i. con j Î { r / hr(x^) = dr } Gestión de Investigación de Operaciones

IV.5. Prob. con rest. de igualdad y desigualdad. Teorema (condiciones necesarias de primer orden de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)). Suponga que las funciones f, g1, ..., gm, h1, ..., hl son continuamente diferenciables. Sea x^ un punto regular de P) y mínimo local del problema, entonces existen multiplicadores de lagrange: l1, l2 , ..., lm y m1 , m2 , ..., ml ³ 0 : Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. a) Método de activación de restricciones Este método se aplica en esta descripción a problemas que sólo poseen restricciones de desigualdad. La idea es que si el problema no restringido tiene una solución óptima que no satisface una parte de las restricciones, se considera k restricciones como de igualdad y se resuelve este problema restringido hasta llegar a un conjunto de restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones omitidas. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. Paso1: Resuelva el problema no restringido. Si el óptimo satisface todas las restricciones parar, en caso contrario, hacer k=1 e ir al paso 2. Paso 2: Activar cualquiera de las k restricciones y hallar una solución que satisfaga las condiciones de optimalidad KKT. Si la solución resulta factible para las restantes restricciones parar. Sino, active otro conjunto de k restricciones y repita el paso. Si se han tomado todos los conjuntos de k restricciones sin hallar solución factible ir al paso 3. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. Paso 3: Si k = L (# total de restricciones) no existe solución factible. En caso contrario, hacer k= k+1 e ir a paso 2. Ejemplo. Consideremos el problema: Min (2x1 – 5)2 + (2x2 – 1)2 s.a. x1 + 2x2  2 x1, x2  0 Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. El problema no restringido tiene como solución a x1* = 5/2 y x2* = ½ obtenida al resolver: f(x) = 0 Claramente, este punto no satisface la restricción: h1(x1,x2) = x1 + 2x2  2. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. Consideramos entonces activa la restricción lineal, esto es resolvemos: f(x1, x2) + m1 h1(x1, x2) = 0 h1 (x1, x2) = 2 Cuya solución optima es: x1^ = 22/10 = 11/5 x2^ = -1/10 m1^ = -12/5 que no satisface x2  0 Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. Continuando con el método, si sólo se activa x1= 0 se llega al mínimo local: x1 = 0, x2 = ½ 2= 0, 1= 0, 3= 0 Notar que otro mínimo local se tiene con x1 + 2x2  2 y x2 = 0 activas, obteniéndose: x1 = 2, x2 = 0. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. b) Método de Frank – Wolfe. Este método permite la resolución de un problema cuya función objetivo es una función convexa no-lineal y cuyas restricciones son todas lineales. Este método reemplaza la función objetivo por una secuencia de funciones lineales que la aproximan, dando así origen a una secuencia de problemas de programación lineal. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. Si xk es la actual aproximación a la solución óptima del problema P) Min f(x) s.a. Ax = b x  0 Entonces la expansión en serie de Taylor en torno a x =xk, a saber f(x) = f(xk) + f(xk)(x – xk), permite aproximar el problema P) por el problema lineal: Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. Min f(xk) + f(xk)(x – xk) s.a. Ax = b x  0 o equivalentemente, eliminando los términos constantes, se puede considerar el problema: PLk) Min f(xk)x Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. Si xPLk denota la solución óptima de PLk), este punto no necesariamente es cercano a xk de modo que es necesario proponer un punto que resulte de hacer una minimización unidimensional en el segmento que une xk con xPLk. Todo lo anterior se resume en el siguiente algoritmo: Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. Pao 0: Escoger un punto inicial factible x0. Hacer k = 1. Paso 1: Evaluar c= f(xk-1) Paso 2: Hallar la solución óptima xPLk del siguiente problema lineal Min cT x s.a. Ax = b x  0 Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. Paso 3: Para la variable   [0, 1], se define g() = f(xk-1 +  [xPLk – xk-1]) Usar algún procedimiento de minimización unidimensional para hallar un k que aproxime la solución de Min { g() /   [0, 1]} Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. Paso 4: Hacer xk = xk-1 + k (xPLK – xk-1) Paso 5: Si se satisface el criterio de parada del método, parar. En caso contrario, hacer k = k + 1 y volver al Paso 1. Gestión de Investigación de Operaciones

IV.6. Métodos de optimización restringida. Ejemplo. Min x12 – 5x1 + 2x22 – 8x2 sa: 3x1 + 2x2 £ 6 x1, x2 ³ 0 Gestión de Investigación de Operaciones Iteración k x k-1 Ñ f(x k-1) xLPk xk ak 1 (0, 0) (-5, -8) (0, 3) (0, 2) 2/3 2 (-5, 0) (2, 0) (5/6, 7/6) 5/12

BIBLIOGRÁFIA EN PROGRAMACIÓN NO LINEAL 1. Nonlinear Programming, M.Bazaraa, H.Sherali and C.Shetty. John Wiley & Sons, Inc., New York, Second Edition 1993. 2. Nonlinear Programming, D.Bertsekas. Athena Scientific USA, 1995. 3. Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, J.Dennis and R.Schnabel. SIAM Classics in Applied Mathematics 16. SIAM Publications, Philadelphia, 1996. 4. Practical Methods of Optimization, R.Fletcher. John Wiley & Sons, Inc., 1981. 5. Introducción a la Programación Lineal y No Lineal, D.Luenberger. Adisson Wesley Iberoamericana 1989. 6. Mathematical Programming: Theory and Algorithms, M.Minoux. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1986 7. Optimization Software Guide, J.Moré and S.Wright, SIAM Frontiers in Applied Mathematics 14, SIAM Publications, Philadelphia 1993. Gestión de Investigación de Operaciones

DIRECCIONES ELECTRÓNICAS EN PROGRAMACIÓN NO LINEAL Preguntas de consulta frecuente en Programación No Lineal: Servidor NEOS, guía de software de Programación No Lineal : Servidor NEOS, ejemplo problema de carteras de inversión: Guía de software de Programación No Lineal en revista OR&MS Today (INFORMS Magazine): Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov Temario: V.1. Introducción. V.2. Proceso de Poisson. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. V.4. Clasificación de los estados y distribución límite. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov V.1. Introducción. Un Proceso Estocástico se define como secuencia de variables aleatorias {Xt} tT, donde el conjunto de índices T puede ser un conjunto discreto, por ejemplo T = {0,1,2,3,...}, caso en el cual decimos que el proceso es tiempo discreto o bien T puede ser un intervalo, por ejemplo T= [0,), caso en el cual decimos que el proceso es en tiempo continuo. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov V.1. Introducción. El proceso estocástico {Xt} tT puede representar por ejemplo: El número de vehículos esperando en una plaza de peaje en el instante t. El número total de llamadas recibidas solicitando un determinado servicio hasta el instante t. El número de máquinas descompuestas o en reparación en un determinado taller en el instante t. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov V.1. Introducción. El nivel de inventario de cierto producto al final del día t. El valor de una determinada acción en el instante t. Por ejemplo, la evolución del número de compradores en una tienda al ser abierta al público, entre las 8:00 y 9:40 de la mañana (100 minutos) puede ser representada por un proceso estocástico y una posible realización de éste se observa en la siguiente gráfica: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov V.1. Introducción. Número de compradores en el sistema Tiempo (en minutos) 1 2 3 4 20 40 60 80 100 Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Temario: V.1. Introducción. V.2. Proceso de Poisson. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. V.4. Clasificación de los estados y distribución límite. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. En primer lugar, definimos un proceso estocástico de conteo {Nt} t0, que corresponde al número total de eventos o llegada de entidades, a un sistema dado, ocurridas hasta el instante t, el cual satisface: N0=0. Los valores de Nt están restringidos a números enteros. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. iii) Nt es un proceso no decreciente en el tiempo, es decir si s < t entonces Ns  Nt iv) Si s < t entonces Nt – Ns es el número total de eventos en el intervalo (s,t] Si por ejemplo, Nt denota el número total de llamadas recibidas en una central telefónica hasta el instante t, para todo t  0, una realización posible del proceso estocástico {Nt} t0 puede ser: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Número de llamadas Tiempo 1 2 3 4 5 6 Nt Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Un proceso estocástico de conteo {Nt} t0 se dice un proceso de Poisson ssi satisface las siguientes propiedades: i) Incrementos estacionarios. La probabilidad de que ocurra exactamente k eventos en el intervalo (s,s+h] depende sólo del tiempo de duración h y no del instante s, es decir, si t10, t20 y h0 entonces Nt1+h–Nt1 y Nt2+h–Nt2 son v.a. con igual distribución. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. ii) Incrementos Independientes. El número de eventos que ocurren durante intervalos de tiempo disjuntos son independientes. Es decir, si 0<t0<t1<...<tn entonces Nt0, Nt1-Nt0, ..., Ntn-Nt(n-1) son v.a. Independientes. iii) Propiedad de orden. Se asume que no tiene lugar de manera simultánea la llegada u ocurrencia de dos o más eventos. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Existe una constante  > 0 tal que para todo t [0,[ y h > 0, se tiene: IP(Nt+h – Nt =1) = h +o(h) IP(Nt+h - Nt  2) = o(h) Si {Nt}t0 es un proceso de Poisson, entonces para todo t  0, la variable aleatoria Nt es una variable aleatoria Poisson de parámetro t, esto es Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. IP(Nt = k) = -et (t)k / k ; k= 0,1,2,3,..., donde  es la tasa de ocurrencia de eventos por unidad de tiempo. De aquí entonces que IE (Nt) = t Var(Nt) = t Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Ejemplo. Para un proceso de Poisson a tasa , se sabe que entre 0 y t han ocurrido n eventos. Hallar la probabilidad de que en un subintervalo de longitud h haya ocurrido exactamente k de esos eventos. Sea {Nt}t0 dicho proceso, entonces Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. IP(Nh=k / Nt=n) = IP(Nh=k, Nt=n) / IP(Nt=n) = IP(Nh=k, Nt – Nh = n - k) / IP(Nt=n) = IP(Nh=k)IP(Nt – Nh = n - k) / IP(Nt=n) = IP(Nh=k)IP(Nt-h= n - k) / IP(Nt=n) = e-h(h)k / k e-(t-h) ((t-h))n-k / (n-k) / e-t(t)n / n = Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Ejemplo. Suponga que llegan pasajeros a un terminal de buses de acuerdo a un proceso de Poisson {Nt}t0 a tasa =3 pas./min. En el instante t=0 acaba de salir un bus y no deja ningún pasajero en la fila, suponga además que cada bus tiene una capacidad suficiente para no dejar pasajeros esperando en el terminal. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Sea T el tiempo que transcurre hasta la próxima salida de un bus, este corresponde a una v.a. uniforme en el intervalo (9 min, 11 min) y es independiente del proceso {Nt}t0. Se desea calcular el número esperado de pasajeros que aborda cada bus. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Solución Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Interesa estudiar sistemas en los cuales ocurren determinados eventos a través del tiempo. Hemos utilizado un proceso de Poisson {Nt}t0 para el número de eventos que ocurran hasta un instante t, asociado a este proceso también existen v.a. continuas T1, T2,..., Ti, ... que indican el instante de ocurrencia del i-ésimo evento y v.a. continuas S1 = T1, S2 = T2 - T1, ... que representan el tiempo transcurrido entre eventos sucesivos. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Número de eventos Tiempo 1 2 3 4 5 6 Nt T1 T2 T3 T4 T5 S1 S2 S3 S4 S5 Gestión de Investigación de Operaciones

F(t) = IP (Si  t) = 1 – e-t f(t) = e-t
III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Teorema. Si {Nt}t0 es un proceso de Poisson a tasa , las v.a. S1, S2, S3, ... de los tiempos entre eventos sucesivos, son i.i.d. con distribución exponencial de parámetro . Es decir, para t0 F(t) = IP (Si  t) = 1 – e-t f(t) = e-t son sus respectivas funciones de distribución y densidad. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Ejemplo. Sea {Nt}t0 un proceso de Poisson a tasa , que cuenta el número de veces que se ha reemplazado una ampolleta en una lámpara determinada. Si la primera ampolleta lleva s horas funcionando, calcular la probabilidad de que complete más de s + t horas funcionando. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Denotamos por T1 la v.a. correspondiente al tiempo transcurrido hasta que se produce el primer reemplazo. Entonces T1  Exp(), luego Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Lo anterior quiere decir que el funcionamiento de la ampolleta durante las siguientes t horas no depende de cuantas horas lleva funcionando, esta propiedad es conocida como la falta de memoria de la distribución exponencial. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Ejemplo. Suponga que en un proceso productivo se tiene dos máquinas que trabajan en paralelo elaborando un mismo producto. Sean Nt1 y Nt2 procesos de Poisson independientes a tasas 1 y 2 que cuentan el número de fallas hasta el instante t de la máquina 1 y 2 respectivamente. Calcular la probabilidad de que la máquina 2 falle por primera vez antes de que la máquina 1 falle por primera vez. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Sean T1 y T2 los tiempos transcurridos hasta que se produce la primera falla en la máquina 1 y 2 respectivamente. Entonces, T1  Exp(1) y T2  Exp (2) y se pide calcular IP(T2<T1) lo cual resulta, condicionando por ejemplo en el valor de T1, IP (T2<T1 ) = 2/(1 +2) Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Condicionando el valor de T1 se tiene: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Por otra parte, las variables aleatorias T1,T2,..., de los instantes de ocurrencia de los eventos satisfacen: T1 = S  Exp () T2 = S1 + S2  Gamma (2,) Ti = S1 + S Si  Gamma (n,) Gestión de Investigación de Operaciones .

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.2. Proceso de Poisson. Cuya función de distribución corresponde a: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Consideremos un ejemplo simplificado relacionado con la propagación de una enfermedad contagiosa. La transmisión de la enfermedad se produce desde un individuo infectado a uno susceptible. Consideremos periodos semanales. Sea p la probabilidad de que durante una semana cualquiera un individuo infectado le transmita la enfermedad a uno susceptible. Asuma que una vez que una persona ha sido infectada queda inmune, una vez que ha sido tratada. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Sea Xn el número de individuos susceptibles de contagio en la población, al final de la semana n=1,2,... Se define , como la probabilidad de que haya j individuos susceptibles al final de la semana n+1 dado que hay exactamente i individuos susceptibles al final de la semana n (i  j ). Entonces: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Un proceso estocástico en tiempo discreto {Xn}n=1,2,.... se denomina una Cadena de Markov en tiempo discreto ssi satisface las siguientes propiedades: i) Propiedad Markoviana: Donde i0, i1, ..., in-1, i, j son posibles “ estados” o valores que puede tomar el proceso estocástico en las distintas etapas. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. ii) Propiedad estacionaria: La probabilidad , no depende de la etapa n. Las probabilidades pij son llamadas “probabilidades de transición en una etapa del estado i al estado j “. Suponiendo que cada etapa n la v.a. Xn toma un número finito de valores (estados), digamos 1,2,... M; estas probabilidades definen una matriz P de probabilidades de transición en una etapa. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Adicionalmente, se supone conocida la distribución de probabilidad de la Cadena de Markov en la etapa inicial, que denotamos según f0 , donde : Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. El conocimiento del proceso estocástico {Xn}n=0,1,2,...consiste en poder determinar la distribución de probabilidad en cada etapa, esto es calcular IP (Xn = j) para cada n  1 y estado j= 1,2,.....,M. Notar que para cada j: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Matricialmente esto equivale a tener: De manera recursiva se tiene entonces: fn = PT fn-1 = (PT)n f0 Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. También es posible obtener las probabilidades de transición de un estado a otro al cabo de k etapas, que denotamos por : Que resumidas en una matriz ( para el caso de un número finito de estados). Estas satisfacen las ecuaciones de Chapman y Kolmogorov que implican: P(k) = Pk Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Ejemplo 1. Considere una tienda que mantiene un inventario de un producto dado para satisfacer una demanda (aleatoria). La demanda diaria D, tiene la siguiente distribución: IP (D = 0) = 1/4, IP (D = 1) = 1/2, IP (D = 2) = 1/4, IP (D >= 3) = 0 Sea Xn el nivel de inventario al inicio del día n y suponga que la tienda tiene la política de mantención de inventario (s, S), que consiste en que si al final del día se posee menos de s, se Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. hace una orden de pedido que al inicio del día siguiente eleva las existencias al nivel S y en caso contrario, no se pide nada. Asuma que la demanda no satisfecha es demanda perdida y que al inicio del horizonte de planificación hay S unidades en inventario con s = 1 y S = 2. Se tiene que: Xn  {1, 2} ; n = 0, 1, 2, ... Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Entonces la matriz de probabilidades de transición en una etapa corresponde a: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Ejemplo 2. Suponga que en el sistema de las AFP existen solo 2; las AFP A y las AFP B. Sea N el número de personas afiliadas al sistema; la superintendencia está preocupada de que las cuentas individuales estén al día. Para ello ha establecido un sistema de control basado en el siguiente procedimiento: al final de cada mes escoge una persona al azar de los N existentes en el sistema. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Si la AFP a la cual pertenece la persona no tiene su cuenta individual al día; la persona es traspasada de inmediato a la otra AFP, en caso contrario la deja en la AFP en la que estaba. Suponga que la probabilidad de que un afiliado en la AFP A tenga su cuenta al día es P1 y que esta probabilidad para la AFP B es P2. Se desea estudiar la movilidad de los clientes en cada AFP en cada mes del horizonte de planificación. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Se tiene: Xn: el número de personas en la AFP A al final del mes n; con n = 0, 1, 2, ..., n xn  {0, 1, 2, ..., N} Calculemos las probabilidades de transición en una etapa (mes) Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. En esta sección se presentan algunos resultados que tienen relación con la existencia y cálculo de una distribución para la Cadena de Markov en el largo plazo. Previamente, se enumeran algunas definiciones que clasifican los estados de una cadena: i) Un estado j se dice accesible desde el estado i ssi para algún n Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. ii) Si tanto el estado i es accesible desde j como viceversa decimos que los estados i y j se comunican. iii) Dos estados que se comunican están en una misma clase de estados. iv) Se dice que una cadena es irreducible si hay una sola clase de estados. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. v) Un estado se dice que tiene periodo d, para el mayor valor del entero d que cumple: sólo para valores de n pertenecientes al conjunto {d, 2d, 3d, ....}. Si d=1 decimos que el estado es aperiódico. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. vi) Se define T(i,j) como el número de etapas requeridas por el proceso para pasar de estado i al estado j por primera vez. De igual modo se define: es decir : como la probabilidad de que comenzando en i, ocurra la primera transición al estado j al cabo de exactamente k etapas. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. Puede probarse por inducción, la siguiente formula: vii) En particular, se denota por Fk(i,i) la probabilidad de que el proceso retorne al estado i por primera vez al cabo de k etapas. De modo que: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. que es la probabilidad que partiendo en i , el proceso regrese al estado i alguna vez. viii) Un estado se dice recurrente ssi F(i,i) = 1 ix) Un estado se dice transciente ssi F(i,i)< 1 x) Sea , el valor esperado de el número de etapas que le toma al proceso volver al estado i por primera vez, partiendo del estado i. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. Un estado se dice recurrente positivo ssi: Un estado se dice recurrente nulo ssi : Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. Ejemplo Define una cadena de estados irreducible con estados recurrente positivos periódicos Posee dos clases de estados y uno de los estados es transciente. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. Es una cadena irreducible, de estados recurrentes positivos y todos sus estados son periódicos de periodo d=2. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. Si la distribución de probabilidad del proceso en el largo plazo existe y es independiente de la distribución inicial (o del estado inicial), decimos que el proceso tiene una distribución estacionaria p = (p1, p2, ..., pM)T Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. Proposición. Sea {Xn}n=0,1,2 una cadena de Markov irreducible con estados recurrentes positivos aperiódicos, entonces existe una distribución estacionaria , tal que  > 0 y que se obtiene como la solución única del sistema: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. Ejemplo. Se desea calcular las probabilidades estacionaria j, que también representan la fracción del tiempo que el sistema esta en el estado j en el largo plazo Gestión de Investigación de Operaciones 1 2 3 1/2 1/3 2/3

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. Sistema que corresponde a las siguientes ecuaciones: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. Ejemplo: Una compañía esta considerando emplear cadenas de markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes: Gestión de Investigación de Operaciones 1 2 3 0.8 0.1 0.03 0.95 0.02 0.2 0.05 0.75

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. En la actualidad los porcentajes de mercado son 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuales serán los porcentajes de mercado de cada marca en dos meses más? xn{1,2,3}: marca que adquiere un cliente cualquiera en el mes n=0,1,2,3,... Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. Al término del mes siguiente: Y dos meses después: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. De aquí las cuotas de mercado en dos meses a cambiado de un 45% a un 40.59%; de un 25% a un 33.91% y de un 30% a un 25.50%, para las marcas 1,2 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la cuota de mercado en el largo plazo para cada una de las marcas? La cadena resultante es irreducible con estados recurrentes positivos y aperiódicos . Denotando por =(1, 2, 3)T, las probabilidades estacionarias de largo plazo, las cuales satisfacen: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. =PT   i = 1 ; i = 1,2,3. 1=0.8   3 2=0.10   3 3=0.10   3 1 + 2+ 3 =1 Cuya solución resulta: 1= 2= 3= Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.4. Clasificación de los est. y distribución límite. De aquí que la cuotas de mercado en el largo plazo resultan ser 23.73%, 61.84% y 14.43% para las marcas 1,2 y 3 respectivamente. Notar que las actuales cuotas difieren significativamente de las cuotas obtenidas en el largo plazo lo cual puede implicar que de alguna manera deban ser corregidas las probabilidades de transición. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Se desea estudiar el comportamiento de sistemas que dependen en forma continua del tiempo: Xt: número de ambulancias disponibles en el instante t. Xt: número de personas esperando ser atendidas en el banco o en el supermercado en el instante t. Xt: número de máquinas funcionando correctamente en un taller en el instante t. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Propiedad Markoviana: Propiedad Estacionaria , no depende de t, sólo de s. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Una realización posible del proceso estocástico es: Gestión de Investigación de Operaciones t 4 3 2 1 Xt

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. ¿Cómo representar el proceso? - Se necesitan las probabilidades de que ocurra un “salto” de un estado a otro. - La distribución de los tiempos de permanencia en un estado. Se necesita explicitar: i) Probabilidades de transición pij (asumiendo pii=0) ii) Tasas vi de los tiempos exponenciales Ti de permanencia en el estado i. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Distribución de Xt : Estas probabilidades satisfacen: Si existe una distribución estacionaria: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. La ecuación diferencial anterior provee el siguiente sistema de ecuaciones para las probabilidades estacionarias (de existir): O equivalentemente el sistema: Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Ejemplo : En el puerto de Valparaíso existen N trenes encargados de traer cargas de contenedores desde los buques hasta una unidad de descarga. En esta unidad existen c grúas ( c < N) para descargar los trenes. El tiempo que le toma a una grúa descargar un tren es exponencial a tasa . Un tren deja la unidad de descarga cuando la grúa termina de atenderlo y vuelve con una nueva carga después de un tiempo exponencial de tasa . Formular un modelo que nos permita obtener en el largo plazo : Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. - Número medio de trenes esperando ser atendidos en la cuidad de descarga - Número medio de grúas que se encuentran atendiendo trenes Fracción del tiempo en que hay al menos una grúya desocupada Xt : El número de trenes que están en la unidad de descarga (Xt {0,1,2,...,N}) Si existen 0  j  c trenes en la unidad de descarga vj= j + (N – j)  Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Es decir, el tiempo que transcurre con j trenes en la unidad de descarga es una v.a. Exponencial correspondiente al mínimo entre los tiempos que transcurren hasta que se descarga completamente un tren de los j existentes en dicha unidad y los tiempos que transcurren hasta que retorna uno de N – j trenes que vuelve con carga. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Además, las únicas posibles transiciones son: pj,j-1= j  / (j  + (N – j ) ) j > 0 pj,j+1=( N- j )  / (j  + (N – j ) ) Esto es, las probabilidades que se termine de descargar un tren antes de que vuelva uno con carga y viceversa. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Análogamente si c < j  N estos parámetros resultan: vj= c + (N – j)  pj,j-1= c  / (c + (N – j ) ) pj,j+1=( N - j )  / (c + (N – j ) ) ( j  N ) Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. En este caso las ecuaciones que determinan las probabilidades estacionarias : Resultan ser las siguientes: N   =  1 [ + ( N – 1 )] = N    2 ... [c + ( N – c ) ] C = (N –( c – 1))  c-1 + c  C+1 [c + ] N = 2  N c  N Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. c  N = N-1 1+  N = 1 Así, el número de trenes esperando ser atendidos en la unidad de descarga es : El número promedio de grúas atendiendo trenes Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Y la fracción de tiempo en que hay al menos una grúa desocupada es : Gestión de Investigación de Operaciones

BIBLIOGRÁFIA EN MODELOS PROBABILÍSTICOS 1. Introduction to Probability Models, Ross, S.M. Academic Press, New York, 1980. 2. Applied Probabability Models with Optimization Applications, Ross, S.M. Dover Publications, Inc. New York, 1992. 3. Modelos Estocásticos para la Gestión de Sistemas, Gazmuri, P. Ediciones Universidad Católica, Santiago, 1995. 4. Simulation Modeling and Analysis, Law, A.M. Kelton, W.D. Mc.Graw Hill, New York, Third Edition, 2000. Gestión de Investigación de Operaciones

III. Modelos Probabilísticos Sistemas de Espera
DIRECCIONES ELECTRÓNICAS EN MODELOS PROBABILÍSTICOS Sección de simulación en INFORMS: Simulation Education Homepage: : Gestión de Investigación de Operaciones

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