Pruebas Ji Cuadrado ©1998 Pedro Juan Rodríguez Esquerdo Departamento de Matemáticas Recinto de Río Piedras Universidad de Puerto Rico

Pruebas de bondad de ajuste Seleccionamos cuatro zonas distintas de igual tamaño en un bosque para determinar si artrópodos habitan esas áreas con igual densidad. Si habitan con igual densidad, ya que las áreas son de igual tamaño, esperaríamos observar la misma cantidad de artrópodos en cada zona. La idea de este problema es original de Gladynette Rosario y Yamilka Serrano( M3026 V 98)

Pruebas de bondad de ajuste Hipótesis nula: la proporción de artrópodos es igual en las cuatro zonas, es decir, H 0 : p A = p B = p C = p D Hipótesis alterna: la proporción de artrópodos no es igual en las cuatro zonas.

Pruebas de bondad de ajuste En total observamos 92 artrópodos. Si es correcta nuestra hipótesis, esperaríamos observar artrópodos en cada zona. 92(1/4)=23

Pruebas de bondad de ajuste Para corroborar nuestra hipótesis es natural comparar el número observado con el esperado. Por ejemplo: D = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Esta suma de diferencias ¡siempre resulta igual a cero! Por esta razón cuadramos cada diferencia y la consideramos relativo al número esperado así:

Pruebas de bondad de ajuste Si la hipótesis nula es cierta entonces tiene una distribución  2 con k-1 grados de libertad. (son k-1 grados de libertad, porque si sabemos k-1 de las p i, también sabemos la k-ésima, pues su suma es 1). Finalmente, para hacer la prueba comparamos el valor computado de  2 con el valor  2 k-1,  obtenido de la tabla de la distribución Ji Cuadrado con k-1 grados de libertad. Rechazamos la hipótesis nula al nivel de significancia  (100)% si observamos que  2 >  2 k-1, 

Pruebas de bondad de ajuste En nuestro problema seleccionamos  =.05, tenemos que k = 4, así:  2 k-1,  =  2 3,.05 = Como 5.57 es menor que 7.815, no rechazamos la hipótesis nula de que la densidad de artrópodos en las cuatro zonas es la misma.

En general Hipótesis nula: la proporción en cada categoría sigue una distribución particular: Cada categoría contiene una proporción p i0 de elementos. H 0 : p i = p i0 i = 1, 2,...., k Podemos considerar hipótesis nulas más generales: Si tenemos n observaciones en total, y si la hipótesis nula es cierta esperaríamos tener nxp i0 observaciones en la categoría i. Usamos la misma estadística prueba y procedimiento para esta hipótesis: