Modelos de Minimización Si la F.O. es minimizar, existen 2 alternativas: Transformar el problema de una minimización a una maximización definiendo una nueva F.O.(Max z’=-z). MIN Z=c1x1+c2x2+..+cnxn MAX Z’=-c1x1-c2x2-..-cnxn Cambiar la regla para elegir la variable entrante. Se escoge la de zj – cj más positivo. El óptimo se alcanza cuando todos los costos reducidos (zj – cj) de las variables no básicas son negativos.

Restricciones del tipo(=) ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn = bi Para este tipo de restricciones existen 2 alternativas: Transformarla en dos restricciones: ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn  bi ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn  bi

Restricciones del tipo(=) ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn = bi La otra alternativa es introducir en la restricción otro tipo de variables llamadas artificiales (ti). ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn + ti = bi Las variables artificiales sólo se usan como un ajuste matemático para poder utilizar el método simplex. Por ello, las variables artificiales no pueden aparecer en la solución óptima, porque lo que hacen es “relajar” las restricciones, para poder tener una solución inicial. Mas adelante explicaremos la forma para resolver problemas con variables artificiales.

Restricciones del tipo() Si una o más restricciones son del tipo ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn  bi para poder usar el método Simplex, se debe restar una variable ei tal que la restricción se transforme en igualdad. ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn - ei = bi La variable ei es denominada variable de excedente, pues ei= ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn - bi

Restricciones del tipo() Con esta transformación no se puede empezar Simplex porque al dejar las variables de excedente en la base se obtiene una solución básica infactible. Luego, se hace necesario introducir variables artificiales (ti). ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn – ei + ti = bi Las variables artificiales no tienen ningún significado y sólo se usan como un ajuste matemático para poder utilizar Simplex. Por ello, las variables artificiales no pueden aparecer en la solución óptima.

Modelos de con restricciones del tipo() Existen 2 procedimientos para asegurar que las varibles artificiales no estarán en la solución óptima: El método de la “M” grande. El método de las dos fases.

Método de la “M” grande Para asegurar que las varibles artificiales no estarán en la solución óptima, se incorporan en la F.O. cada una de las variables artificiales con un coeficiente “M” muy grande, infinito. Luego el modelo tenderá a sacarlos de la solución final para evitar dicha penalización. Luego la F.O. quedará: MAX Z=c1x1+c2x2+..+cnxn-Mt1 -Mt2 -...-Mtk o MIN Z=c1x1+c2x2+..+cnxn +Mt1 +Mt2 +...+Mtk donde k: número de restricciones del tipo ().

Método de la “M” grande Ejemplo: MIN z = 200 x1 + 240 x2 s.a. 10 x1+5 x2  50 x1  2 x1, x2  0 MIN z = 200x1 + 240x2 + Mt1 s.a. 10x1+5x2 -e1 +t1 = 50 x1 +h1 = 2 x1, x2, e1, t1, h1  0

Método de la “M” grande Ejemplo: Min VB CB XB x1 x2 e1 t1 h1  M 50 10 -1 1 50/10=5 2 2/1=2 50M 10M-200 5M-240 -M 200 240 Min

Método de la “M” grande Ejemplo (cont.): Min VB CB XB x1 x2 e1 t1 h1  30 5 -1 1 -10 30/5=6 X1 200 2 2/0=? 30M+400 5M-240 -M 200-10M 240 Min

Método de la “M” grande Ejemplo (cont.): VB CB XB x1 x2 e1 t1 h1  240 6 1 -1/5 1/5 -2 X1 200 2 1840 -48 48-M -280 M Sol. óptima

Método de las “2 fases” Otro método para asegurar que las varibles artificiales no estarán en la solución óptima es el de las “2 fases”. Este método subdivide el problema en dos partes: Fase I: Se trata de encontrar una solución factible al problema original, sin considerar para nada la F.O. propia del problema. Se genera una nueva F.O. que minimiza la suma de las variables artíficales del problema (ti): MIN W = t1 + t2 +...+ tk

Método de las “2 fases” Se resuelve por Simplex, y si al llegar al óptimo se tienen variables artificiales en la base, entonces se concluye que el problema no tiene solución por incompatibilidad de restricciones. De no haber variables artificiales en la base, se pasa a la fase II. Fase II: Si el problema es factible, se resuelve el problema original, a partir de la solución básica factible hallada en la fase I. Esto es, reeemplazar en el último tableau de la fase I, los coeficientes de la F.O. (ci) por los del problema original, y actualizar la columba CB y los costos reducidos (zj-cj). En las columnas de las variables artificiales no se considera el valor de los costos reducidos (zj-cj).

Método de las “2 fases” Ejemplo: MIN z = 200 x1 + 240 x2 s.a. 10 x1+5 x2  50 x1  2 x1, x2  0 MIN z = 200x1 + 240x2 s.a. 10 x1+ 5 x2 - e1 + t1 = 50 x1 + h1 = 2 x1, x2, e1, t1, h1  0

Método de las “2 fases” Fase I: Min MIN w = t1 s.a. 10 x1 + 5 x2 - e1 + t1 = 50 x1 + h1 = 2 x1, x2, e1, t1, h1  0 VB CB XB x1 x2 e1 t1 h1  1 50 10 5 -1 50/10=5 2 2/1=2 Min

Método de las “2 fases” Fase I: Min Óptimo Factible Min VB CB XB x1 x2 h1  1 30 5 -1 -10 30/5=6 2 2/0=? Min VB CB XB x1 x2 e1 t1 h1  6 1 -1/5 1/5 -2 2 -1 Óptimo Factible Min

Método de las “2 fases” Fase II: Min Óptimo Min VB CB XB x1 x2 e1 t1 h1  6 1 -1/5 1/5 -2 2 -1 Min VB CB XB x1 x2 e1 t1 h1  240 6 1 -1/5 1/5 -2 200 2 1840 -48 -- -280 Óptimo Min

Modelos con variables sin restricción de signo Cuando aparecen variables sin restricción de signo, se hace el siguiente reemplazo para cada una de estas variables: xj = yj – uji con yj ,uji  0

Situaciones Especiales Empate en la variable que sale: Técnicamente significa que más de una restricción corta el eje en un mismo punto. Si se elige cualquiera puede ser que se salga de la región factible. Esto se soluciona alterando en un pequeño delta el bi de una de las restricciones que empata. Múltiples soluciones óptimas: Cuando existen múltiples soluciones en el método Simplex los coeficientes zj - cj de algunas variables no básicas son cero. En estos casos, se continúa realizando las iteraciones normalmente hasta llegar a una solución óptima. Luego, se vuelve al “tableau” donde apareció un coeficientes zj - cj =0 de alguna variable no básica, y se hace entrar a la base. Finalmente, se sigue iterando con este cambio hasta llegar a otra solución óptima.

Múltiples soluciones Ejemplo: MAX z = 6x1 + 3x2 MAX z = 6x1 + 3x2 s.a. x1+x2+h1 = 30 2x1 +x2 +h2 = 40 x1, x2,h1, h2  0

Múltiples soluciones Ejemplo: Max VB CB XB x1 x2 h1 h2  30 1 30/1=30 30 1 30/1=30 40 2 40/2=20 -6 -3 6 3 Max

Múltiples soluciones Ejemplo: VB CB XB x1 x2 h1 h2  10 ½ 1 -1/2 10 ½ 1 -1/2 30/1=30 20 40/2=20 120 3 6 Sol. Óptima 1

Múltiples soluciones Ejemplo: Max VB CB XB x1 x2 h1 h2  10 ½ 1 -½ 10 ½ 1 -½ 10/0.5=20 20 20/0.5=40 120 3 6 Max

Múltiples soluciones Ejemplo: VB CB XB x1 x2 h1 h2  3 20 1 2 -1 6 10 1 2 -1 6 10 -½ 120 Sol. Óptima 2

Situaciones Especiales (Cont.) Incompatibilidad de Restricciones : Puede ocurrir cuando el conjunto de restricciones no está conformado por un solo tipo. Es decir, debe tener restricciones () con resticciones del tipo () o (=). Si todas son de un mismo sentido casi nunca habrá incompatibilidad. El método Simplex detecta la incompatibilidad de restricciones porque al observar la solución óptima se encuentran variables artificiales (ti) en la base, al utilizar el método de la “M” grande. El método de la “M” grande tiene la deficiencia que después de todas la iteraciones, recién ahí se detecta la incompatibilidad de restricciones, lo cual se evita a usar el método de las 2 fases, dado que si al final de la fase I quedan variables artificiales en la base, significa que el problema presenta inconsistencia.

Incompatibilidad de Restricciones Ejemplo con método de la M grande: MAX z = 3x1 + x2 s.a. x1+x2  10 x1  20 x1, x2  0 MAX z = 3x1 + x2 - Mt1 s.a. x1+x2+h1 = 10 x1 - e1 +t1 = 20 x1, x2, e1, t1, h1  0

Incompatibilidad de Restricciones Ejemplo: VB CB XB x1 x2 h1 t1 e1  10 1 10/1=10 -M 20 -1 20/1=20 -20M -M-3 M 3 Max

Incompatibilidad de Restricciones Ejemplo: VB CB XB x1 x2 h1 t1 e1  3 10 1 -M -1 30-10M 3+M-1 3+M M Inconsistencia