Matemáticas Acceso a CFGS Bloque II * Tema 071 LUGARES GEOMÉTRICOS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS LUGAR GEOMÉTRICO LUGAR GEOMÉTRICO Lugar geométrico del plano es el conjunto de todos los puntos que cumplen una misma propiedad. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Dado un segmento de extremos A y B se denomina mediatriz de dicho segmento a la recta r que es perpendicular a dicho segmento y pasa por su punto medio M. La mediatriz de un segmento de extremos A y B es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A y de B A P PA M r PB B @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

CÁLCULO DE LA MEDIATRIZ 1.- Por la igualdad de distancias: d (P, A) = d (P, b)   √ [ (x – x1) 2 + (y – y1) 2 ] = √ [ (x – x2) 2 + (y – y2) 2 ] Se eleva todo al cuadrado, se reducen términos semejantes y el resultado es la recta r, la mediatriz. 2.- Por la perpendicularidad con el segmento Se calcula el punto medio del segmento AB, que es M. Se halla la ecuación de la recta AB Se halla la recta perpendicular a AB y que pasa por su punto medio. Dicha recta será la mediatriz. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 1 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, -1) y B(3, 5) Por la igualdad de distancias: d (P, A) = d (P, b)   √ [ (x – 2) 2 + (y + 1) 2 ] = √ [ (x – 3) 2 + (y – 5) 2 ] Se eleva todo al cuadrado:  (x – 2) 2 + (y + 1) 2 = (x – 3) 2 + (y – 5) 2  x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25 Se reducen términos semejantes:  – 4x + 4 + 2y + 1 = – 6x + 9 – 10y + 25  2x + 12y – 29 = 0 2.- Por la perpendicularidad con el segmento Se calcula el punto medio M: xm=(2+3)/2=2’5 ,, ym=(-1+5)/2=2 Ecuación de la recta AB: (y – 5)=[(5+1)/(3-2)](x – 3)  y = 6x – 13 Perpendicular a AB por M: y – 2 = -1/6 (x – 2,5) 6y – 12 = - x + 2,5  x + 6y – 14,5 = 0  2x + 12y – 29 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 0) y B(0,- 3) Por la igualdad de distancias: d (P, A) = d (P, b)   √ [ (x – 2)2 + y2 ] = √ [ x2 + (y + 3)2 ] Se eleva todo al cuadrado:  (x – 2)2 + y2 = x2 + (y + 3)2  x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + y2 + 6y + 9 Se reducen términos semejantes:  – 4x + 4 = 6y + 9  4x + 6y + 5 = 0 2.- Por la perpendicularidad con el segmento Se calcula el punto medio M: xm=(2+0)/2=1 ,, ym=(0 - 3)/2= - 1’5 Ecuación de la recta AB: (y + 3)=[(- 3 – 0)/(0-2)]. x  y = 1,5.x – 3 Perpendicular a AB por M: y + 1’5 = - 2/3 (x – 1) 3y + 4’5 = - 2x + 2  2x + 3y + 2,5 = 0  4x + 6y + 5 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS LUGAR GEOMÉTRICO LUGAR GEOMÉTRICO Lugar geométrico del plano es el conjunto de todos los puntos que cumplen una misma propiedad. BISECTRIZ DE DOS RECTAS Dadas dos rectas, r y s, se denomina bisectrices de dichas rectas a las rectas b1 y b2 que dividen a los ángulos determinados por r y s en dos partes iguales. Las bisectrices de dos rectas r y s es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de r y de s P d d α/2 b1 r α/2 β/2 β/2 s b2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

CÁLCULO DE LAS BISECTRICES 1.- Por la igualdad de distancias: Sean las rectas r: Ax+By+C=0 y s: A’x+B’y+C’=0 Sea P(x,y) un punto de la bisectriz/es a hallar. Del punto P a r dista lo mismo que de P a s. d (P, r) = d (P, s)  |Ax + By + C| |A’x + B’y + C’|  ----------------------- = --------------------- √(A2+B2) √(A’2+B’2) Eliminando los valores absolutos, queda: Ax + By + C A’x + B’y + C’  ------------------- = ± --------------------- √(A2+B2) √(A’2+B’2) Con el signo + obtenemos una bisectriz, y con el signo – la otra. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 1 Hallar las ecuaciones de las bisectrices de las rectas: r: x + y – 2 = 0 y s: x – y + 5 = 0 Por la igualdad de distancias: x + y – 2 x – y + 5 --------------- = ± --------------- √(12+12) √(12+12) Con el signo + obtenemos una bisectriz, y con el signo – la otra. x + y – 2 = x – y + 5  2y – 7 = 0  Recta horizontal x + y – 2 = – x + y – 5  2x + 3 = 0  Recta vertical Ejemplo 2 r: 3x + 4y – 10 = 0 y s: 8x – 6y + 5 = 0 3x + 4y – 10 8x – 6y + 5 ------------------- = ± ----------------- √(32+42) √(82+62) 10.(3x + 4y – 10) = 5.(8x – 6y + 5)  2x – 14y + 25 = 0 10.(3x + 4y – 10) = – 5.(8x – 6y + 5)  14x – 2y – 25 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS