Función lineal. Aplicaciones a la economía. Dirección de Formación Básica.

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Habilidades a desarrollar: Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: Comunicar, modelar y resolver problemas de contexto real relacionados con ingreso, costo, utilidad, oferta, demanda, subsidios e impuestos mediante funciones lineales.

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Problema motivador: Una cadena de supermercados realiza un análisis mercadotécnico de una marca de cereales. Esta cadena fija diferentes precios para su caja de 15 onzas en sus diferentes tiendas durante un periodo determinado. Luego, usando esta información, los investigadores de este supermercado proyectan las ventas semanales en toda la cadena de tiendas para cada precio y obtienen los datos que se muestran en la tabla Precio por caja ($) Cajas vendidas 2,4 38 2,6 33 2,8 28 3,0 23 3,2 18 3,4 13 3,6 8 Halla un modelo que nos permita pronosticar las ventas semanales

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Definiciones básicas El Mercado es el grupo de compradores y vendedores. Cantidad demandada es la cantidad de un bien que los compradores quieren y pueden comprar a determinado precio. Demanda es la relación entre el precio y cantidad demandada de un bien determinado, en un periodo dado. Cantidad ofertada es la cantidad de un bien que los vendedores quieren y pueden vender a determinado precio. Oferta es la relación entre el precio y la cantidad ofrecida de un bien determinado en un periodo dado.

Función lineal. Aplicaciones a la economía. En esta sesión modelaremos la demanda y oferta de un producto mediante una función lineal en donde la cantidad 𝑞 dependerá del precio 𝑝, es decir 𝑞=𝑓 𝑝 =𝑎𝑝+𝑏 donde 𝑎 y 𝑏 son número reales, pero con 𝑎≠0. Gráficamente en el plano cartesiano, el eje 𝑥 representa el precio 𝑝, mientras que el eje 𝑦, representa las cantidades 𝑞 . Ley de Demanda Ley de Oferta Pendiente negativa Pendiente positiva

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Ejemplo 1. Un fabricante de refrigeradoras ofertará 3000 unidades cuando el precio sea de $940 y 2200 unidades cuando el precio sea $740. Supongamos que el precio 𝑝 y la cantidad ofertada 𝑞 están relacionados de manera lineal. Hallar la función de oferta. Resolución 740𝑎+𝑏=2200 940𝑎+𝑏=3000 Precio: p ($) Cantidad ofertada q 740 2200 940 3000 Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, se obtiene que 𝑎=4 y 𝑏=−760 Como nos dicen que la oferta es lineal, entonces 𝑞=𝑆(𝑝)=𝑎𝑝+𝑏 Luego 𝑞=𝑆 𝑝 =4𝑝−760 Como 𝑝=740 y 𝑞=2200 →𝑆 740 =𝑎 740 +𝑏=2200 Como 𝑝=940 y 𝑞=3000 →𝑆 940 =𝑎 940 +𝑏=3000

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Ejemplo 2. Supongamos que la demanda por semana de celulares es de 100 unidades cuando el precio es de $60 por unidad y de 200 a un precio de $50 cada una. Determine la ecuación de demanda suponiendo que es lineal. Resolución Precio: p ($) Cantidad demandad q 50 200 60 100 50𝑎+𝑏=200 60𝑎+𝑏=100 Al resolver el sistema, se obtiene que 𝑎=−10 y 𝑏=700 Como nos dicen que la demanda es lineal, entonces 𝑞 𝐷 =𝐷(𝑝)=𝑎𝑝+𝑏 Luego 𝑞=𝐷 𝑝 =−10𝑝+700 Como 𝑝=50 y 𝑞=200 →𝐷(50)=𝑎(50)+𝑏=200 Como 𝑝=60 y 𝑞=100 →𝐷(60)=𝑎(60)+𝑏=100

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Equilibrio en el mercado 𝑝 𝑞 𝑝 𝑒 𝑞 𝑒 Punto de equilibrio 𝒒 𝑺 =𝑺(𝒑) 𝒒 𝑫 =𝑫(𝒑) Para obtener el punto de equilibrio en el mercado, se igualan la cantidad demanda ( 𝑞 𝐷 ) con la cantidad ofertada ( 𝑞 𝑆 ). El punto de equilibrio esta formado por la cantidad de equilibrio ( 𝑞 𝑒 ) y el precio de equilibrio ( 𝑝 𝑒 ).

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Ejemplo 3. Hallar el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas, si la función oferta para cierto articulo es: 𝑞 𝑆 =𝑆(𝑝) = 3𝑝+20 y la función de demanda es 𝑞 𝐷 =𝐷(𝑝)=50−2𝑝. Resolución Dado que el equilibrio se encuentra cuando la cantidad de oferta se iguala con la cantidad demandad, entonces Se obtiene de esta manera que el precio de equilibrio es 𝑝 𝑒 =30. Ahora, la cantidad de equilibrio es 𝑞 𝑆 = 𝑞 𝐷 → 3𝑝+20=50−2𝑝 → 3𝑝+2𝑝=50−20 → 𝑝=6 𝑞 𝑒 =3 6 +20=38 Por tanto, el punto de equilibrio es: 𝑝 𝑒 =6 y 𝑞 𝑒 =38

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Impuestos y subsidios El Estado como agente económico regula la mayor parte de transacciones del mercado. Esta intervención se realiza con la finalidad de influir sobre los resultados del mercado y/o aumentar los ingresos con fines públicos. Impuestos: son un instrumento de política económica que regula el monto transado en el mercado. El impuesto puede ser dirigido a la demanda o a la oferta. Subsidios: es un impuesto negativo, por lo que el Estado enfrenta un gasto al otorgarlo.

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Ejemplo 4. En una situación de mercado en que la demanda viene dada por 𝑝=𝐷(𝑞)=100−𝑞 y la oferta es 𝑝=𝑆 𝑞 = 1 2 𝑞−20. Se establece un impuesto de S/. 6 por unidad comerciada. Determine como afecta el mercado la aplicación del impuesto. Resolución Vamos primer a obtener el punto de equilibrio antes del impuesto. 𝑝= 𝑆 𝑁 𝑞 = 𝑞 2 −14 Obtendremos ahora el nuevo punto de equilibrio 𝐷 𝑞 =𝑆 𝑞 → 100−𝑞= 𝑞 2 −20 → 200−2𝑞=𝑞−40 → 240=3𝑞 → 𝑞 𝑒 =80 → 𝑝 𝑒 =20 𝑆 𝑁 𝑞 =𝐷 𝑞 𝑞 2 −14=100−𝑞 𝑞−28=200−2𝑞 3𝑞=228 𝑞 𝑒 𝑁 =76 luego 𝑝 𝑒 𝑁 =18 Si aplicamos un impuesto, tendremos que la nueva oferta es El nuevo punto de equilibrio es 𝑞 𝑒 𝑁 =76 𝑝 𝑒 𝑁 =24 𝑝= 𝑆 𝑁 𝑞 = 𝑞 2 −20+6

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Ejemplo 5. En una situación de mercado en que la demanda viene dada por 𝑝=𝐷(𝑞)=100−𝑞 y la oferta es 𝑝=𝑆 𝑞 = 1 2 𝑞−20. Se establece un subsidio de S/. 6 por unidad comerciada. Determine como afecta el mercado la aplicación del impuesto. Resolución Vamos primer a obtener el punto de equilibrio antes del subsidio. 𝑝= 𝑆 𝑁 𝑞 = 𝑞 2 −26 Obtendremos ahora el nuevo punto de equilibrio 𝐷 𝑞 =𝑆 𝑞 → 100−𝑞= 𝑞 2 −20 → 200−2𝑞=𝑞−40 → 240=3𝑞 → 80= 𝑞 𝑒 → 𝑝 𝑒 =20 𝑆 𝑁 𝑞 =𝐷 𝑞 𝑞 2 −26=100−𝑞 𝑞−52=200−2𝑞 3𝑞=252 𝑞 𝑒 𝑁 =84 luego 𝑝 𝑒 𝑁 =16 Si aplicamos un subsidio, tendremos que la nueva oferta es El nuevo punto de equilibrio es 𝑞 𝑒 𝑁 =84 𝑝 𝑒 𝑁 =16 𝑝= 𝑆 𝑁 𝑞 = 𝑞 2 −20−6

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Conclusiones: El punto de equilibrio se obtiene al igualar la función de oferta 𝑞=𝑆(𝑝) con la función de demanda 𝑞=𝐷(𝑝). Si se aplica un impuesto 𝑖 al mercado, entonces la nueva función de oferta 𝑝=𝑆 𝑞 +𝑖, en tanto, la función de demanda no sufre variación. Si se aplica un subsidio 𝑠 al mercado, entonces la nueva función de oferta es 𝑝=𝐷 𝑞 −𝑠, en tanto, la función de demanda no sufre variación.

Función lineal. Aplicaciones a la economía. Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.