Desigualdades lineales con dos variables Dirección de Formación Básica.

Desigualdades lineales con dos variables Habilidades a desarrollar: Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: Representar gráficamente una desigualdad lineal con dos variables Resolver un sistemas de desigualdades lineales con dos variables.

Desigualdades lineales con dos variables Problema motivador: ¿Es posible encontrar la solución del sistema de desigualdades lineales 𝑥−𝑦≤−2 2𝑥−2𝑦≥4 ?

Desigualdades lineales con dos variables Grafica de una desigualdad. Un par ordenado (𝑎;𝑏) de números reales es una solución de una desigualdad lineal en 𝑥 y 𝑦, si la sustitución 𝑥=𝑎 y 𝑦=𝑏 satisface la desigualdad. Por ejemplo, el par ordenado (2;5) es una solución de 𝑦<2𝑥+3 ya que 5<2 2 +3=7. Sin embargo, el par ordenado (2;8) no es solución de 𝑦<2𝑥+3 puesto que 8≮2 2 +3=7. Cuando hemos encontrado todas las soluciones hemos resuelto la desigualdad.

Desigualdades lineales con dos variables La grafica de una desigualdad lineal en 𝑥 y 𝑦 consiste en todos los pares (𝑥;𝑦) que son soluciones de la desigualdad. Generalmente, la gráfica de una desigualdad que incluye a dos variables es una región en el plano coordenado. 𝑥 𝑦 Por ejemplo, el punto (−1;1) está en la gráfica de la recta 𝑦=2𝑥+3, pero no es una solución de 𝑦<2𝑥+3. Un punto (−1;𝑦) debajo de la recta 𝑦=2𝑥+3 está en la gráfica de 𝑦<2𝑥+3; los puntos situados por arriba de la recta no lo están. La gráfica de 𝑦<2𝑥+3 es el conjunto de todos los puntos debajo de la recta 𝑦=2𝑥+3. La gráfica de la recta 𝑦=2𝑥+3 es la frontera de la región. Solución de 𝑦<2𝑥+3

Desigualdades lineales con dos variables Pasos para dibujar la grafica de una desigualdad Dibuje la gráfica de la ecuación obtenida reemplazando el signo de desigualdad por un signo igual. Si la desigualdad es < o >, utilice una recta discontinua (punteada). Utilice una recta sólida si la desigualdad es ≤ o ≥. Compruebe un punto en cada una de las regiones del plano determinado por la gráfica de la ecuación. Si el punto satisface la desigualdad, entonces sombree la región que contiene al punto.

Desigualdades lineales con dos variables Ejemplo 1. Dibuje la gráfica de 𝑦≥2𝑥+3. Resolución Paso 1. Debido al signo “≥”, la gráfica de la recta 𝑦=2𝑥+3 es parte de la gráfica de la desigualdad y debe dibujarse con una línea continua. Paso 2. El punto (0;4) está por arriba de la recta y satisface la desigualdad ya que 4≥2 0 +3. Por tanto, la gráfica de 𝑦≥2𝑥+3 consiste en todos los puntos en o arriba de la recta 𝑦=2𝑥+3. 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦

Desigualdades lineales con dos variables Nota. La gráfica de la desigualdad lineal 𝑦≥𝑎𝑥+𝑏, 𝑦>𝑎𝑥+𝑏, 𝑦≤𝑎𝑥+𝑏 o 𝑦<𝑎𝑥+𝑏 es un semiplano. La grafica de la recta 𝑦=𝑎𝑥+𝑏 es la frontera de la región. Ejemplo 2. Dibuje la gráfica de 𝑥≥2. Resolución Paso 1. Al reemplazar “≥” por “=”, obtenemos la ecuación 𝑥=2, cuya gráfica es una recta vertical continua (ya que la desigualdad es “≥”). Paso 2. La grafica de 𝑥≥2 es el conjunto de todos los puntos en 𝑦 a la derecha de la recta vertical 𝑥=2.

Desigualdades lineales con dos variables Ejemplo 3. Dibuje la gráfica de 𝑦<1. Resolución Paso 1. Al reemplazar “<” por “=”, obtenemos la ecuación 𝑦=1, cuya gráfica es una recta horizontal discontinua (ya que la desigualdad es “<”) Paso 2. La grafica de 𝑦<1 es el conjunto de todos los puntos debajo de la recta horizontal discontinua 𝑦=1.

Desigualdades lineales con dos variables Ejemplo 4. ¿Es posible encontrar la solución del sistema de desigualdades lineales 𝑥−𝑦≤2 𝑥−𝑦≥−2 ? Resolución Paso 1. Resolveremos 𝑥−𝑦≤2 Paso 3. Ubicamos ambas regiones en el mismo plano y procederemos a seleccionar la región común Paso 2. Resolveremos 𝑥−𝑦≥−2

Desigualdades lineales con dos variables Ejemplo 5. ¿Es posible encontrar la solución del sistema de desigualdades lineales 2𝑥+𝑦≤10 𝑥+2𝑦≤14 𝑥≥0, 𝑦≥0 ? Resolución Paso 1. Resolveremos 2𝑥+𝑦≤10 Paso 3. La desigualdades 𝑥≥0 y 𝑦≥0 implican que debemos ubicar la región común en el primer cuadrante. Paso 2. Resolveremos 𝑥+2𝑦≤14

Desigualdades lineales con dos variables Ejemplo 6. Determine algún sistema de inecuaciones cuyo conjunto solución pueda graficarse tal como se muestra Para la recta oblicua 3𝑥−4𝑦=18, tomamos el punto 𝑃=(6; 2) que pertenece a la región y se obtiene que 3 6 −4 2 ≤18, por tanto queda que 3𝑥−4𝑦≤18 Para la recta oblicua 2𝑥+3𝑦=12, tomamos el punto 𝑃=(6; 2) que pertenece a la región y se obtiene que 2 6 +3 2 ≥12, por tanto queda que 2𝑥+3𝑦≥12 Por tanto, el sistema de desigualdades es 𝑥≥3 𝑦≤5 3𝑥−4𝑦≤18 2𝑥+3𝑦≥12 Resolución Para la recta vertical 𝑥=3, la desigualdad buscada es 𝑥≥3 Para la recta horizontal 𝑦=5, la desigualdad buscada es 𝑦≤5

Desigualdades lineales con dos variables Conclusiones Una desigualdad con dos variables, consiste en dibujar el semiplano que cumpla la desigualdad.

Desigualdades lineales con dos variables Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.