SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES DÍA 18 * 1º BAD CS

SISTEMAS DE 2º GRADO Un sistema de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas es de segundo grado si al menos una de las ecuaciones es de segundo grado. Ejemplos x2 – 3x = y + 5 x2 – 3y2 – 3x = y + 5 3x + 2y = 7 x2 + 5x = 4y + 5 x – 3y = 5 x2 + 2xy – 3y2 = 7 3x + 2xy = 4 3x2 + 7y2 – 3x = y + 5 Véase que el monomio “2xy” presente es de segundo grado, lo que hace que la ecuación correspondiente sea también de segundo grado, y por extensión el sistema del que forma parte también sea de segundo grado.

M. de SUSTITUCIÓN en sistemas cuadráticos Sea el sistema: x2 + y2 = 10 (1) x + y = 4 (2) De la ecuación (2) se despeja la incógnita “x” : x = 4 – y Y se sustituye su expresión en la ecuación (1) : (4 – y)2 + y2 = 10 Operando queda : 2 y2 – 8y + 6 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola … y = 3 , y = 1 1 2 Llevando ese valor a la ecuación ( 2 bis), tenemos … x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – 1 = 3 , o sea x = 1 , x = 3 1 2

M. de IGUALACIÓN en sistemas cuadráticos Sea el sistema: y2 - x = 8 (1) x + y = 4 (2) De ambas ecuaciones se despeja la incógnita “x” : x = y2 - 8 (1) x = 4 – y (2) Se igualan ambas expresiones: y2 - 8 = 4 – y  y2 + y – 12 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola … y = 3 , y = - 4 1 2 Llevando ese valor a la ecuación (2), tenemos … x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – (- 4) = 8 , o sea x = 1 , x = 8 1 2

M. de REDUCCIÓN en sistemas cuadráticos Sea el sistema: x2 + y2 - 2 x = 8 (1) x2 + y2 - y = 7 (2) Restando a la (1) la (2) , queda: x2 + y2 - 2 x - x2 - y2 + y = 8 - 7 , y – 2x = 1 (1) De la nueva ecuación (1) despejo “y”: y = 1 + 2x Y sustituyo en la (2), quedando: x2 + (1+2x)2 – 1 - 2x = 7  x2 + 1 + 4x + 4x2 – 1 – 2x = 7  5x2 + 2x – 7 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolveremos para hallar los dos valores de x y posteriormente los dos valores de y correspondientes.

Teníamos el sistema: y – 2x = 1 (1) x2 + y2 - y = 7 (2) ….  5x2 + 2x – 7 = 0 Resolviendo: - 2 +/- √[22 – 4.5.(-7)] - 2 +/- 12 1 x = ----------------------------- = ------------ = 2.5 10 - 7/5 De la (1): y = 2x + 1 y = 2.1 + 1 = 3 ; y = 2.(-7/5) + 1 = - 9 / 5 Solución_1: x1 = 1, y1 = 3 Solución_2: x2 = - 7/5, y2 = - 9/5