EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA Construcciones Poligonos

LAMINA Nº 6 Ejercicio 5 Dibujar un triángulo isósceles del que se conocen el lado desigual a =45 mm y el ángulo desigual A =50º.

Construimos la mediatriz del lado BC y el ángulo de 50º en el extremo B después trazamos el ángulo de 90º que corta a la mediatriz en el punto O, centro del arco capaz

Trazamos el arco de centro O y radio OB = OC que corta a la mediatriz en el punto A que es el otro vértice del triángulo

Unimos el vértice A con los B y C y tenemos el triángulo buscado

Ejercicio Nº 6 Trazar la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo del que se conocen la hipotenusa a = 86 m/m. y uno de los ángulos adyacentes B = 32º Trazamos la hipotenusa BC = 86 m/m determinamos el punto medio y trazamos la semicircunferencia que pasa por B y C (no hace falta trazar el arco capaz por ser el ángulo de 90º, la perpendicular es el mismo lado BC

Construimos el ángulo de 32º en el vértice B que corta a la semicircunferencia en el punto A que es el otro vértice del triangulo buscado

Unimos el punto A con el vértice C y tenemos construido el triangulo rectángulo de ángulo recto en el vértice A

Trazamos las bisectrices de los ángulos B y C que se cortan en el punto O centro de la circunferencia inscrita buscada

Trazamos las perpendiculares a los lados que nos dan los puntos T de tangencia de la circunferencia inscrita, que trazamos de centro en O y radio OT

LAMINA Nº 7 Ejercicio Nº 7. - Dibujar un triángulo del que se conocen el lado c= 50 mm, la altura hc=40 mm y la mediana mc=45 mm. 1º.- Trazamos el lado c=50 mm.

2º.- Trazamos la paralela al lado c a una distancia de hc=40 mm.

3º.- Trazamos la mediatriz del lado c.

4º. Con centro en 1 y radio mc=45 mm trazamos el arco de circunferencia que corta a la recta paralela al lado c en dos puntos C y C'.Que son el vértice que nos falta del triángulo.

5º.- Unimos C con A y B y tenemos una de las soluciones, la otra resulta de unir C' con a A y B.

Ejercicio Nº 8 Construir un triángulo rectángulo con el ángulo recto en A; conociendo la hipotenusa a=50 mm y la suma de los catetos b+c= 65 mm. Vemos en la fig como si tenemos un triángulo rectángulo si sobre un cateto le sumamos el otro se forma un ángulo de 45º, por lo tanto para construir el triángulo operamos como sigue:

1º.- Trazamos un segmento a+b=65 mm.

2º.- En un extremo del segmento a+b trazamos un ángulo de 45º.

3º.- Con centro en el otro extremo trazamos un arco de radio a=50 mm, que corta al lado del ángulo en dos puntos B y B'.

4º.- Por el vértice B trazamos una perpendicular al segmento a+b y obtenemos el vértice A. Por B' trazamos otra perpendicular al segmento a+b y obtenemos el otro vértice A'.

5º.- Unimos los vértices ABC y obtenemos una solución, uniendo los otros vértices A'B'C' tenemos la otra.

LAMINA Nº 8 Ejercicio Nº 9. - Construir un trapecio del que se conocen las bases a=84 mm, b=38 mm y los lados no paralelos c=45 mm y d=52 mm. 1º.- Trazamos el lado a=AB=84 mm.

2º. - A partir de A llevamos la distancia A-1=b=38 mm 2º.- A partir de A llevamos la distancia A-1=b=38 mm. Quedando la distancia B-1=a-b=84-38=46 mm.

3º.- Con centro en el vértice B trazamos un arco de radio c=45 mm y con centro en el punto 1 trazamos otro arco de radio d=52 mm que se cortan en el punto C que es otro vértice del trapecio.

4º.- Unimos el vértice C con el B y con el punto 1 obteniendo un triángulo C1B.

5º.- Por C trazamos una paralela a la base a y por el vértice A una paralela a C1 que se cortan en D que es el otro vértice del trapecio.

Ejercicio Nº 10 . Construir un Paralelogramo dadas las dos diagonales d=40 mm y d'=65 mm y el ángulo que forman sus lados 50º. 1º.- Trazamos un segmento igual a la diagonal d=40 mm.

2º. - Trazamos el arco capaz 2º.- Trazamos el arco capaz. En un extremo del segmento d trazamos el ángulo dado de 50º.

3º. - Trazamos una perpendicular al lado del ángulo 3º.- Trazamos una perpendicular al lado del ángulo. determinamos la mediatriz de la diagonal d, que corta a la perpendicular al lado del ángulo en el punto O. Hallamos el simétrico de O punto O1

4º.- Con centro en O y en O1 trazamos dos arcos de circunferencia que pasan los extremos A y C de la diagonal d. Que son los arcos capaces de la diagonal d y el ángulo de 50º.

5º.- Con centro en el punto 1 trazamos una circunferencia de radio d'/2 (la mitad de la otra diagonal) que corta a los arcos capaces en los puntos B, D y B', D' que son los vértices de las dos soluciones del paralelogramo a construir.

6º Unimos los vértices ABCD y AB'CD' y obtenemos las dos soluciones del paralelogramo.

LAMINA Nº 9 Ejercicio Nº 11 Construcción de un cuadrado conociendo la suma del lado y la diagonal D+l=65 mm 1º Construimos un cuadrado cualquiera ABDE

2º Trazamos la diagonal de este cuadrado y la prolongamos, haciendo centro en D y radio DB obtenemos el punto N que es la suma de la diagonal mas el lado de este cuadrado, unimos N y B

3º Llevamos sobre esta diagonal la dada D + L , obteniendo el punto M por trazamos una paralela a la recta NB y tenemos el punto C que es el lado del cuadrado buscado

4º Por C trazamos el lado del cuadrado y tenemos el cuadrado que nos piden

Ejercicio Nº 12. Dibujar un cuadrilátero inscriptible con los datos siguientes: lado AB=50 mm, lado BC=35 mm, ángulo A=60º y ángulo B=80º. 1º.- Trazamos un segmento AB=50 mm.

2º. - Por el extremo del segmento B trazamos el ángulo dado de 80º 2º.- Por el extremo del segmento B trazamos el ángulo dado de 80º. Y llevamos la distancia BC=35 mm.

3º.- Trazamos las mediatrices de los lados AB y BC que nos determinan el punto O que es el centro de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero, trazamos con centro en O la circunferencia que pasa por A, B y C.

4º.- Por el vértice A trazamos el ángulo A de 60º que corta a la circunferencia en el punto D que es el vértice que falta del cuadrilátero.

LAMINA Nº 10 Ejercicio Nº 13. - Construir un rectángulo conocido el lado mayor a=75 mm y el ángulo α=130º que forman las diagonales. 1º.- Trazamos un segmento AB=75 mm lado del rectángulo.

2º.- Hallamos la mediatriz del lado AB.

3º. - Trazamos el arco capaz del segmento AB y del ángulo de 130º 3º.- Trazamos el arco capaz del segmento AB y del ángulo de 130º.En el extremo B trazamos un ángulo de 130º. Seguidamente trazamos una perpendicular al lado del ángulo, que corta a la mediatriz en el punto O.

4º.- El punto O es el centro del arco capaz, trazamos con centro en O y radio OA=OB el arco que corta a la mediatriz en el punto E que resulta el punto de corte de las diagonales del rectángulo.

5º. - Unimos los extremos A y B con el punto E y prolongamos 5º.- Unimos los extremos A y B con el punto E y prolongamos .Las rectas AE y BE son las diagonales del rectángulo.

6º.- Por A y B trazamos las perpendiculares al lado AB que cortan a las diagonales en C y D vértices de rectángulo unimos C y D y se obtiene el rectángulo ABCD.

Ejercicio Nº 14. Dibujar un cuadrado cuya área sea la mitad de la suma de otros tres cuadrados datos: l1=40 mm, l2=35 mm t l3=20 mm. 1º.- Trazamos un segmento l1=40 mm.

2º.- Por un extremo del segmento l1 trazamos una perpendicular y llevamos la distancia l2=35 mm.

3º. - Unimos los extremos A y B de los segmentos 3º.- Unimos los extremos A y B de los segmentos. El cuadrado de lado AB tendrá por área la suma de los dos cuadrados.

4º.- Por el vértice B por ejemplo trazamos una perpendicular y llevamos la distancia l3=20 mm. El cuadrado de lado AC tendrá por área la suma de los tres cuadrados

5º.- Hallamos el punto medio de AC y trazamos una semicircunferencia y una perpendicular el segmento AD es el lado del cuadrado cuya área es la mitad de los otros tres. Por ser AD media proporcional de AC/2

LAMINA Nº 11 División de la circunferencia en tres y seis partes iguales.

1º.- Trazamos dos diámetros perpendiculares

2º.- Con centro en 1 y 2 trazamos dos arcos de circunferencia de radio el mismo que el de la circunferencia 2-O=1-O

3º.- Con centro en 3 y 4 trazamos dos arcos de circunferencia de radio el mismo que el de la circunferencia 3-O=4-O

4º.- Unimos las divisiones alternas y tenemos los dos hexágonos según sean los centros de los arcos.

5º.- Unimos las divisiones alternas de uno de los hexágonos A,B,C y tenemos el triángulo inscrito o la división de la circunferencia en 3 partes iguales.

División de la circunferencia en cuatro u ocho partes iguales.

1º.- Trazamos dos diámetros perpendiculares

2º.- Unimos los extremos de los diámetros ABCD y tenemos el cuadrádro inscrito.

3º.- Trazamos las bisectrices de los cuadrantes y tenemos otros dos diámetros que forman 45º con los anteriores.

4º.- Unimos los otros extremos de los diámetros que forman 45º y tenemos otro cuadrado.

5º.- Unimos las divisiones de los cuatro diámetros y tenemos el octógono inscrito o la circunferencia dividida en 8 partes.

División de la circunferencia en cinco y en diez partes iguales.

1º.- Trazamos dos diámetros perpendiculares

2º.- Con centro en el extremo del diámetro trazamos un arco de radio el mismo que el de la circunferencia dada, unimos los puntos de corte que es la mediatriz del radio y hallamos el punto 1, que resulta ser el punto medio del radio.

3º.- Con centro en el punto 1 y radio 1-A, trazamos un arco que corta al diámetro unimos este punto con el extremo A y tenemos el lado del pentágono inscrito, si unimos el punto de intersección con el centro O de la circunferencia tenemos el lado del decágono.

4º.- Con centro en el punto A y radio l5, trazamos un arco que corta a la circunferencia en el punto B que resulta ser el lado del pentágono inscrito o la quinta parte de la circunferencia.

5º.- Con centro en el punto A y radio l5, trazamos un arco que corta a la circunferencia en el punto E que resulta ser el lado del pentágono inscrito o la quinta parte de la circunferencia repetimos el procedimiento y hallamos los vértices C y D. y tenemos la circunferencia dividida en 5 partes o el pentágono inscrito.

6º.- Se repite el procedimiento pero con radio l10 y obtenemos el decágono inscrito o lo que es lo mismo la circunferencia dividida en diez partes.

División de la circunferencia en siete partes iguales.

1º.- Trazamos dos diámetros perpendiculares

2º.- Con centro en el extremo del diámetro trazamos un arco de radio el mismo que el de la circunferencia dada, unimos los puntos de corte que es la mediatriz del radio y hallamos el punto 1, que resulta ser el punto medio del radio.

3º.- La distancia 1-2 es la séptima parte de la circunferencia o el lado l7 del heptágono inscrito

4º.- Con centro en A y radio l7 hallamos los vértices B y G con centro en estos puntos hallamos los C y F y con centro en estos últimos hallamos los D y E.

División de la circunferencia en (n) partes iguales. (9 partes)

1º.- Trazamos dos diámetros perpendiculares

2º.- Se divide el diámetro A-B en el mismo numero de partes, que queremos dividir la circunferencia 9 en nuestro caso. Teorema de Thales

3º.- Trazamos con centro en los puntos A y B dos arcos de radio A-B, que nos determinan los puntos C y D.

4º.- Unimos los puntos C y D con la división 2 del diámetro y obtenemos el lado del eneágono o lo que es lo mismo la novena parte de la circunferencia.

5º.- Seguimos uniendo los puntos C y D con las divisiones 4,6,8 del diámetro y obtenemos el resto del eneágono o lo que es lo mismo la división de la circunferencia en 9 partes iguales. También podríamos tomar las divisiones impares 1, 3, 5, 7 y 9.

Construir un pentágono estrellado de paso 2.

1º.- Trazamos dos diámetros perpendiculares

2º.- Con centro en el extremo del diámetro trazamos un arco de radio el mismo que el de la circunferencia dada, unimos los puntos de corte que es la mediatriz del radio y hallamos el punto 1, que resulta ser el punto medio del radio.

3º.- Con centro en el punto 1 y radio 1-A, trazamos un arco que corta al diámetro unimos este punto con el extremo A y tenemos el lado del pentágono inscrito, si unimos el punto de intersección con el centro O de la circunferencia tenemos el lado del decágono.

4º.- Con centro en el punto A y radio l5, trazamos un arco que corta a la circunferencia en el punto B que resulta ser el lado del pentágono inscrito o la quinta parte de la circunferencia.

5º.- Con centro en el punto A y radio l5, trazamos un arco que corta a la circunferencia en el punto E que resulta ser el lado del pentágono inscrito o la quinta parte de la circunferencia repetimos el procedimiento y hallamos los vértices C y D. y tenemos la circunferencia dividida en 5 partes o el pentágono inscrito.

5º.- Unimos el punto A con el C, el C con el E, el E con el B, el B con el D y el D con el A, es decir vamos saltando tantos lados como indica el paso del polígono estrellado en este caso 2 y tenemos que terminar en el vértice que comenzamos.

Lamina 12 Ejercicio Nº 1 - Construir un pentágono regular de lado AB=35 mm. 1º.- Trazamos un segmento AB=35 mm lado del pentágono.

2º. - Trazamos por el vértice B la perpendicular B1 al lado AB 2º.- Trazamos por el vértice B la perpendicular B1 al lado AB. Con centro en B trazamos el arco de radio BA que corta a la perpendicular en el punto 1.

3º. - Hallamos la mediatriz del lado AB 3º.- Hallamos la mediatriz del lado AB. Con centro en el punto O trazamos un arco de radio O1 que corta a la prolongación del lado AB en el punto 2, la distancia A2 es longitud de la diagonal del pentágono.

4º.- Con centro en A y radio A2 trazamos un arco que corta a la mediatriz en el punto D y al arco A1 en el punto C que es un vértice del pentágono, si trazamos con el mismo radio otro arco de centro en B se cortan en D. Con centro en D y en A y radio AB se trazan dos arcos que se cortan en el punto E vértice del pentágono.

5º.- Unimos los vértices ABCDE y obtenemos el pentágono pedido.

Ejercicio 2: Construir un hexágono regular dado el lado AB=30 mm. 1º Ejercicio 2: Construir un hexágono regular dado el lado AB=30 mm. 1º.-Trazamos el lado AB de 30 mm.

2º.-Con centro en A y en B trazamos dos arcos de radio A-B que se cortan en O.

2º.-Con centro en O trazamos una circunferencia de radio O-A=O-B = A-B que cortan a los arcos anteriores en C y F que son los vértices del hexágono.

3º.-Con centro en F trazamos una circunferencia de radio F-A que nos determina el vértice E, con centro en C trazamos otro arco de circunferencia de radio C-B que nos determina el otro vértice D, unimos los vértices y obtenemos el hexágono.

Ejercicio 3: Construir un heptágono regular dado el lado AB=25 mm. 1º Ejercicio 3: Construir un heptágono regular dado el lado AB=25 mm. 1º.-Trazamos el lado AB de 30 mm.

2º.-Trazamos el triángulo equilátero de lado AB de 30 mm.

3º.-Trazamos la altura del triángulo y por el extremo B una perpendicular.

4º.-Trazamos la bisectriz del ángulo A , lo que lo mismo un ángulo de 30º que corta a la perpendicular en el punto 2 con centro en A y radio A-2 trazamos un arco de circunferencia que corta a la altura del triángulo en el punto O.

5º.-Con centro en O trazamos una circunferencia de radio O-A =O-B.

6º.- Con centro en A y en B y radio AB trazamos arcos de circunferencia que nos determina los vértices C y G, continuamos y obtenemos los otros vértices D, E y F, unimos estos y tenemos el heptágono.

Ejercicio Nº 4 Construcción de un octógono regular conociendo el lado l = 25 1º -Trazamos la mediatriz del lado dado

2º Construimos un cuadrado auxiliar de lado dado l = 25

3º.-Se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en el punto 1 se traza la circunferencia circunscrita al cuadrado que corta a la mediatriz al lado en el punto O, que es el centro de la circunferencia circunscrita del octógono.

4º.- Se traza la circunferencia de centro O y radio OA y llevamos el lado del octógono AB sobre ella obteniendo los vértices C, D, E, F. G y H.

5º. - Se unen los vértices y obtenemos el octógono A, B, C, D, E, F 5º.- Se unen los vértices y obtenemos el octógono A, B, C, D, E, F. G, H.

Ejercicio Nº 5 Construir el eneágono regular a partir del lado dado l = 20 1º.- Construimos un triángulo equilátero de lado igual al lado dado, trazamos la altura

2º.- Trazamos la bisectriz del ángulo A que corta a la altura en el punto 1.

3º.- Se traza la circunferencia de centro 2 y radio 2-1 que corta a las prolongaciones de los lados del triángulo en 3 y 4, unimos 3 y 4 y donde esta recta corte a la prolongación de la altura punto O tenemos el centro de la circunferencia circunscrita al eneágono.

4º.- Trazamos la circunferencia de centro O y radio OA = OB.

5º.- Llevamos el lado sobre la circunferencia y obtenemos los puntos C, D, E, F, G, H e I, que unimos con A y B obtenemos el eneágono.

Ejercicio Nº 6 Construcción del decágono regular a partir del lado l = 20

1º. - Construimos el pentágono regular dado el lado l =20 1º.- Construimos el pentágono regular dado el lado l =20. trazamos por B la perpendicular, la mediatriz del lado AB, hacemos centro en B y con radio BA trazamos un arco que corta a la perpendicular por B en 1, con centro en el punto medio del lado AB se traza el arco 1-2, la distancia A-2 es el valor de la diagonal del pentágono, con centro en A y radio A2 obtenemos el vértice superior del pentágono, hallamos los otros vértices

2º.- El vértice superior O es el centro de la circunferencia circunscrita del decágono.

3º.- Llevamos la medida del lado AB =20 m/m sobre la circunferencia y obtenemos los vértices del mismo.

4º.- Unimos los vértices y obtenemos el decágono.

OTRAS CONSTRUCCIONES

Ejercicio Nº 15 División de la circunferencia en nueve partes iguales Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD

Con centro en A trazamos el arco O2 y con centro en B trazamos el arco O1

3º Con centro en A trazamos el arco 1-3 y con centro en B el arco 2-3

Desde 3 se traza el arco de radio 3-A que corta al diámetro CD en al punto P, el segmento CP es la novena parte de la circunferencia

Se lleva el segmento CP sobre la circunferencia y obtenemos la división de la circunferencia en nueve partes o el eneágono

OTRAS CONSTRUCCIONES Construir un pentágono dado el lado AB =50 mm

Trazamos el lado A-B de 50 mm.

Ejercicio Nº 26 Rectificación de la semicircunferencia Se lleva el lado del cuadrado y del triángulo inscritos en la circunferencia y la suma es el valor de la semicircunferencia

Ejercicio Nº 27 Rectificación de la semicircunferencia Se construye un ángulo de 30º grados, llevamos tres veces el radio de la circunferencia punto B Unimos el punto anterior B con el C y esa es la longitud de la semicircunferencia

Ejercicio Nº 29. - Dibujar un heptágono regular estrellado de paso 3 inscrito en una circunferencia de 38 mm de radio. 1º.- Trazamos una circunferencia de centro O y radio = 38 mm.

2º.- Trazamos dos diámetros perpendiculares.

3º.- Con centro en el extremo 1 del diámetro trazamos un arco de circunferencia que pase por O es decir de radio 38, que corta en 2 y 3 a la circunferencia. Unimos estos puntos y la mitad de 2-3 es el lado del heptágono l7=2-4.

4º.- A partir del vértice A llevamos la distancia l7=2-4 y obtenemos los vértices del heptágono ABCDEFG.

5º.- A partir de un vértice por ejemplo el A unimos este saltando dos es decir el A con el D, el D con el G, hasta cerrar en el vértice A.