Ecuaciones Lineales

Definiciones y Ejemplos Una ecuación es una declaración de que dos cantidades o expresiones son equivalentes. Ejemplo: La ecuación d = rt enuncia que distancia = (razón)(tiempo) (para un objeto en moviemiento). Si la razón, r, es 45 mi/hr, entonces la ecuación se convierte en d = 45t ; Para hallar el tiempo que toma viajar 75 millas, reemplazas d con 75 y resuelves la ecuación para d . 75 = 45t ; dividiendo entre 45 en ambos lados de la ecuación da

Terminología de ecuaciones Definición Ejemplo Una ecuación en x Un enunciado de igualdad que envuelve una sola variable, x Solución o raiz de una ecuación en x Un número, b , que al sustituirse por x produce un enunciado cierto 5 es solución de x2 – 5 = 4x por que 52 – 5 = 4(5) simplifica a 20 = 20 que es un enunciado cierto Un número b satisface la ecuación b es una solución de la ecuación 5 satisface x2 – 5 = 4x resolver una ecuación en x Encontrar todas las soluciones de la ecuación Para resolver la ecuación x2 – 5 = 4x, recogemos todos los términos a un lado, factorizamos e igualamos cada factor a cero.

Ecuaciones lineales La ecuación algebraica más básica es la ecuación lineal, una ecuación de la forma ax + b = 0 , donde a ≠ 0 . Por ejemplo, para resolver la ecuación lineal 4x + 5 = 0 , primero restamos 5 de ambos lados 4x = -5 , y luego se divide entre 4 en ambos lados y se obtiene x = -5/4 .

Pasos comunes para resolver ecuaciones Algunas técnicas que se usan para resolver ecuaciones son… Sumar la misma expresión a ambos lados de la ecuación; Restar la misma expresión a ambos lados de la ecuación; Multiplicar o dividir en ambos lados de la ecuación por una expresión cuya valor sea diferente a cero.

Resolviendo ecuaciones lineales Resolver: 3(x – 1) + 5 = 14 (Buscamos el valor de la variable x que hace que la expresión del lado izquierdo tenga un valor de 14) 3x – 3 + 5 = 14 3x + 2 = 14 3x = 12 x = 4

Resolviendo ecuaciones lineales Resolver: 3(5x – 2) = 2(x – 16 ) Nota: Nos interesa saber el valor de x que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor. 15x – 6 = 2x – 32 15x – 2x = 6 – 32 13x = -26 x = -2

Resolviendo ecuaciones lineales Resolver: 5x – 4 = 2(x – 2 ) Nota: Nos interesa saber el valor de x que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor. 5x – 4 = 2x – 4 (Aplicar la distributiva.) 5x – 2x = 4 – 4 (Recoger términos semejantes.) 3x = 0 (Simplificar) x = 0 (El único valor de x que hace que ambas expresiones tengan el mismo valor es cero. No es lo mismo que decir que la ecuación no tiene solución.) 8

Resolviendo ecuaciones lineales Resolver: Nota: Nos interesa saber el valor de x que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor. 4x – 2 = 4x (Multiplicar ambos lados por 2.) 4x – 4x = 2 (Recoger términos semejantes.) 0 = 2 (Enunciado FALSO.) ¡No existe solución! (No existe un valor de x que haga que ambas expresiones tengan el mismo valor.) 9

Resolviendo ecuaciones lineales Resolver: 6x – 9 = 3(2x – 3) (Multiplicar ambos lados por 3.) 6x – 9 = 6x – 9 (Aplicar la distributiva.) Nota: Cualquier valor de x hace que las dos expresiones tengan el mismo valor. 6x – 6x = 9 – 9 (Recoger términos semejantes.) 0 = 0 (Enunciado CIERTO para SIEMPRE.) ¡Existen una cantidad infinita de soluciones! 10

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran lineales Podemos multiplicar en ambos lados de la ecuación por el denominador para eliminarlo

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran lineales Notar que 8x – 4 = 4(2x – 1) Podemos multiplicar en ambos lados de la ecuación por el denominador mas complejo para eliminarlo. Como x = 1/3 NO hace que NINGUNO de los denominadores de la ecuación original sea 0, podemos aceptar x= 1/3 como una solución.

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran lineales Podemos multiplicar en ambos lados de la ecuación por el denominador más complejo para eliminarlo Un enunciado que siempre es cierto implica que cualquier número real satisface la ecuación. 13

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran lineales ¡ No olvide aplicar correctamente la propiedad distributiva en el lado derecho! Resolver: ¡ No se puede reemplazar el valor de 5 en las ecuaciones originales por que hacen el denominador igual a cero! Entonces, NO hay solución.

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran lineales Los denominadores NO tienen factores en común, se multiplica por ambos denominadores. Resolver: Como x = -11/5 NO hace que NINGUNO de los denominadores de la ecuación original sea 0, podemos aceptar x= -11/5 como una solución.

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran lineales 3𝑥−1 3𝑥−1 = 𝑥−5 9𝑥−4

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran lineales Determinar si b= - ½ satisface la ecuación: Reemplaza x= - ½ y simplificar.

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran lineales Dos soluciones

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran lineales La igualdad de dos valores absolutos ocurre cuando: Las expresiones producen el mismo valor. Las expresiones producen valores iguales pero con signos opuestos.

Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran lineales 𝟑𝒙−𝟏=𝒙−𝟐 𝟑𝒙−𝟏 =− 𝒙−𝟐 𝟑𝒙−𝟏=𝒙−𝟐 𝟑𝒙=𝒙−𝟐+𝟏 𝟑𝒙=𝒙−𝟏 𝟑𝒙−𝒙=−𝟏 𝟐𝒙=−𝟏 𝒙=− 𝟏 𝟐 𝟑𝒙−𝟏 =−(𝒙−𝟐) 𝟑𝒙−𝟏=−𝒙+𝟐 𝟑𝒙=−𝒙+𝟐+𝟏 𝟑𝒙+𝒙=𝟑 4𝒙=𝟑 𝒙= 𝟑 𝟒

Resolver. Dos soluciones − 18 5 ,6

Resolver. Dos soluciones −10,0