Apuntes 1º Bachillerato CT CIRCUNFERENCIA DÍA 25 * 1º BAD CT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ECUACIÓN GENERAL Y LA CIRCUNFERENCIA Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro llamado centro. La distancia del centro, C(k, h), a cualquier punto, P(x, y), es siempre la misma. Esa distancia se llama radio de la circunferencia, r. ECUACIÓN GENERAL Como se aprecia en el dibujo se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio r, un cateto mide (y ‑ h) y el otro mide (x ‑ k). Por Pitágoras: r2 = (x – k)2 + (y – h)2 Que es la ECUACIÓN GENERAL P(x, y) y h y-h C(k,h) x-k X O(0,0) k x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

ECUACIÓN DESARROLLADA ECUACIÓN REDUCIDA Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas, o sea k=h =0 , tenemos : r2 = x2 + y2 Que es la ECUACIÓN REDUCIDA ECUACIÓN DESARROLLADA Si desarrollamos la ecuación general, queda : r2 = x2 – 2.k.x + k2 + y2 – 2.h.y + h2 Reducimos los términos semejantes, queda : x2 + y2 – 2.k.x – 2.h.y + k2 + h2 – r2 = 0 Simplificando parámetros: x2 + y2 + D.x + E.y + F = 0 que es la ECUACIÓN DESARROLLADA Y P(x, y) y y X O(0,0) x x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios Halla la ecuación de la circunferencia que tiene por centro y radio: 1º.- C(0, 1), r=4  C: x2 + (y – 1)2 – 42 = 0 Operando queda: C: x2 + y2 – 2y – 15 = 0 2º.- C(-1, 0), r=3  C: (x +1)2 + y2 – 32 = 0 Operando queda: C: x2 + y2 + 2x – 8 = 0 3º.- C(2, -2), r=1  C: (x – 2)2 + (y + 2)2 – 12 = 0 Operando queda: C: x2 + y2 – 4x + 4y + 7 = 0 4º.- C(-7, -5), r=2  C: (x +7)2 + (y + 5)2 – 22 = 0 Operando queda: C: x2 + y2 + 14x + 10y + 70 = 0 5º.- C(a, 0), r=a  C: (x – a)2 + y2 – a2 = 0 Operando queda: C: x2 + y2 – 2ax = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios Halla el centro y radio de las circunferencias: x2 + y2 – 2.k.x – 2.h.y + k2 + h2 – r2 = 0 5º.- C: x2 + y2 + 2y – 8 = 0  k = 0  2h = - 2  h = -1 k2 + h2 – r2 = - 8  1 – r2 = – 8  r2 = 9  r = 3 6º.- C: x2 + y2 – 6x + 9 = 0  h = 0  2k = 6  k = 3 k2 + h2 – r2 = 9  9 – r2 = 9  r2 = 0  r = 0 No hay 7º.- C: x2 + y2 – 4y = 0  k = 0  2h = 4  h = 2 k2 + h2 – r2 = 0  4 – r2 = 0  r2 = 4  r = 2 8º.- C: x2 + y2 + 2x – 4 y + 9 = 0  k = – 1  h = 2 k2 + h2 – r2 = 9  1 + 4 – r2 = 9  r2 = – 4  r = No es real @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT POSICIÓN DE UN PUNTO P(x, y) P(x, y) P(x, y) r r r C C C PUNTO INTERIOR La distancia del centro, C(k, h), a dicho punto P, es menor que el radio r. d(P, C) < r PUNTO PERTENECIENTE La distancia del centro, C(k, h), a dicho punto P, es igual al radio r. d(P, C) = r PUNTO EXTERIOR La distancia del centro, C(k, h), a dicho punto P, es mayor que el radio r. d(P, C) > r @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios 1.- Hallar la posición relativa del punto P(1, 1) respecto a la circunferencia C: (x – 2)2 + (y – 3)2 – 52 = 0 Centro: C(2, 3) ,, Radio: r=5 d(P, C) = √ (1 – 2)2 + (1 – 3)2 =√5 < 5  Punto interior. 2.- Hallar la posición relativa del punto P(-3, 0) respecto a la circunferencia C: (x + 4)2 + (y – 5)2 – 12 = 0 Centro: C(- 4, 5) ,, Radio: r=1 d(P, C) = √ (- 3 + 4)2 + (0 – 5)2 =√26 > 1  Punto exterior. 3.- Hallar la posición relativa del punto P(a, 0) respecto a la circunferencia C: (x – a)2 + (y + a)2 – a2 = 0 Centro: C(a, -a) ,, Radio: r=a d(P, C) = √ (a – a)2 + (0 + a)2 =√ a2 = a = r  Punto perteneciente a la circunferencia.. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT POSICIÓN DE UNA RECTA s s P2 P1 s d d d C C C P1 RECTA SECANTE La distancia del centro, C(k, h), a la recta, s es menor que el radio r. d(P, s) < r RECTA TANGENTE La distancia del centro, C(k, h), a la recta, s es igual al radio r. d(P, s) = r RECTA EXTERIOR La distancia del centro, C(k, h), a la recta, s, es mayor que el radio r. d(P, s) > r @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT