Daniel Mateo Aguirre B G2E03Daniel 2/06/2015 Fundamentos de Física Moderna Modelos Atómico de Bohr para el átomo de hidrógeno Daniel Mateo Aguirre B G2E03Daniel 2/06/2015

Postulados y modelo de Bohr Bohr tomó como punto de partida el segundo postulado de Planck , el cual dice que un oscilador sólo emite energía cuando pasa de un estado de mayor energía a otro de menor energía. El modelo surgió de un movimiento científico que intentaba explicar la radiación de cuerpo negro y de ahí surgieron los tres postulados que dieron forma al modelo atómico de Bohr.

Postulado 1 El átomo de Hidrógeno está constituido por un núcleo con carga + 2e y un electrón ligado a el mediante fuerzas electroestáticas. imagen tomada de es.wikipedia.org

Postulado 2 Existe un conjunto discreto de estados energéticos en los cuales el electrón puede moverse sin emitir radiación electromagnética. Estos estados se denominan estados estacionarios y el ellos la energía es constante. Imagen tomada de www.scielo.org.pe

Postulado 3 En los estados estacionarios el momento angular del electrón (L) es igual a un múltiplo entero n de la constante de Planck h dividida por 2π. 𝐿=𝑚𝑣𝑟=𝑛 ℎ 2𝜋 =𝑛ђ Por lo que el electrón solo puede ubicar en ciertas posiciones determinadas por: 𝑟 𝑛 = 𝑛ђ 𝑚𝑣

Deducción La fuerza de atracción entre núcleo y electrón en el más simple de los átomos , aquél con un solo electrón sería la de Coulomb. La situación es similar a la que existe en nuestro sistema solar: el Sol con una masa mayor a la de los planetas , los atrae con una fuerza proporcional a 1/r^2. Sabiendo que el electrón tiene una masa m, cuya carga es de Ze. En ese caso el núcleo permanece en reposo y el electrón gira alrededor de él en una órbita de radio r y velocidad v. Por ende la energía cinética está dada por : 𝐸 𝑒 = 1 2 𝑚 𝑣 2

Deducción Tambíen se sabe que la energía potencial eléctrica está dada por: 𝑉=−𝑘∗ 𝑍 𝑒 2 𝑟 (1) La energía total está dada por: 𝐸= 𝐸 𝑘𝑖𝑛 +𝑉= 1 2 𝑚 𝑣 2 −𝑘∗ 𝑍 𝑒 2 𝑟 (2) Debido a que el electrón gira alrededor del núcleo, existe una aceleración que lo hace cambiar de trayectoria. Y se tiene: 𝐹 𝑒 =𝑚𝑎 (3)

Deducción La aceleración es una aceleración centrípeta , la cual se expresa por: 𝑎= 𝑣 2 𝑟 (4) Sustituyendo y usando la ley de Coulomb se tiene: 𝑘 𝑍 𝑒 2 𝑟 = 𝑚 𝑣 2 𝑟 (5) Sustituyendo en la ecuación de la energía total , se observa que : −𝑉=2 𝐸 𝑒 (6)

Deducción Ahora , si nos preguntamos . ¡Cuál es la frecuencia a la que gira el electrón , debemos pensar en la frecuencia o velocidad angular dada por ω y despejando para la frecuencia se tiene: 𝑓= 𝜔 2𝜋 (7) 𝜔= 𝑣 𝑟 (8) Sustituyendo en la ecuación 5 y dividiendo por r^2 se tiene: 𝑚 𝑣 2 𝑟 2 = 𝑘 𝑍 𝑒 2 𝑟 3 (9) Expresando en términos de la velocidad angular y luego en términos de la frecuencia f se tiene: 𝑓= 1 2𝜋 𝑘 𝑍 𝑒 2 𝑚 𝑟 3 1 2 (10)

Deducción Partiendo de 6 se sabe que la energía expresada en términos de la energía eléctrica esta dada por: 𝐸= 𝑉 2 =− 𝑘 𝑍 𝑒 2 2𝑟 (11) Y sustituyendo en 10 se sabe: 𝑓= 2 1 2 −𝐸 3 2 𝜋𝑘 𝑍 𝑒 2 𝑚 1 2 (12)

Deducción Como se dijo anteriormente , Bohr partió de la teoría dada por Planck sobre la cuantización de la energía radiada en una emisión en donde : 𝐸 𝑟 =𝑛ℎ𝜗 (13) Bohr consideró un proceso en el que el núcleo y electrón se encontraban infinitamente separados y en reposo , hasta alcanzar finalmente un estado estacionario de energía

Deducción En este proceso la energía del átomo disminuiría desde una Energía inicial Ei=0 hasta E , dando como balance en luz irradiada : 𝐸 𝑟 =−𝐸 (14) Bohr supuso una sola frecuencia promedio entre los valores iniciales y finales dada como : 𝜗= 𝑓 𝑖 + 𝑓 𝑓 2 = 𝑓 2 (15) Usando la ecuación de Planck y sustituyendo la frecuencia con (12) , se tiene que la energía es: 𝐸= −2 𝜋 2 𝑘 2 𝑍 2 𝑒 4 𝑚 𝑛 2 ℎ 2 (16)

Conclusiones Analizando la ecuación 16 se ve que la energía no puede tomar cualquier valor , ya que n es un número entero . Lo que demuestra la cuantización de la energía Analizando la figura del espectro de emisión del hidrógeno y calculando los niveles de energía del mismo se puede ver que esto se relaciona bastante con la espectroscopia

Conclusiones