LUIS GONZALO PULGARÍN R POLÍGONOS LUIS GONZALO PULGARÍN R lugopul@gmail.com

Polígonos Luis Gonzalo Pulgarín R

POLÍGONOS Segmentos de recta Ángulos Es la figura que está formada por segmentos de recta. POLI significa MUCHOS Y GONOS significa Ángulos. La interseción de dos segmentos de recta o lados de un Polígono determina el ángulo. Segmentos de recta Ángulos

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO Vértice : Superficie o área (2) (3) (4) (1) Apotema (Distancia del centro del polígono al centro de un lado) Lado (5) Para hallar el Perímetro se suman todos sus lados (1) (2) (3) (4) (5)

Polígonos Regulares Es aquella figura que tiene todos sus lados de igual longitud(congruentes: iguales) y los ángulos internos de la misma amplitud Ejemplos

Polígonos Irregulares Si los lados de un polígono tienen diferentes medidas y sus ángulos interiores no son congruentes(iguales) se llaman polígonos irregulares. Ejemplos

El número de lados que tiene. Clases de Polígonos Podemos clasificar los polígonos por: El número de lados que tiene. Dibujar cada figura según el número de sus lados: dejar 3 o 4 renglones para cada dibujo. 3 lados – TRIÁNGULO 4 lados – CUADRILÁTERO 5 lados – PENTÁGONO 6 lados – HEXÁGONO 7 lados – HEPTÁGONO 8..lados OCTÁGONO 9 lados NONÁGONO 10 Lados DECÁGONO

Clasificación de los polígonos por el número de lados Triángulo Tiene 3 lados y 3 ángulos

CUADRILATERO 4 LADOS y 4 ÁNGULOS

PENTÁGONO 5 LADOS y 5 ÁNGULOS

HEXÁGONO 6 LADOS Y 6 ÁNGULOS

HEPTÁGONO 7 LADOS Y 7 ÁNGULOS

OCTÁGONO 8 LADOS Y 8 ÁNGULOS

NONÁGONO 9 LADOS Y 9 ÁNGULOS

DECÁGONO 10 LADOS Y 10 ÁNGULOS

ENDECÁGONO 11 LADOS Y 11 ÁNGULOS

DODECÁGONO 12 LADOS Y 12 ÁNGULOS

PENTADECÁGONO 15 LADOS Y 15 ÁNGULOS

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS POR SU FORMA 01.-Polígono convexo.-Las medidas de sus ángulos interiores son agudos. 02.-Polígono cóncavo.-La medida de uno o mas de sus ángulos interiores es cóncavo. 03.-Polígono equilátero.-Sus lados son congruentes. 04.-Polígono equiángulo.-Las medidas de sus ángulos interiores son congruentes.

Dibuja cada figura al frente de sus números de lados 05.-Polígono regular.-Todos sus lados y ángulos son iguales(congruentes) es equilátero y a su vez equiángulo. 06.-Polígono irregular.-Sus lados tienen longitudes diferentes. POR SU NÚMERO DE LADOS Dibuja cada figura al frente de sus números de lados Triángulo : 3 lados Cuadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octágono: 8 lados Nonágono: 9 lados Decágono: 10 lados Endecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono: 15 lados Icoságono: 20 lados

Polígonos regulares Luis Gonzalo Pulgarín R El cuadrilátero. Polígonos regulares Luis Gonzalo Pulgarín R

Definiciones: Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Dos lados son opuestos si no son consecutivos. Dos vértices son opuestos si no son consecutivos. B b C a c A d D

CUADRILÁTEROS Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los lados de un cuadrilátero pueden ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus lados, podemos clasificarlos en:

DENTRO DE LOS CUADRILÁTEROS TENEMOS: PARALELOGRAMOS NO PARALELOGRAMOS

DENTRO DE LOS PARALELOGRAMOS HAY CUATRO TIPOS: CUADRADO ROMBOIDE RECTÁNGULO ROMBO

Clasificación De Los Cuadriláteros CUADRADO RECTÁNGULOS (4 lados iguales) C U A D R I L Á T E O S (4 ángulos rectos) CUADRILONGO PARALELOGRAMOS (lados opuestos iguales) (Tienen sus lados Opuestos paralelos) ROMBO (4 lados iguales, 2 ángulos agudos, 2 ángulos obtusos) ROMBOIDE (lados opuestos iguales, 2 Ángulos agudos 2 obtusos) (2 ángulos rectos) RECTANGULAR (2 lados iguales) TRAPECIOS ISÓSCELES (lados diferentes, no tine Ángulos rectos) (Únicamente tiene Paralelas sus bases) ESCALENO (tiene sus lados iguales 2 SIMÉTRICO TRAPEZOIDES A 2 y una de sus diagonales es eje de simetria (No tiene lados Paralelos) ASIMÉTRICO (no tiene lados iguales, ni ejes de simetría)

Perímetro De Un Polígono Regular El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. Si representamos el Perímetro con la letra P , el número de sus lados con la letra L y la longitud con la letra L. La fórmula es: P L x L P=L x L

PERÍMETRO Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.

Hagamos un concurso por grupos. 1. Tiene los cuatro lados iguales: a) Sólo el cuadrado b) Algunos rectángulos c) El cuadrado y el rombo 2. Sólo tiene sus lados iguales dos a dos: a) El cuadrado b) El rectángulo y el romboide c) El rombo 3 Sus cuatro ángulos son iguales : a) El cuadrado b) El cuadrado, el rombo y el rectángulo c) El cuadrado y el rectángulo 4. Sus diagonales son perpendiculares: a) El cuadrado c) El cuadrado y el romboide c) El cuadrado y el rombo

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO = BASE ∙ ALTURA A VECES NO ES FÁCIL CALCULAR LA BASE Y LA ALTURA DE UN PARALELOGRAMO. ASÍ QUE TRATAREMOS DE VER FÓRMULAS QUE NOS AYUDARÁN PARA CADA CASO. ¿BASE? ¿ALTURA?

COMPRENDEREMOS Paralelogramo Nombre Área lado X lado cuadrado PARA FACILITARNOS EL TRABAJO MEMORIZAREMOS LA FÓRMULA DEL ÁREA DE CADA PARALELOGRAMO. PERO ADEMÁS COMPRENDEREMOS DE DÓNDE SALE CADA FÓRMULA COMPRENDEREMOS Paralelogramo Nombre Área lado X lado cuadrado base X altura rectángulo Diagonal X diagonal 2 rombo romboide base X altura

Sabiendo que el área de un triángulo es: AT = Base · altura 2 AC = 2 · AT = 2 · lado X lado 2 = lado X lado = base X altura AR = 2 · AT = 2 · base · altura 2

Área De Un Polígono Regular A=NoT x AT AT=L x a a 2 NoT=NoL A= NoL x L x a A= P x a 2 2

Área De Un Círculo Apr=P x a Pc=2 x pi x R R=a 2 Ac= pi x R2 Ac=2 x pi x R x R 2

CÁLCULO DE SUPERFICIES                                 Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan  distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de  diferentes polígonos.

CUERPOS Y SUS SUPERFICIES Los cuerpos geométricos se  clasifican de acuerdo a la forma de  sus caras: - Cuerpos poliedros: son  aquellos  que tienen todas sus caras  planas. Estos, a su vez, pueden   dividirse    en poliedros regulares y  poliedros irregulares. - Cuerpos  rodantes: son aquellos que tienen   por lo menos una cara    curva. Todas las caras de un poliedro son polígonos. Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y son: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Los polígonos irregulares son aquellos cuyas caras no son polígonos iguales y se dividen en prismas y pirámides. Los cuerpos rodantes se dividen en: cilindros, conos y esferas.

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS PRIMERA PROPIEDAD Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales. n Lados Vértices Ángulos interiores Ángulos exteriores Ángulos centrales

ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales SEGUNDA PROPIEDAD A partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar (n-3 ) diagonales. Ejemplo: ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales

TERCERA PROPIEDAD El número total de diagonales que se puede trazar en un polígono: Ejemplo:

Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos CUARTA PROPIEDAD Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene (n-2) triángulos Ejemplo: 3 2 1 Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos

Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono: QUINTA PROPIEDAD Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono: Si =180°(n-2) Donde (n-2) es número de triángulos Ejemplo: Suma de las medidas de los ángulos interiores del triangulo 180º Si = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º

SEXTA PROPIEDAD Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º Se = 360°      Ejemplo:  +  +  +  +  = 360º

Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triángulos SEPTIMA PROPIEDAD Al unir un punto de un lado con los vértices opuestos se obtiene (n-1) triángulos Punto cualquiera de un lado Ejemplo: 3 2 1 4 Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triángulos

OCTAVA PROPIEDAD Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se obtiene “n” triángulos Ejemplo: 3 2 1 4 5 Ns. = n = 5 = 6 triángulos

NOVENA PROPIEDAD Ejemplo: 1 2 Número de diagonales trazadas desde “V” vértices consecutivos, se obtiene con la siguiente fómula. Ejemplo: 1 2 y así sucesivamente

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS REGULARES 1ra. Propiedad 2da. Propiedad Medida de un ángulo interior de un polígono regular o polígono equiángulo. Medida de un ángulo exterior de un polígono regular o polígono equiángulo. 3ra. Propiedad 4ta. Propiedad Medida de un ángulo central de un polígono regular. Suma de las medidas de los ángulos centrales. Sc = 360°

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Problema Nº 01 En un polígono, la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el total de diagonales de dicho polígono. RESOLUCIÓN Del enunciado: Se + Si = 1980° Luego, reemplazando por las propiedades: 360° + 180°( n - 2 ) = 1980° Resolviendo: n = 11 lados Número de diagonales: ND = 44

Reemplazando por las propiedades: Problema Nº 02 ¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el cual la medida de cada uno de su ángulo interno es igual a 8 veces la medida de un ángulo externo RESOLUCIÓN Polígono es regular: Del enunciado: mi = 8(me ) Reemplazando por las propiedades: Resolviendo: n = 18 lados Luego polígono es regular se denomina: Polígono de 18 lados

Problema Nº 03 Calcule el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el total de las diagonales es mayor que su número de lados en 75. RESOLUCIÓN Del enunciado: ND = n + 75 Reemplazando la propiedad: = n + 75 n2 - 5n - 150 = 0 Resolviendo: n = 15 lados Luego, el número total de diagonales: ND = 90

Problema Nº 04 En un polígono regular, se le aumenta un lado, la medida de su ángulo interno aumenta en 12°; entonces el número de vértices del polígono es: RESOLUCIÓN Polígono es regular: Del enunciado: Polígono original: n lados Polígono modificado: (n+1) lados Reemplazando por la propiedad: Resolviendo: n = 5 lados Número de lados = Número de vértices NV= 5 vértices

Problema Nº 05 El número total de diagonales de un polígono regular es igual al triple del número de vértices. Calcule la medida de un ángulo central de dicho polígono. RESOLUCIÓN Polígono es regular: Del enunciado: ND = 3n Reemplazando por la propiedad: = 3n Resolviendo: n = 9 lados Luego, la medida de un ángulo central: mc = 40°

LUIS GONZALO PULGARÍN R FIN LUIS GONZALO PULGARÍN R