CASO II: Tamaño muestral grande (n > 30) cuando es desconocido Se sabe que para n>30 la distribución t de Student se aproxima a la distribución N(0;1)*. Luego el intervalo de confianza para con coeficiente de confianza 1-α es Estimador insesgado de

* Sabemos que si x es una v.a. con distribución t (n), entonces E[X] = 0, para todo n>1 Var[X] = nii para todo n>2 n-2 Luego como, entonces la distribución t de Student se aproxima a la distribución N(0,1) cuando el grado de libertad n es mayor que 30.

Aplicaciones para tamaño muestral grande n>30 Una entidad financiera dedicada a otorgar prestamos a PYMES en la provincia de Lima, para cuyo efecto debe hacer una evaluación minuciosa de la situación financiera de cada una de ellas. Con este propósito, el administrador general* encargado de decidir el otorgamiento de crédito, analiza los estados financieros y las solicitudes e inclusive entrevista al solicitante si así lo desea; de esta manera se forma una opinión respecto a la tasa** de crédito del mismo. El resultado de su análisis se evalúa mediante un número entero comprendido entre 0 y 9, usando el 9 para una tasa excelente y el cero para una tasa mala. El administrador general, deseaba estar seguro de que los dos agentes de crédito que disponía, el señor Pérez y el señor Fernández, estaban usando el mismo estándar al evaluar las tasas de crédito. Se les entregó 40 clientes solicitantes al azar y ambos agentes fueron enviados por separado con cada uno de ellos, siendo los resultados de sus respectivas conclusiones lo siguientes:

Número de solicitante Evaluación del agente Pérez Evaluación del agente Fernández D i = X i - Y i

9

La gerencia sabia que habría diferencias entre ambas evaluaciones, pero deseaba que los agentes de crédito diesen la misma evaluación en promedio.¿A partir de los datos anteriores podemos afirmar que los resultados muestran una diferencia significativa?. Obtener el intervalo de confianza al 95%, suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal. * Administrador general = tasador = encargado de poner precio a una cosa // valuador, estimador // regular, medir // reducidor de una cosa. ** Tasa = medida, norma. Tasación = evaluación.

Solución : Observamos para los mismos clientes solicitantes tienen igual oportunidad de obtener un crédito y seran evaluados por dos agentes de la misma entidad, entonces estamos en el caso de datos pareados. Haciendo D i = X i - Y i ; i = 1,2, ,40 ; n > 30 9 nos piden al 1- α = 0.95 de confianza → 1 - = 0.975

luego : para z (1 - α /2 ) = z (0.975) = 1.96 ; Ahora para el intervalo de confianza tenemos: I Luego remplazando y operando tenemos: I =

Interpretación: Al observar el intervalo al nivel de confianza de 95%, podemos decir que no hay diferencia significativa entre las evaluaciones de los dos agentes de crédito, ya que el intervalo incluye al cero, entonces μ 1 = μ 2. Observación del ejemplo: En este caso tomamos al agente Pérez = X primero y luego al agente Fernández =Y, para luego hacer la diferencia de D i = X i - Y i ¿qué ocurre si tomamos al agente Fernández = Y primero y luego al agente Pérez =X? Entonces seria D i = Y i – X i, luego el intervalo nuevo es: I =

OBSERVACIONES 1.-Al comparar el intervalo de confianza con el de la situación de no pareamiento, se observa la existencia de un “intercambio”. No obstante que el parear debe reducir la varianza y por lo tanto, el error estándar de la estimación puntual, los grados de libertad disminuyen al reducir la situación al problema de una muestra. Así el punto vinculado al error estándar se ajusta de acuerdo con esto. Este pareamiento puede resultar contraproducente. Tal sería en verdad el caso si sólo se experimenta una modesta reducción en la varianza (a través de ) debida la pareamiento.

2.- En el tema de contrastes no paramétricas se aplica las observaciones pareadas, como es en el caso de “Test de signos para una muestra bidimensional pareada”. Estas muestras reciben el nombre de pareada porque es de tipo bidimensional, tomándose en cada elemento muestral el par de observaciones (X i ; Y i ) en cada individuo analizado.

Gracias Grupo No. 3 León A., Alfredo Fernández S., Gerardo Pérez A., Omar Datos pareados ©2004-I FF.CC.MM. - E.A.P. Estadística Recinto aula 306 Universidad Nacional Mayor de San Marcos Lima - Perú