PROGRESIONES ARITMÉTICAS TC 5 * ESPAD III PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Sucesiones de nºs reales SUCESIÓN es el conjunto de números ordenados mediante una regla o ley de formación. Cada uno de los números ordenados se llama término. El término general o genérico (encerrado entre llaves) nos señala la ley de formación. El desarrollo de la sucesión es automático, sin más que sustituir n por el cardinal del lugar que ocupa el término.

Ejemplos: Cardinal  n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 … {n} = {2n} = {2n - 1} = {3n} = {n2} = {n3} = {1 / n } = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ......... 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ......... 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ......... 3 , 6 , 9 , 12, 15 , ......... 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ......... 1 , 8 , 27 , 64 , 125 , ......... 1 , 0'5 , 0'33 , 0'25, 0,2 , ….....

SUCESIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE .‑ Es aquella en que el valor de los términos crece o decrece respectivamente respecto a los términos anteriores. SUCESIÓN CONVERGENTE Y DIVERGENTE .‑ Es convergente aquella en que el valor de los términos converge, se aproxima, a un valor conocido. Si no es así se llama divergente. Ejemplos: {n} = 1, 2, 3, 4, 5, ......... Es creciente y divergente {1/n} = 1, 0'5, 0'33, 0'25, ...... Es decreciente y convergente (  0 ) Las sucesiones más importantes, tanto que tienen nombre propio, son dos: Progresiones Aritméticas y Progresiones Geométricas

Progresiones aritméticas Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior más una constante, d, llamada DIFERENCIA a =  a , a , a , a , .... , a , ... , a , a  n 1 2 3 4 k n‑1 n Deducimos la fórmula principal: a = a 1 1 a = a + d 2 1 a = a + d = a + 2.d 3 2 1 a = a + d = a + 3.d 4 3 1

…………………..………. a = a + d = a + (n ‑1).d n n‑1 1 O sea: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De ella se despeja en caso necesario a , d o n. 1 a = a - (n – 1 ).d ,, d = (a - a ) / (n – 1 ) 1 n n 1 n = [ (a - a ) / d ] + 1 n 1 En la resolución de sistemas un método muy práctico es poner cualquier término en función del primero y de la diferencia.

EJEMPLO_1 En una PA el primer término vale 5 y la diferencia es 3. Hallar el término séptimo y el término duodécimo. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a = a + ( 7 – 1 ).3 = 5 + 6.3 = 5 + 18 = 23 7 1 a = a + ( 12 – 1 ).3 = 5 + 11.3 = 5 + 33 = 38 12 1 La PA sería: {a } = 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, … n

EJEMPLO_2 En una PA el primer término vale 5 y la diferencia es - 4. Hallar el término quinto y el término undécimo. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a = a + ( 5 – 1 ).(-4) = 5 + 4.(-4) = 5 - 16 = - 11 5 1 a = a + ( 11 – 1 ).(-4) = 5 + 10.(-4) = 5 - 40 = - 35 11 1 La PA sería: {a } = 5, 1, -3, -7, -11, -15, -19, -23, - 27, - 31, - 35, … n

EJEMPLO_3 En una PA el noveno término vale 5 y la diferencia es 7. Hallar el primer término. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a = a - ( 9 – 1 ).7 = 5 - 8.7 = 5 - 56 = - 51 1 9 La PA sería: {a } = - 51, - 44, - 37, - 30, - 23, - 16, - 9, - 2, 5, … n

EJEMPLO_4 En una PA el séptimo término vale 5 y el primero vale - 37. Hallar lo que vale la diferencia. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a - a = ( 7 – 1 ).d  d = [ 5 – (- 37)] / 6 = 42 / 7 = 6 7 1 La PA sería: {a } = - 37, - 30, - 23, - 16, - 9, - 2, 5, … n

EJEMPLO_5 En una PA el último término vale 41, el primero vale – 3, y la diferencia vale 2. Hallar el número de términos. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a - a = ( n – 1 ).2  41 – (-3) = (n – 1 ).2  44 = (n – 1 ).2  22 = n – 1  n = 23 La PA sería: {a } = - 3, - 1, 1, 3, 5, 7, …, 41 n

Suma de términos en P.A. Sea la P.A. an = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 Observar que 1+15 = 3+13 = 5+11 = 7+9 , es siempre 16 En toda P.A. la suma del primero y del último es igual a la suma del segundo con el penúltimo, e igual a la suma del tercero con el antepenúltimo, ... O sea que la suma (a1 + an) se repite n / 2 veces, quedando: (a1 + an) S = (a1 + an) . (n/2) , o lo que igual: S = ‑--------‑‑‑‑ . n 2

Ejemplo_1 Hallar la suma de los 35 primeros múltiplos de 7. La P.A. sería: an = 7, 14, 21, 28, … Donde a1 = 7 , d = 7 y n = 35 Hallamos a35 = a1 + ( 35 – 1).7 = 7 + 34.7 = 7 +238 = 245 Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: S = (7 + 245) . (35/2) = 252.17,5 = 4410

Ejemplo_2 Los alumnos de una clase se colocan en filas, pero de forma que en la1ª fila hay 1 alumno, en la 2ª fila hay 2 alumnos, en la 3ª fila hay 3 alumnos y así sucesivamente hasta completar 11 filas. ¿Cuántos alumnos hay en esa clase? La sucesión de alumos por cada fila sería: an = 1, 2, 3, 4, …, 11 Sería una PA donde a1 = 1 , d = 1 y n = 11 Hallamos a11 = a1 + ( n – 1).d = 1 + 10.1 = 11 (En este caso sobraría, pero en la mayoría de las circunstancias hay que hallarlo al desconocerse su valor) Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: S = (1 + 11) . (11/2) = 12.5,5 = 66 En la clase habría 66 alumnos en total.

Ejemplo_3 En una PA el primer término vale 3, la diferencia vale 0,25 y la suma de todos los términos de la progresión vale 28. Hallar el número de términos. Nos dicen que es una PA donde a1 = 3 , d = 0,25 y S = 28 Hallamos el último término: an = a1 + ( n – 1).d = 3 + (n – 1).0,25 Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: 28 = (3 + 3 + (n – 1).0,25) . (n/2) Operando: 28 = (6 + 0,25.n – 0,25).(n/2) 28 = 3.n + 0,125.n2 – 0,125.n Ordenando queda: 0,125.n2 + 2,875.n – 28 = 0 Multiplicando por 1000 queda: 125.n2 + 2875.n – 28000 = 0 Dividiendo entre 125 queda: n2 + 23.n – 224 = 0 Resolviendo la ecuación: n = 101 términos La otra posible solución de n no vale al ser negativa.