DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Ejemplos de la distribución de Poisson Distribución de llamadas telefónicas que llevan a un conmutador La demanda de los pacientes en un hospital La llegada de automóviles a una caseta de cobros El número de accidente registrados en una cierta intersección de calle Todas estas distribuciones de probabilidad discreta

Características de los procesos que producen una distribución de probabilidad de Poisson Tomando el ejemplo de los vehículos que pasan por una sola cajade una caseta de cobros El promedio (media) del numero de vehículos que llegan por hora pico puede estimarse a partir de datos sobre tráfico que tenga disponble. Si dividimos la hora pico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos que las siguientes afirmaciones son verdaderas:

La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue a una caja por segundo es muy pequeña y es constante para cada intervalo de un segundo. La probabilidad de que dos o mas vehículos lleguen a un intervalo de un segundo es tan pequeña que la podemos considerar cero. El número de vehículos que llegan en un intervalo dado de una segundo es independiente del tiempo en que dicho intervalo se presente en la hora pico. El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del número de llegadas en cualquier otro intervalo de un segundo.

FÓRMULA PARA LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON 𝑃(𝑥) … Probabilidad de tener exactamente x presentaciones 𝜆 … lambda (el número medio de presentaciones por intervalo de tiempo) 𝑒 … 𝑒=2.71828 (base de los logaritmos naturales) 𝑥! … 𝑥 factorial 𝑃 𝑥 = 𝜆 𝑥 × 𝑒 −𝜆 𝑥!

EJEMPLO En una intersección, los registros policiales indican una media de 5 accidentes mensuales. El departamento de Seguridad de Tránsito desea calcular la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 0, 1, 2, 3 ó 4 accidentes.

Probabilidad de que no ocurran accidentes. 𝑃 0 = 5 0 ( 𝑒 −5 ) 0! = (1)(0.00674) 1 =0.00674

𝑃 1 =0.03370 𝑃 2 =0.08425 𝑃 3 =0.14042 𝑃 4 =0.17552

Condiciones: 𝑛 sea igual o mayor que 20 𝑝 sea igual o menor a 0.05 LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON COMO UNA APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Condiciones: 𝑛 sea igual o mayor que 20 𝑝 sea igual o menor a 0.05

Si se cumplen estas condiciones podemos sustituir la media de la distribución binomial (𝑛𝑝) por la media de la distribución de Poisson (𝜆), de modo que la fórmula queda: 𝑃 𝑥 = (𝑛𝑝) 𝑥 × 𝑒 −𝑛𝑝 𝑥!