FÍSICA DE SEMICONDUCTORES Mecánica Cuántica Julián David Valbuena Godoy 13 de Junio 2015

La ecuación de onda de Schrödinger El desarrollo de la física cuántica a introducido nuevas formas de comprender los fenómenos que rodean el comportamiento de las partículas elementales. Se ha visto que las ondas electromagnéticas poseen cualidades de partículas energéticas, así como los electrones poseen propiedades de ondas, es decir, es posible asignarles una frecuencia angular y una contante de movimiento determinada, pero además es imposible establecer un punto exacto del espacio donde se encuentra la partícula. La fusión definitiva que cuantifica estas ideas, a sido conseguida gracias a estudios científicos desarrollados por Erwin Schrödinger, llamándola ecuación de onda, la cual incluye en comportamiento ondulatorio de las partículas y la fusión de la probabilidad de su ubicación.

Definiciones básicas Los sistemas atómicos y las partículas elementales no se pueden describir con las teorías que usamos para estudiar los cuerpos macroscópicos. Un sistema cuántico lo conforman partículas que se mueven en un ambiente de potencial. El intercambio de energía entre átomos y partículas solo puede ocurrir en paquetes de energía de cantidad discreta. Las ondas de luz, en algunas circunstancias se pueden comportar como si fueran partículas. Las partículas elementales, en algunas circunstancias se pueden comportar como si fueran ondas. Es imposible conocer la posición exacta y la velocidad exacta de una partícula al mismo tiempo. Principio de Incertidumbre de Heisemberg.

Postulados de la ecuación de onda de Schrödinger 1. Cada partícula del sistema físico se describe por medio de una onda plana descrita por una función denotada por Y(x, y, z, t); esta función y sus derivadas parciales son continuas, finitas y de valores simples. 2. Las cantidades clásicas de la energía (E) y del momentum (P), se relacionan con operadores de la mecánica cuántica definida de la siguiente manera:

Postulados de la ecuación de onda de Schrödinger (2) 3. La probabilidad de encontrar una partícula con la función de onda en el espacio viene dada por: Donde Y *(x, y, z, t) es la conjugada compleja de Y (x, y, z, t) y se cumple que: Y (x, y, z, t) Y *(x, y, z, t) = | Y (x, y, z, t)|²

Determinación de la ecuación de Schrödinger La energía total de la partícula se expresa como: E = Ep + Ec Donde Ep es la energía potencial y Ec es la energía cinética: Utilizando los operadores cuánticos para Ep constante:

Determinación de la ecuación de Schrödinger (2) Multiplicando por la función de onda Y (r, t) obtenemos la función de Schrödinger en el espacio r: Para ampliar este resultado se emplea el operador de Laplace: Obteniendo la Ecuación General de Schrödinger:

Concepto de sistema cuántico. Solución de la ecuación de Schrödinger: Ψ=𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 +𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) Dicha función solución contiene toda la información del sistema cuántico y expresa información acerca de la partícula a través de la constante K, la cual indica: masa, momento y energía. Con base en esta información se puede obtener más información como es longitud de onda de radiación, tipo de partícula, etc.