/52 Sistemas dinamicos Realimentacion de estado 1

/52 Contenido 1.La definicion del problema 2.Resultados fundamentales 3.Regulacion y seguimiento 2

/52 LA DEFINICION DEL PROBLEMA 3

/52 El proposito del control en terminos de la salida l La mayoria de los sistemas de control pueden ser formulados como se muestra en la figura El problema es diseñar un sistema tal que la salida de la planta y(t) siga tan cerca como sea posible la señal de referencia r(t) 4 y(t): señal controlada (salida) r(t): señal de referencia u(t): señal de control y(t)y(t) t r(t)r(t)

/52 El proposito del control en termino de los estados l En ocasiones los sistemas de control se formulan en terminos de los estados 5 Estabilidad (regulacion): estabilizar el sistema alrrededor de un punto de equilibrio  Dado el punto de equilibrio x e  n, hallar la ley de control u=  (x) tal que Control: llevar el sistema entre dos puntos  Dados x 0, x f  n, hallar una entrada u(t) tal que x0x0 xfxf

/52 Dos tipos de control l Control en lazo abierto: »la “ley” de control u(t) depende solamente de la señal de referencia r(t) y es independiente de la salida de la planta y(t) 6 No hay informacion de si el control se esta realizando correctamente

/52 Dos tipos de control l Control en lazo cerrado (realimentado): »la “ley” de control u(t) depende de la señal de referencia r(t) y de la salida de la planta y(t) 7 Reduce el efecto de la variación de los parámetros y suprime el ruido y los disturbios

/52 La realimentacion del estado l La idea: realimentacion negativa del estado con ganancia constante 8 Ganancia de realimentacion

/52 La realimentacion del estado l La idea: realimentacion negativa del estado con ganancia constante, con precompensacion 9 Ganancia de realimentacion Ganancia de precompensacion Para lograr seguimiento

/52 Funciones de transferencia l Funcion de transferencia de la planta en lazo abierto l Funcion de transferencia de malla abierta (sistema de realimentacion) 10

/52 Funciones de transferencia l Funciones de transferencia de lazo cerrado 11

/52 Ejemplo 12 Sea el sistema Newtoniano con posicion p(t), La entrada es la fuerza u(t), La salida y(t) es la suma de la posicion y la velocidad La funcion de transferencia

/52 Ejemplo 13 Construimos una realizacion del sistema definiendo, Con m = 1 el sistema en variables de estado es

/52 Ejemplo 14 Aplicando realimentacion de estado El sistema en lazo cerrado queda

/52 Ejemplo 15 Finalmente, la funcion de transferencia en lazo cerrado es Observaciones:  Se puede afectar la ubicación de los polos arbitrariamente  No puede afectar la ubicación de los ceros  Se puede cancelar un cero con un polo: implica que el modelo en variables de estado en lazo cerrado puede no ser mínimo La planta original

/52 Preguntas l Preguntas »¿Cómo afecta la realimentación de estado a la controlabilidad y la observabilidad? »¿Cómo afecta la realimentación de estado a la estabilidad? »¿Qué podemos hacer con la realimentación de estado? –Ubicación de los polos »Qué pasa si los estados no estan disponibles? –Observadores 16

/52 RESULTADOS FUNDAMENTALES 17

/52 Invariancia de la controlabilidad Teorema: (Invariancia de la controlabilidad respecto a la realimentacion de los estados para sistemas SISO). El par (A  BK, B), para cualquier vector real constante K, es controlable si y solo si (A, B) is controllable. 18 Prueba

/52 Invariancia de la controlabilidad Sea x 0 y x 1 dos estados arbitrarios Si  es controlable, existe una entrada u 1 que transfiere x 0 a x 1 en un tiempo finito Si escogemos r 1 = u 1 +Kx, entonces la entrada r 1 del sistema realimentado transferira x 0 a x Aunque la propiedad de la controlabilidad es invariante bajo cualquier realimentacion del estado, la propiedad de la observabilidad puede no preservarse

/52 Ejemplo 1 20 La ecuación de estado es controlable y observable. Por lo tanto, la ecuación de estado de  f es controlable pero no observable

/52 Ejemplo 2 21 La observabilidad no se preserva. Por ejemplo: Seleccionando

/52 Ejemplo 2 22 De la prueba de observabilidad

/52 forma canonica controlable 23 La funcion de transferencia es forma canonica controlable

/52 Teorema l Teorema: Considere la ecuacion de estado de  con n = 4 y el polinomio caracteristico 24 Si  es controlable, entonces puede ser transformado a la forma canonica controlable por la transformacion

/52 Prueba del teorema 25 Sean C y las matrices de controlabilidad de  y. Si  es controlable o C es no singular, entonces tambien lo es. Por lo tanto tenemos o, de donde la matriz de la derecha de Q es

/52 Prueba del teorema 26 la ecuacion de estado es una realizacion de. Por lo tanto, la funcion de transferencia de  y son iguales a

/52 Asignacion de los autovalores Teorema: Si la ecuacion de estado SISO  es controlable, entonces por la realimentación de estado u = r  Kx, los autovalores de A  BK pueden ser asignados arbitrariamente, siempre que los autovalores complejos conjugados se asignen en pares 27 Prueba preliminar Asumamos inicialmente que  esta en la forma canonica controlable.

/52 Prueba preliminar del teorema 28 El sistema en lazo cerrado (sin la referencia) Sistema en lazo cerrado deseado (sin la referencia)

/52 Prueba preliminar del teorema 29 Comparando, la ganancia de realimentacion es La ganancia de realimentacion ubica los polos del sistema SISO controlable, en la forma controlable estandar, en las localizaciones deseadas

/52 Asignacion de los autovalores Teorema: Si la ecuacion de estado SISO  es controlable, entonces por la realimentación de estado u = r  Kx, los autovalores de A  BK pueden ser asignados arbitrariamente, siempre que los autovalores complejos conjugados se asignen en pares 30 Prueba Si  es controlable, puede ser transformado a la forma canonica controlable. Substituyendo en la realimentacion de estado conduce a Y ya que, entonces y tienen los mismos autovalores

/52 Prueba del teorema 31 Ahora, de cualquier conjunto de n autovalores deseados podemos formar el polinomio caracteristico deseado Si elegimos entonces la ecuacion de estado del sistema realimentado es

/52 Prueba del teorema 32 El polinomio caracteristico de ( ) y, consecuentemente, de ( ) es igual a. Por lo tanto, la ecuacion de estado del sistema realimentado tiene los autovalores deseados Finalmente, la ganancia de realimentacion en las coordenadas originales es, LQQD

/52 Invarianza de los ceros Considere la planta descrita por (A, B, C). Si (A, B) es controlable, (A, B, C) puede ser transformado a la forma controlable y su función de transferencia es Despues de la realimentacion de estado, la ecuacion de estado es (A  BK, B, C) permaneciendo en la forma canonica controlable. La funcion de transferencia de r a y es 33 La realimentacion de estados puede mover los polos de una planta pero no tiene ningun efecto sobre los ceros

/52 Como encontrar la ganancia de realimentación l Hallar el polinomio característico de A: l Calcular de los autovalores deseados. l Determinar l Hallar C y, y entonces calcular l Calcular la ganancia de realimentación de 34

/52 Ejemplo 2 35 Considere la planta descrita por Esta planta es controlable, el polinomio característico es y, por consiguiente, los autovalores son 4 y  2. Es inestable. Diseñe una ganancia de realimentación K tal que los autovalores del sistema realimentado se localizen en  1  j2.

/52 Ejemplo 2: solucion l l l l l l l l l l l l 36

/52 Ejemplo 3 37 Considere el péndulo invertido dado por Es controlable, por lo tanto, sus autovalores pueden ser asignados arbitrariamente. El polinomio característico correspondiente es

/52 Ejemplo 3 38 Sean los autovalores deseados  1.5  0.5j y  1  j. Entonces tenemos

/52 Ejemplo 3 39 Considere el péndulo invertido dado por Sean los autovalores deseados  1.5  0.5j y  1  j. Entonces tenemos MATLAB tiene la funcion K = place(A,B,P) que calcula K para ubicar los autovalores en los valores dados en el vector P.

/52 Estabilizacion l Toda ecuacion de estado no controlable puede llevarse a la forma »Como la matriz de estado es triangular a bloques, los autovalores de la matriz en las coordenadas originales son la union de los autovalores de y l La realimentacion de estados 40 lleva al sistema a lazo cerrado a

/52 Estabilizacion l Toda ecuacion de estado no controlable puede llevarse a la forma l La realimentacion de estados l lleva al sistema a lazo cerrado 41

/52 Estabilizacion l Ecuacion de estado del sistema realimentado l y sus autovalores no son afectados por la realimentacion de estado y por lo tanto no pueden modificarse La condicion de controlabilidad de (A, B) no es solo suficiente sino tambien necesaria para asignar todos los autovalores de (A  BK) a cualquier posicion deseada 42

/52 Estabilizabilidad l Definicion: Si es stable, y si es controlable, entonces se dice que es estabilizable. 43 La propiedad de estabilizabilidad es una condicion mas debil que la de controlabilidad para alcanzar estabilidad a lazo cerrado. Es equivalente a pedir que los autovalores no controlables sean estables.

/52 REGULACION Y SEGUIMIENTO 44

/52 Regulacion y seguimiento l El problema de la regulacion se da cuando la referencia es nula, es decir r = 0; »se pretende basicamente que el sistema sea asintoticamente estable y que la respuesta a condiciones iniciales producidas por perturbaciones tienda a cero. l El problema del seguimiento se da cuando se pretende que la salida tienda a la referencia r(t), variable en el tiempo. »Es comun que las derivadas de la señal de referencia sean continuas. El problema del servomecanismo es un caso particular del de seguimiento. 45

/52 El problema de la regulacion l Si el sistema es controlable, sabemos que podemos asignar los autovalores del lazo cerrado calculando K para obtener la matriz de estado A  BK l La respuesta del sistema realimentado entonces, con la matriz directa D = 0 l Asi, el problema de la regulacion (r(t) = 0) queda resuelto si K se calcula para que A  BK sea Hurwitz 46 La regulacion puede lograrse facilmente introduciendo realimentacion de estado

/52 El problema del seguimiento l Para el problema de seguimiento de referencia constante r(t) = a  0, ademas de que A  BK sea Hurwitz, requerimos una condicion en la ganancia de precompensacion N, para que, l La funcion de transferencia en lazo cerrado del sistema precompensado es 47 precompensacion

/52 El problema del seguimiento A fin de que y(t) siga asintoticamente cualquier paso en la referencia, necesitamos 48 Si tiene uno o mas ceros en s = 0, no es posible el. seguimiento

/52 El problema del seguimiento l La condicion de controlabilidad del par (A, B) puede relajarse a la de estabilizabilidad. »La restriccion estara en que entonces no habra control total de la velocidad de convergencia del error. »Si hubiera modos no controlables muy cercanos al eje jw, la respuesta podria ser demasiado lenta u oscilatoria para considerar la regulacion y seguimiento de referencia constante satisfactorios. 49

/52 En un ejemplo anterior calculamos la ganancia de realimentacion K = [4, 17/3] que asigna los autovalores en lazo cerrado del sistema en  1  j2. Supongamos que el sistema tiene la salida y(t) = [1, 0]x(t), que se pretende que siga asintoticamente referencias constantes. Ejemplo: Seguimiento de referencia constante 50 La funcion de transferencia del sistema en lazo cerrado es

/52 Bibliografia l A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces math332/notes.shtml math332/notes.shtml l Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley,

/52 FIN 52