3 puntos no colineales determinan un Plano EL PLANO 3 puntos no colineales determinan un Plano 𝒂 ∦ 𝒃 𝒂 𝒙 𝒃 ≠ 𝟎 (1,2,−1) 𝑃 2 𝒂 𝑃 0 (3,2,2) 𝑃 1 𝒃 (2,1,1) 𝒙,𝒚,𝒛 = 𝑷 𝟎 +𝜶 𝒂 +𝜷 𝒃 Ecuación Vectorial del Plano 𝑃 3 𝒙,𝒚,𝒛 = 𝟑,𝟐,𝟐 +𝜶 𝟏,𝟐,−𝟏 +𝜷(𝟐,𝟏,𝟏) 1 2 −1 2 1 1 =( 𝟑 𝒙= 𝟑+𝜶+𝟐𝜷 𝒚= 𝟐+𝟐𝜶+𝜷 Ecuación Paramétrica del Plano 𝒛= 𝟐−𝜶+𝜷 No existe Ecuación Simétrica del Plano

ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO NORMAL AL PLANO 1 2 −1 2 1 1 =(3, − 𝟑, −𝟑) NORMAL AL PLANO 𝒃 𝒂 𝒙 𝒃 ∎ 𝒂 { 𝒙,𝒚,𝒛 = 𝟑,𝟐,𝟐 +𝜶 𝟏,𝟐,−𝟏 +𝜷(𝟐,𝟏,𝟏) } (𝟑,−𝟑,−𝟑) 𝒙,𝒚,𝒛 (𝟑,−𝟑,−𝟑)= 𝟑,𝟐,𝟐 (𝟑,−𝟑,−𝟑)+𝜶 𝟏,𝟐,−𝟏 (𝟑,−𝟑,−𝟑)+𝜷(𝟐,𝟏,𝟏)(𝟑,−𝟑,−𝟑) 𝟑𝒙−𝟑𝒚−𝟑𝒛=−𝟑 𝒙,𝒚,𝒛 = 𝑷 𝟎 +𝜶 𝒂 +𝜷 𝒃 𝒙,𝒚,𝒛 − 𝑷 𝟎 =𝜶 𝒂 +𝜷 𝒃 𝒙−𝒚−𝒛=−𝟏 { 𝒙,𝒚,𝒛 − 𝑷 𝟎 }𝒏={𝜶 𝒂 +𝜷 𝒃 }𝒏 ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO { 𝒙,𝒚,𝒛 − 𝑷 𝟎 }𝒏=𝟎 ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO 𝟑𝒙−𝟑𝒚−𝟑𝒛+𝟑=𝟎 𝒙,𝒚,𝒛 − 𝟑,𝟐,𝟐 𝟑,−𝟑,𝟑 =𝟎

DISTANCIA DE UN PUNTO AL PLANO Halle la distancia del punto Q(3,2,3) al plano: (x,y,z) = (2,-1,1) + α(4,2,2) +β(1,-2,3) normal (3,2,3) = (2,-1,1) + α(4,2,2) +β(1,-2,3) (1,3,2) = 𝟒 𝟑 𝒅 (1,3,2) = α(4,2,2) +β(1,-2,3) 4 1 1 4 1 1 4 −4 6 4 6 4 4 1 1 4 1 1 0 −5 5 2 −2 3 −5 5 2 3 2 5 3 8 𝒏= 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 −𝟐 𝟑 El punto Q(3,2,3) no pertenece al plano =(𝟏𝟎, − 𝟏𝟎, −𝟏𝟎) 𝟏𝟎𝒙−𝟏𝟎𝒚−𝟏𝟎𝒛= 𝟐𝟎 Comp (10,−10,−10) (1,3,2) = (1,3,2)(10,−10,−10) 300 𝒙−𝒚−𝒛=𝟐 𝒏=(𝟏,−𝟏,−𝟏) (3) = −40 10 3 (2) (3) 𝒙−𝒚−𝒛−𝟐=𝟎 −𝟒 𝒅= 𝟒 𝟑

− − Paralelismo entre Planos ⇒ ⇒ 𝒏 𝟐 𝑷 𝟐 :𝟐𝒙−𝒚−𝟑𝒛=−𝟖 𝒏 𝟏 𝑷 𝟏 :𝟐𝒙−𝒚−𝟑𝒛= 𝟔 𝟏𝟒 = 𝟏𝟒 𝒏 𝟏 ∥ 𝒏 𝟐 𝑷 𝟏 ∥ 𝑷 𝟐 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂= ⇒ 𝟏𝟒 Distancia 𝑷 𝟏 : 𝒙,𝒚,𝒛 = 𝟏,𝟐,−𝟐 +𝜶 𝟏,𝟐,𝟎 +𝜷(𝟐,𝟏,𝟏) 𝑷 𝟐 :−𝟒𝒙+𝟐𝒚+𝟔𝒛−𝟏𝟔=𝟎 𝒏 𝟏 = 1 2 0 2 1 1 =(2, − 𝟏, −𝟑) 𝒏 𝟐 =(−𝟒,𝟐,𝟔) 2 −1 −3 −4 2 6 =(𝟎, 𝟎, 𝟎) ⇒ 𝑷 𝟏 ∥ 𝑷 𝟐 𝒏 𝟏 𝒙 𝒏 𝟐 =(𝟎,𝟎,𝟎) ¿El punto (1,2,-2) pertenece al Plano (2)? ¿La Distancia del punto (1,2,-2) al Plano (2)? (𝟏) (𝟐) (−𝟐) 𝑷 𝟐 :−𝟒𝒙+𝟐𝒚+𝟔𝒛−𝟏𝟔=𝟎 − −𝟒𝒙+𝟐𝒚+𝟔𝒛−𝟏𝟔 − = 𝟐𝟖 𝟓𝟔 −𝟒 +𝟒 −𝟏𝟐−𝟏𝟔=𝟎 (−𝟒) 𝟐 + (𝟐) 𝟐 + (𝟔) 𝟐 −𝟐𝟖≠𝟎 El punto no pertenece al Plano

Planos no Paralelos Intercepción de Planos Ángulo entre Planos 𝑷 𝟏 :𝒙−𝟐𝒚−𝒛=𝟔 𝒏 𝟏 𝑷 𝟐 :𝒙−𝒚−𝟐𝒛=𝟖 𝜷 𝑷 𝟑 :𝒙−𝟐𝒚−𝒛=𝟑 𝒏 𝟐 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎 𝟎 −𝒂𝒓𝒄𝑪𝒐𝒔 𝟓 𝟔 Ángulo Diedro ∎ Intercepción de Planos Ángulo entre Planos 𝑪𝒐𝒔𝜷= 𝒏 𝟏 . 𝒏 𝟐 𝒏 𝟏 𝒏 𝟐 = 𝟓 𝑷 𝟏 :𝒙−𝟐𝒚−𝒛=𝟔 𝒏 𝟏 =(𝟏,−𝟐,−𝟏) 𝟔 𝑷 𝟐 :𝒙−𝒚−𝟐𝒛=𝟖 𝒏 𝟐 =(𝟏,−𝟏,−𝟐) 𝜷=𝒂𝒓𝒄𝑪𝒐𝒔 𝟓 𝟔 𝒙−𝟐𝒚=𝟔+𝒛 𝒙−𝒚=𝟖+𝟐𝒛 ⇒ 𝒙−(𝟐+𝒛)=𝟖+𝟐𝒛 𝑥=10+3𝛼 𝑦=2+𝛼 𝑧=𝛼 −𝒚=−𝟐−𝒛 𝒙=𝟖+𝟐𝒛+𝟐+𝒛 Ecuación Paramétrica 𝒚=𝟐+𝒛 𝒙=𝟏𝟎+𝟑𝒛 𝒛=𝜶