CÁLCULO DE CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS Universidad Nacional de Colombia Física G09N30MANUEL Marzo 2012

Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. x=0 x=L x=b  q= λ  x d=b-L xx EE y x

Cálculo de Campo Eléctrico La longitud L debe tener una carga total q; la distancia entre el punto b y el extremo más cercano de la distribución de carga es d=b-L La distribución de carga λ situada a lo largo del eje x, es la razón de la carga total sobre la longitud total que a su vez debe ser igual a la razón de tomar pequeñas fracciones de estas: λ = q/L =  q/  x, por consiguiente la carga esta dada por:  q= λ  x El campo  E en el punto b está en la dirección positiva del eje x y su magnitud se expresa:  E = k  q/x 2 = k λ  x/x 2 Cada elemento produce un campo en la dirección x positiva que al sumarlos producen el campo total en el punto b debido a todos esos segmentos, aunque están a distancias diferentes, el cual se calcula mediante la ecuación de campo eléctrico de una distribución continua de carga:

Cálculo de Campo Eléctrico b E =  d (k λ dx/x 2 ) donde los límites se extienden desde el extremo más cercano al punto b, de la distribución de carga (x=b-L=d) hasta el más lejano (x=b). Como k y λ son constantes, se sacan de la integral, y se resuelve: b E = k λ  d dx/x 2 E = k λ ((-1/b)-(-1/d)) E = k λ ((1/d)-(1/b)) Esta expresión final es la que nos permite calcular directamente el campo eléctrico en un punto producido por una distribución lineal de carga, conociendo la distancia del punto con los extremos de dicha distribución.

Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. y=b x=-L/2 x=0 x=L/2 y   x dx L  E x =0 EyEy

Cálculo de Campo Eléctrico Se calcula el campo eléctrico en b debido a un elemento de longitud dx, el cual tiene una carga λ dx. Utilizando el mismo principio del punto anterior, solo que con dos componentes del campo eléctrico (en x y en y) y por ende un ángulo de incidencia, se debe hacer un cambio de variable de x a  utilizando el hecho de que x =y tan  y que dx =y sec 2  d  y se integra sobre .De este modo obtenemos que el campo eléctrico en y, esta dado por:  E y = k λ (sen  + sen  )/b  E y = 2k λ sen  /b La componente  Ex paralela al elemento dx, debe ser nula debido a que la componente perpendicular de cualquier elemento se cancela con la componente perpendicular de un elemento que este al lado opuesto de la distribución. Por ende la resultante del campo eléctrico en el punto b, solo tiene componente en y la cual ya está expresada en la ecuación última.

Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por un aro de radio a con una distribución lineal de carga λ. Halle una expresión para E(y) y=b  (0,0) y x h a qq E2E2 E1E1  E x =0 EyEy

Cálculo de Campo Eléctrico La distribución lineal tiene una carga total q, por lo tanto la magnitud del campo eléctrico en el punto b debido a un pequeño segmento de carga  q, se puede expresar como:  E = k  q/h 2 El cual posee una componente en y dada por  E y =  Ecos , a lo largo del eje del aro, y una componente  E x =0 perpendicular a dicho eje, nula debido a que el campo resultante en b debe estar a lo largo del eje y, ya que la componente perpendicular de cualquier elemento se cancela con lo componente perpendicular de un elemento que este al lado opuesto del aro. Ahora, hallamos h=  b 2 +a 2 y cos  =b/h y combinamos estas ecuaciones con las primeras que enunciamos

Cálculo de Campo Eléctrico  E y =  Ecos  = (k  q/h 2 )(b/h)  E y = (k b  q)/  (b 2 +a 2 ) 3 En el aro todos los segmentos tienen exactamente la misma contribución para el campo eléctrico en el punto b, debido a la igualdad en todas sus distancias con dicho punto; por lo tanto se pueden sumar fácilmente todos estos segmentos para obtener el campo eléctrico total en b, así: E y =  [(k b  q)/  (b 2 +a 2 ) 3 ] Con este resultado se puede observar que si b=0, entonces el campo eléctrico seria cero, como ya lo hemos estudiado.

Cálculo de Campo Magnético Calcule el campo magnético en el punto b producido por una corriente I que circula por el aro de radio a. Halle una expresión para B(y) y ds xa (0,0) θ θ y=b h h dB y dB dB x I

Cálculo de Campo Magnético El aro se encuentra en el plano xz, por lo que b es un punto axial (en eje y). Cualquier elemento ds es perpendicular a h y como todos estos elementos alrededor del aro están a la misma distancia de b se tiene: h 2 =b 2 +a 2 ; así la magnitud de dB debida al elemento ds se describe como: dB= (  0 I|ds X h|) =  0 I ds 4  h 2 4  (b 2 +a 2 ) La dirección de dicho campo magnético es perpendicular al plano formado por h y ds; el vector dB puede ser descrito por sus componentes dB y a lo largo del eje y; y su componente dB x paralelo al plano xz, la cual se cancela, al sumarse sobre todo el aro dando resultar cero por simetría dado que la componente de un lado del aro tiene una componente perpendicular que se cancela con la componente de un elemento diametralmente opuesto.

Cálculo de Campo Magnético El campo magnético resultante en el punto b debe estar a lo largo del eje y, determinado al integrar la componente dB y = dBcosθ, obtenido al descomponer el vector dB en sus componentes, es decir, B = jB y, donde B y está dado por: B y =  dB cosθ = (  0 I/4  ) [  (ds cosθ/b 2 +a 2 ) ] Donde la integral debe ser calculada sobre todo el aro, y como θ, b y a son constantes para todo elemento del aro, y además cosθ=a/  b 2 +a 2, se tiene: B y =  0 I a  ds =  0 I a 2 4  (b 2 +a 2 ) 3 2  (b 2 +a 2 ) 3 Donde se asumió que  ds= 2  a, lo cual describe la circunferencia del aro. De este modo se obtiene el campo magnético en el punto deseado, ya que se conocen todos los términos de la expresión final.

Cálculo de Campo Magnético Usando la Ley de Biot & Savart calcule, en el punto b el campo magnético de una corriente I que fluye por un alambre de longitud infinita Y=b I y x h a ds  O h 11 22 |ds|=dx

Cálculo de Campo Magnético El elemento ds está a una distancia h del punto b, se nota que la dirección del campo magnético en b dada la corriente es hacia afuera. Para calcular el campo magnético en b se considera O como el origen, |ds|=dx, y r como el vector unitario dirigido hacia afuera, relacionando estas expresiones: ds X h = r|ds X h|= r(dx senθ) Aplicando esto a la Ley de Biot & Savart y con dB = r dB, se tiene: dB =  0 Idx senθ / 4  h 2 Se deben relacionar todas las variables para lograr integrar la expresión h = b/sen θ = b cscθ,tanθ = -b/x x = -b cotθ, dx = b csc 2 θ dθ

Cálculo de Campo Magnético Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de la Ley de biot & Savart: dB =  0 I b csc 2 θ senθ dθ / 4  b 2 csc 2 θ dB =  0 I senθ dθ / 4  b Ahora, con la expresión en términos solo de θ se puede obtener el campo magnético total en el punto b integrando sobre toda la región del alambre, esto es, todos los elementos que subtienden ángulos comprendidos entre θ 1 y θ 2, de esta manera: θ 1 B = (  0 I/4  b)  θ 2 senθ dθ B = (  0 I/4  b)(cosθ 1 - cosθ 2 )

Cálculo de Campo Magnético Este resultado es aplicable a cualquier alambre recto al cual se le quiera determinar el campo magnético en algún punto. En este caso puntual en el que se supone el alambre con longitud infinita se puede considerar el ángulo θ 1 = 0, y el ángulo θ 2 = , de este modo: (cosθ 1 - cosθ 2 ) = (cos0 - cos  ) = 2 y la ecuación del campo magnético queda entonces como sigue: B =  0 I/2  b Inherente al campo magnético son las líneas de campo magnético, las cuales son círculos concéntricos al alambre y están en un plano perpendicular a este. La magnitud del campo magnético B es constante en cualquier circulo de radio b, proporcional a la corriente y decrece con la distancia al alambre.

REFERENCIAS FÍSICA TOMO II. Tercera edición revisada (segunda edición en español). Raymond A. Serway. McGRAW-HILL