Resolución de Sistemas Lineales Métodos directos
Generalidades
Sistemas fáciles de resolver Matrices diagonales Matrices triangulares inferiores Matrices triangulares superiores
Métodos Directos: Eliminación de Gauss Triangularización operaciones elementales Sustitución hacia atrás
Fase de Reducción
Reducción para EG
Eliminación de Gauss
Resolver todo por reducción
Pivoteo Permutar filas (equivale a premultiplicar A por una matriz P) fila pivote p Dividir por números pequeños también puede amplificar los errores numéricos Guardar un vector de permutación
Ejemplo: necesidad de pivoteo en EG
Conclusión Se hubiera obtenido lo mismo partiendo de:
Normalización (escalado)
Método de Gauss-Jordan
Alternativas: EG – desc LU
Factorización LU
Ejemplo
Algoritmo de factorización LU
Método de Factorización QR A=QR Q: ortogonal R: triangular superior Q-1 = QT A x = b QR x = b Q y = b => y = QT b R x = y ¿Cómo efectuar la descomposición QR?
Características de Q Las columnas de Q forman un conjunto ortogonal de vectores Un conjunto de vectores es ortogonal si y sólo si cada par u,v tal que uv verifica que (u,v) = 0
CM: Encontrar la solución de:
Calculo de inversas
Sistemas lineales especiales
Factorización de Choleski
Factorización de Choleski Esto es posible siempre que A sea: Simétrica Definida positiva Es decir:
Teorema: factorización de Choleski
Cálculo de los elementos de M
Evaluación de determinantes Teorema: sobre cómo afectan al determinante las operaciones elementales entre filas
Teorema
Ejemplo
Observar:
Lectura obligatoria Gerald págs 104-144