Sistemas Mecánicos en el Plano En esa presentación hablaremos de sistemas mecánicos en el plano que pueden o trasladar o girar en un espacio bidimensional. Enseñaremos la semejanza entre la descripción matemática de este tipo de sistemas y la de los circuitos eléctricos mencionados en la presentación anterior. En particular se demostrará que los algoritmos de la manipulación simbólica de formulas (los algoritmos de la ordenación) que introdujimos en la presentación anterior pueden aplicarse a ese nuevo tipo de sistemas igualmente sin ninguna modificación. Febrero 4, 2008

Contenido Elementos lineales de traslado Elementos lineales de giro El principio de d’Alembert Ejemplo de un sistema de traslado La ordenación horizontal Febrero 4, 2008

Elementos Lineales de Traslado f 1 2 3 m·a = S (fi ) i Masa Rozamiento Muelle dv dt = a dx dt = v B f v 1 2 f = B·(v1 – v2 ) B f x 1 2 k f = k·(x1 – x2 ) Febrero 4, 2008

Elementos Lineales de Giro J·a = S (ti ) i d dt = a d =  Inercia Rozamiento Muelle J  1 2  B  = B·(1 – 2 )  k  = k·( 1 – 2 ) Febrero 4, 2008

Articulaciones sin Grados de Libertad xa = x b = x c fa + f b + f c = 0 va = v b = v c aa = a b = a c x a b f c Nodo (Traslado) Nodo (Giro)  a b  c a =  b =  c a +  b +  c = 0 a =  b =  c aa = a b = a c Febrero 4, 2008

Articulaciones con un Grado de Libertad x1  x2 y1 = y2 1 =  2 Prismático Cilíndrico Tijeras x 1 2  1 2 x1 = x2 y1 = y2 1   2  1 2 Febrero 4, 2008

El Principio de d’Alembert Introduciendo una fuerza inercial: fm = - m·a la segunda ley de Newton: m·a = S (fi ) i puede convertirse a una ley de la forma: S (fi ) = 0 i Febrero 4, 2008

Convenciones de Signo d(m·v) fm = + dt fk = + k·(x – xNeighbor ) fB = + B·(v – vNeighbor ) x d(m·v) dt fm = - fk = - k·(x – xNeighbor ) fB = - B·(v – vNeighbor ) f m m f k f B Febrero 4, 2008

1. Ejemplo (Traslado) Vista Esquemática Vista Topológica Febrero 4, 2008

1. Ejemplo (Traslado) II El sistema se corta entre las masas individuales y se introducen fuerzas de corte. Ahora el principio de d’Alembert puede aplicarse a cada cuerpo por separado. Febrero 4, 2008

1. Ejemplo (continuado) F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 Febrero 4, 2008

Ordenación Horizontal I F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2  Febrero 4, 2008

Ordenación Horizontal II F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2  Febrero 4, 2008

Ordenación Horizontal III F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2  Febrero 4, 2008

Ordenación Horizontal IV FI3 = F(t) - FBa - FBb FI2 = FBa - FBc - FB2 - Fk2 FI1 = FBb + FB2 - FBd - Fk1 = FI1 / m1 dv1 dt dx1 = v1 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 = FI2 / m2 dv2 dx2 = v2 = FI3 / m3 dv3 dx3 = v3 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2  Febrero 4, 2008

Algoritmo de Ordenación El algoritmo de la ordenación funciona exactamente como antes en el caso de los circuitos eléctricos. No depende de la aplicación. Febrero 4, 2008

Referencias Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 4. Febrero 4, 2008