Funciones Aunque ahora lo vayamos a tratar monográficamente, ya hemos trabajado aspectos relacionados con este tema anteriormente. Por ejemplo al hablar de las relaciones entre magnitudes o al solucionar sistemas de ecuaciones. Esto nos puede facilitar las cosas.

Definición Una función es una relación entre dos variables (dos tipos de datos) en la que a la primera variable le corresponde un elemento y solamente uno de la otra variable.

Ejemplos Temperatura que hace en el centro de Madrid ahora mismo . Cada persona y el número de teléfonos móviles que tiene. Precio y peso de un kilo de naranjas en un supermercado. Cada país y la superficie que ocupa. Número de personas que hacen un trabajo y tiempo que tardan en hacerlo.

Ejemplos dudosos Cada persona y el color de sus ojos. Precio y peso de un kilo de naranjas en varios supermercados de Madrid. Cada persona de la clase y el deporte que practica.

Ejemplos de no funciones A cada número de una cifra se le asocian sus divisores. A cada número entero positivo se le asocia su raíz cuadrada. A cada número entero negativo se le asocia su raíz cuadrada.

Terminología En este tipo de relación al que en Matemáticas se le llama función, a la primera variable se le llama variable independiente y se le designa con la letra x. A la segunda variable se le llama variable dependiente y se le designa con la letra y. Cuando hay varios valores de x y de y, al grupo de valores de la variable independiente se le llama conjunto origen, y al grupo de valores de la variable dependiente se le llama conjunto imagen.

Formas de expresar una función Cada país y la superficie que ocupa.

Formas de expresar una función 2 Por un criterio (se dice mediante una frase que describe la relación entre las variables). Mediante una tabla de valores. Mediante una gráfica. Mediante una ecuación.

Un caso que se puede expresar de las cuatro formas: Cada número y su doble. Número 3 4 7 11 14 20 48 Su doble 6 8 22 28 40 96

¿Son funciones?

Habitantes de España Año 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Habi- tantes 19 (mill) 20 (mill) 21 (mill) 24 (mill) 26 (mill) 28 (mill) 31 (mill) 34 (mill) 38 (mill) 40 (mill) 44 (mill) Observa el crecimiento de la población en cada década: ¿en qué período se refleja un mayor aumento de la población? ¿en cuál menos? ¿Podríamos representar gráficamente esta información? ¿Y mediante una ecuación o un criterio?

Temperaturas medias Halla la temperatura máxima y mínima y en qué mes se produjo. ¿Podríamos expresar de otras formas esta relación? ¿Es una función?

El cometa Halley El cometa Halley se observó desde la Tierra en 1986. La persona que lo descubrió y le dio nombre calculó que se acerca al sistema solar cada 76 años. La ecuación y = 1986 + 76x refleja esta información. ¿Podríamos calcular la fecha anterior y posterior en que se le vio? ¿Es una función? ¿Podríamos expresarla de otras formas?

Tipos de funciones

Tipos de funciones Lineal * (o de proporcionalidad directa) Afín * Constante * Inversa * Cuadrática Polinómica …

Expresión algebraica La expresión algebraica de una función (si la tiene) se llama ecuación de la función y se puede escribir de dos formas: Usando x e y para las dos variables: y = 2x, y = -3x, y = -2x + 7, y = 6 – 4x o también usando f(x), g(x), h(x), i(x), etc., en lugar de la y Es decir: f(x) = 2x, g(x) = -3x, h(x) = -2x + 7, i(x) = 6 – 4x

Función creciente, función decreciente Una función es creciente si a medida que aumenta el valor de x aumenta el valor de y. Es decreciente si a medida que aumenta el valor de x disminuye el valor de y. Una función puede tener tramos crecientes y tramos decrecientes.

Máximos y mínimos En los puntos donde la gráfica pasa de ser creciente a ser decreciente, se dice que la función alcanza un máximo. En los puntos en los que la gráfica pasa de ser decreciente a ser creciente, se dice que la función alcanza un mínimo. Hay máximos absolutos (el más alto de entre todos los que tenga) y relativos (los demás). También hay mínimos absolutos (el más bajo de entre todos los que tenga) y relativos (los demás).

Puntos de corte con los ejes Para organizarnos… Vamos a hacer una tabla donde iremos registrando las características de cada una: Nombre Ecuación General Gráfica Puntos de corte con los ejes Caracte- rísticas Observa- ciones

Función lineal o de proporcionalidad directa 1/4 a. Representa en un mismo eje de coordenadas con distintos colores las siguientes funciones: y = x y = 2x y = 3x Obsérvalas y compáralas teniendo en cuenta el valor del coeficiente de la x (que llamaremos m) Después, en cada ecuación, pasa x al primer miembro:

Función lineal o de proporcionalidad directa 2/4 b. Representa en un mismo eje de coordenadas con distintos colores las siguientes funciones: y = -x y = -2x y = -3x Obsérvalas y compáralas teniendo en cuenta el valor del coeficiente de la x (que llamaremos m) Después, en cada ecuación, pasa x al primer miembro y entenderás por qué se les llama también de proporcionalidad directa: m es la constante de …..

Función lineal o de proporcionalidad directa 3/4 Vamos a anotar lo que hemos observado en los ejercicios anteriores en la tabla … A la derecha tienes cuatro gráficas que corresponden a las ecuaciones siguientes: f(x) = 5x g(x) = -2x h(x) = -4x i(x) = x Relaciona unas con otras intentando no tener que hacer ningún cálculo, sólo observando sus características: