MÉTODOS DE DEDUCCIÓN (Partes I & II) Rodrigo Jurado, MA

EL MÉTODO DE LA PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ Es un método más eficaz para determinar la validez de un argumento extenso porque permite deducir sus conclusiones a partir de sus premisas mediante una secuencia de argumentos elementales, cada uno de los cuales se sabe es válido.

PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ Considera el siguiente argumento: Si Alina fue nominada, entonces fue a Baja California. Si fue a Baja California, entonces hizo campaña en ese lugar. Si hizo campaña en ese lugar, ella conoció a David. Alina no conoció a David. O Alina fue nominada o alguien más apropiado fue electo. Por tanto, fue electo alguien más apropiado. Ahora simbolízalo: A ⊃ B B ⊃ C C ⊃ D ~D A v E ∴ E Prueba formal de validez 1. A ⊃ B 2. B ⊃ C 3. C ⊃ D 4. ~D 5. A v E ∴ E 6. A ⊃ C 1, 2: SH 7. A ⊃ D 6, 3: SH 8. ~A 7, 4: MT 9. E 5, 8: SD

PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ Definición Secuencia de enunciados; cada cual es una premisa de cierto argumento o se deduce utilizando las reglas de inferencia, a partir de los enunciados anteriores en esa secuencia, de tal forma que el último enunciado en la última secuencia es la conclusión del argumento cuya validez se está demostrando. Las reglas de inferencia, por su parte, son reglas que permiten inferencias válidas a partir de enunciados asumidos como premisas.

1. MODUS PONENS (MP) Ejemplo Si está soleado, entonces es de día. Está soleado. Por tanto, es de día. Se simboliza así: p ⊃ q p ∴ q

2. MODUS TOLLENS (MT) Ejemplo Si el perro guardián detecta un intruso, ladra. El perro guardián no ladra. Por tanto, ningún intruso fue detectado por el perro guardián. Se simboliza así: p ⊃ q ~q ∴ ~p

3. SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH) Ejemplo Si llueve, entonces me mojo. Si me mojo, entonces me enfermo. Por tanto, si llueve, entonces me enfermo. Se simboliza así: p ⊃ q q ⊃ r ∴ p ⊃ r

4. SILOGISMO DISYUNTIVO (SD) Ejemplo O es de día o es de noche. No es de día. Por lo tanto, es de noche. Se simboliza así: p ˅ q ~ p ∴ q

5. DILEMA CONSTRUCTIVO (DC) Se simboliza así: Explicación: Sabemos, por el MP, que si conocemos p ⊃ q y p, podemos inferir q; y que si conocemos r ⊃ s y r, podemos inferir s. Por tanto, si conocemos ambas: p ⊃ q y r ⊃ s, y ya sea p o r, podemos inferir ya sea q o s. Nota: El dilema constructivo es una combinación de dos argumentos en la forma de modus ponens. Ejemplo: Si este libro dice lo mismo que la Biblia, entonces hay que quemarlo. Y si este libro dice algo diferente que la Biblia, hay que venderlo. O bien dice lo mismo o dice algo diferente. Por tanto, hay que quemarlo o hay que venderlo. (p ⊃ q) • (r ⊃ s) p ˅ r ∴ q ˅ s

6. ABSORCIÓN (Abs.) Se simboliza así: Explicación: Cualquier proposición p siempre se implica a si misma. Por tanto, si sabemos que p ⊃ q, podemos inferir que p implica a ambas, a sí misma y a q. Ejemplo: Si le grito, entonces se asusta. Por tanto, si le grito, entonces le habré gritado y se habrá asustado. p ⊃ q ∴ p ⊃ (p • q)

7. SIMPLIFICACIÓN (Simp.) Se simboliza así: Explicación: Si dos proposiciones p y q son verdaderas cuando están en conjunción (p • q), podemos inferir que una de ellas es verdadera, o p o q. Ejemplo: Ecuador y Perú son países dependientes. Por tanto, Ecuador es un país dependiente. p • q ∴ p

8. CONJUNCIÓN (Conj.) Se simboliza así: Explicación: Establece que si sabemos que dos proposiciones, p y q, son verdaderas, las podemos unir en una conjunción: p • q. Es decir, si son verdaderas por separado, también deben ser verdaderas cuando las ponemos en conjunción. El orden no representa un problema. Ejemplo: Los estudiantes de RL son mayores de edad. El profesor es bueno. Por tanto, los estudiantes de RL son mayores de edad y el profesor es bueno. p q ∴ p • q

9. ADICIÓN (Ad.) Se simboliza así: Explicación: Sabemos que cualquier disyunción debe ser verdadera si cualquiera de sus disyuntos es verdadero. Esto es, p v q es verdadero si p es verdadera o si q es verdadera o si las dos son verdaderas. Se sigue de esto que si sabemos que una proposición p es verdadera, también sabemos que ella es verdadera o cualquier otra, la proposición que sea, es verdadera. Nota: La verdad o falsedad de la proposición que adicionemos no afecta la verdad de la disyunción que construyamos. Ejemplo: Pichincha está al norte de Tungurahua. Por tanto, Pichincha está al norte de Tungurahua o la Luna es de queso verde. p ∴ p v q

Prueba formal de validez EJERCICIO Considera el siguiente argumento: Si Alina fue nominada, entonces fue a Baja California. Si fue a Baja California, entonces hizo campaña en ese lugar. Si hizo campaña en ese lugar, ella conoció a David. Alina no conoció a David. O Alina fue nominada o alguien más apropiado fue electo. Por tanto, fue electo alguien más apropiado. Ahora simbolízalo: A ⊃ B B ⊃ C C ⊃ D ~D A v E ∴ E Prueba formal de validez 1. A ⊃ B 2. B ⊃ C 3. C ⊃ D 4. ~D 5. A v E ∴ E 6. A ⊃ C 1, 2: SH 7. A ⊃ D 6, 3: SH 8. ~A 7, 4: MT 9. E 5, 8: SD

10. TEOREMA DE DE MORGAN (De M.) Se simboliza así: Explicación: Cuando negamos que dos proposiciones son ambas verdaderas, eso es lógicamente equivalente a afirmar que una de ellas es falsa o la otra es falsa o ambas son falsas. Cuando negamos que cualquiera de dos proposiciones es verdadera, eso es lógicamente equivalente a afirmar que ambas son falsas. 1. ~(p • q) ≡ (~p ˅ ~q) 2. ~(p ˅ q) ≡ (~p • ~q)

11. CONMUTACIÓN (Conm.) Se simboliza así: Nota: Con la simplificación no podemos sacar q. Ahora, con la conmutación sí lo podemos hacer. 1. (p ˅ q) ≡ (q ˅ p) 2. (p • q) ≡ (q • p)

12. ASOCIACIÓN (Asoc.) Se simboliza así: Explicación: La asociación nos permite agrupar anunciados de manera diferente, tanto para la disyunción como para la conjunción. 1. [p v (q v r)] ≡ [(p v q) v r] 2. [p • (q • r)] ≡ [(p • q) • r]

13. DISTRIBUCIÓN (Dist.) Se simboliza así: Explicación: Se llama distribución porque distribuye el primer elemento de los tres, exhibiendo sus conexiones lógicas con cada uno de los otros dos enunciados por separado. 1. [p • (q v r)] ≡ [(p • q) v (p • r)] 2. [p v (q • r)] ≡ [(p v q) • (p v r)]

14. DOBLE NEGACIÓN (DN) Se simboliza así: Explicación: Cualquier enunciado es equivalente a la negación de la negación de ese enunciado. p ≡ ~~p

15. TRANSPOSICIÓN (Trans.) Se simboliza así: Explicación: Sabemos que si cualquier enunciado condicional es verdadero, entonces, si su consecuente es falso, el antecedente debe ser falso también. (Idea: la negación del consecuente implica la negación de su antecedente). (p ↄ q) ≡ (~q ↄ ~p)

16. IMPLICACIÓN MATERIAL (Impl.) Se simboliza así: Explicación: Ver la sección 8.9. Si los dos enunciados están en la forma de implicación o si ambos están en la forma disyuntiva, con la implicación material podemos transformar uno de ellos en la forma del otro. (p ↄ q) ≡ (~p v q)

17. EQUIVALENCIA MATERIAL (Equiv.) Se simboliza así: Explicación: Ver la sección 8.8. Dos enunciados son materialmente equivalentes si los dos tienen el mismo valor de verdad; por tanto, la afirmación de su equivalencia material es lógicamente equivalente a afirmar que ambos son verdaderos o que ambos son falsos. Si dos enunciados son ambos verdaderos, se deben implicar mutuamente, y también si son ambos falsos. Por tanto, el enunciado de que son materialmente equivalentes es lógicamente equivalente al enunciado de que se implican uno al otro. 1. (p ≡ q) ≡ [(p • q) v (~p • ~q)] 2. (p ≡ q) ≡ [(p ↄ q) • (q ↄ p)]

18. EXPORTACIÓN (Exp.) Se simboliza así: Explicación: Si sabemos que dos proposiciones en conjunción implican una tercera, eso es lógicamente equivalente a afirmar que si sabemos que una de esas proposiciones es verdadera, entonces, la verdad de la otra debe implicar la verdad de la tercera. [(p • q) ↄ r] ≡ [p ↄ (q ↄ r)]

19. TAUTOLOGÍA (Taut.) Se simboliza así: Explicación: Los dos variantes dicen que cualquier enunciado es lógicamente equivalente a la disyunción de sí mismo consigo mismo y, que cualquier enunciado es equivalente lógicamente a la conjunción de sí mismo consigo mismo. 1. p ≡ (p v p) 2. p ≡ (p • p)