Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Cálculo II El Péndulo

Contenido Movimiento Armónico Simple (MAS) ¿Qué es un péndulo? Características principales Cinemática del péndulo Tipos de péndulo Galileo Galilei Péndulo de Foulcat Aplicaciones Conclusiones

Movimiento Armónico Simple (MAS) En la naturaleza existen movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo, llamados movimientos periódicos. En Física se ha idealizado un tipo de movimiento oscilatorio, en el que se considera que sobre el sistema no existe la acción de las fuerzas de rozamiento, es decir, no existe disipación de energía y el movimiento se mantiene invariable.

OSCILACIONES Movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio. Las oscilaciones se expresan como funciones del tiempo y una de sus características fundamentales es su periodicidad, es decir, si φ es la magnitud que oscila, entonces,

Periodo de Oscilación

OSCILACIONES EN LA VIDA DIARIA El latido del corazón La periodicidad de las estaciones El péndulo de un reloj Las vibraciones de los átomos Las olas en el agua Vibraciones de una cuerda Péndulos

¿Qué es el péndulo? Es uno de los sistemas oscilantes más sencillos. Es un dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad.

Características principales Toda la masa del dispositivo está concentrada en un punto del objeto oscilante, y dicho punto sólo se mueve en un plano. El periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud

Características principales El movimiento del péndulo depende de la gravedad, su periodo varía con la localización geográfica. El período de oscilación es proporcional a la longitud del péndulo.

Cinemática del péndulo El razonamiento que se aplica para determinar las fuerzas que actúan en el sistema son: Sobre la masa actúa la fuerza de la gravedad, dirigida hacia abajo. La fuerza de la gravedad, además, es igual según la segunda ley de Newton a G = mg donde m es la masa y g es la aceleración de la gravedad terrestre (9.78 m/s2) (para el caso de CU)

Cinemática del péndulo Obviamente la masa en el siguiente instante no se va a desplazar hacia abajo sino lateralmente. Podemos analizar esto si descomponemos la fuerza de la gravedad como suma de los siguientes dos vectores:

Cinemática del péndulo Tenemos una fuerza perpendicular a la varilla y una fuerza paralela a la varilla que intenta alejar a la bola justo en dirección opuesta a la varilla. Esta fuerza se transmite íntegramente sobre la varilla. A esta fuerza habitualmente se la denota con T y se la denomina "tensión“. Con esta fuerza, nuestro sistema queda como sigue:

Cinemática del péndulo Como única fuerza descompensada queda por lo tanto , que es la que hace que el péndulo intente volver hacia el eje vertical.  Puesto que la varilla fuerza a la masa a moverse a lo largo de una circunferencia con un radio igual a la longitud de la varilla, es realmente una fuerza que actúa tangencialmente:

Cinemática del péndulo A partir de este punto es necesario recurrir al cálculo por medio de derivadas para deducir las ecuaciones del movimiento. Si calculamos la magnitud de esta aceleración podremos ver que se cumple: Donde es la segunda derivada del ángulo respecto al tiempo, o lo que es lo mismo, la aceleración angular.

Cinemática del péndulo Esto es una Ecuación Diferencial cuya solución analítica se puede obtener por medio de un artificio matemático que se conoce como aproximación de pequeños ángulos. Bajo esta aproximación, podemos decir que:  con lo cual nuestra ecuación se queda en Básicamente buscamos una función α(t) que cumpla esa relación. Una función de este tipo es la siguiente:

Cinemática del péndulo Se puede comprobar que efectivamente: que es precisamente la ecuación que teníamos.

Cinemática del péndulo Para ver lo que significa la magnitud , recordemos que el período de la función seno es 2π. Entonces si llamamos a T al instante en que se cumple ese período tenemos: o lo que es lo mismo,

Cinemática del péndulo Se puede así llegar a las mismas conclusiones que Galileo, concretamente El período del péndulo es independiente de la masa que oscila (ya que sólo depende de g y de r)  El período del péndulo es independiente de la amplitud (id.) El cuadrado del período es proporcional a la longitud del péndulo. En efecto, El término de la derecha es precisamente la definición de frecuencia angular ω, con lo que 

Tipos de péndulo GALILEO GALILEI Las propiedades fundamentales de las oscilaciones del péndulo fueron descubiertas empíricamente por Galileo Galilei. En 1581 Galileo con frecuencia atendía las liturgias en la Catedral de Pisa. En cierta ocasión observó cómo las corrientes de aire de la catedral hacían oscilar los enormes candelabros colgados que había. La amplitud de las oscilaciones era distinta y sin embargo a Galileo le pareció que el período era el mismo. Inmediatamente se puso a medirlo utilizando su ritmo cardíaco como reloj y al ver que estaba en lo cierto, decidió realizar un experimento riguroso al volver a su casa, llegando a las siguientes conclusiones:

Tipos de péndulo Los péndulos casi alcanzan la altura inicial desde la que fueron dejados caer Todos los péndulos eventualmente se detienen El período del péndulo es independiente de la masa que oscila El período del péndulo es independiente de la amplitud El cuadrado del período es proporcional a la longitud del péndulo.

Tipos de péndulo PÉNDULO DE FOULCAT Esta experiencia fue ideada por el físico francés León Foucault y realizada en 1851 en el Panteón de París. Era necesario disponer de un péndulo muy alto con una esfera pesada para que no se parase y en el interior de un edificio para que no hubiese corrientes de aire. En una placa metálica colocada en la parte superior de la cúpula Foucault colgó un cable de 64 metros del que pendía una gran esfera de latón.

Tipos de péndulo Se soltó el péndulo, que con gran lentitud iba oscilando al tiempo que un estilete vertical adosado a la esfera dibujaba la trayectoria en la arena esparcida por el suelo del edificio. Poco a poco se dieron cuenta de que el péndulo giraba. En París llegaría a dar una vuelta completa en 31 horas y 47 minutos.

Tipos de péndulo APLICACIONES Christian Huygens. Físico y astrónomo holandés cuyos grandes aportes los realizó en el campo de la dinámica y la óptica. Inventó el reloj de péndulo y realizó la primera exposición de la teoría ondulatoria de la luz.

Tipos de péndulo Los péndulos bifilares, que emplean dos cuerdas o cables, se han usado para registrar irregularidades en la rotación de la Tierra o detectar terremotos. El péndulo de Foucault se emplea para poner de manifiesto la rotación de la Tierra.

Tipos de péndulo Un péndulo de torsión está formado por una masa colgada de un cable o una fibra similar, pero a diferencia de un péndulo normal su oscilación consiste en que el peso gire alternativamente en un sentido y en otro alrededor del eje que pasa por el centro del cable, torciendo y destorciendo éste.

Conclusiones El período del péndulo es independiente de la masa que oscila (ya que sólo depende de g y de r)  El período del péndulo es independiente de la amplitud El cuadrado del período es proporcional a la longitud del péndulo.