Introducción a las sucesiones

Introducción a las Sucesiones Justificación Las sucesiones son una familia importantes de funciones en las matemáticas y sus aplicaciones aparecen en todas las ramas de las ciencias y del comercio. Las sucesiones dan origen también al concepto de las sumatorias y las series infinitas. La característica principal de las sucesiones estriba en el principio del orden, el cual define muchas de las propiedades y de las características de las sucesiones. Queremos ver en este módulo los conceptos básicos de las sucesiones y algunas de sus aplicaciones .

Introducción a las Sucesiones Objetivos Definir el concepto de sucesión. Evaluar y escribir sucesiones. Definir los conceptos de sumas parciales y series de una sucesión.

Introducción a las Sucesiones Pre prueba 1. Determina si el conjunto de puntos representa una sucesión. 2. Encuentra la suma parcial de los primeros 6 término de la sucesión 3,6,9,12, … . 3. Escribe la serie infinita de los términos de la sucesión 3,6,9,12, …, usando la notación sigma.

Introducción a las Sucesiones Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales A los valores de una sucesión se les llama términos. Las sucesiones se suelen escribir enumerando sus términos o definiendo la forma general de enésimo término. EJEMPLO 2,4,6,8,10, …

Introducción a las Sucesiones USO Y ESCRITURA SUCESIONES DOMIINIO: n 1 2 3 4 5 … EL DOMINIO DETERMINA LA POSICIÓN RELATIVA DE CADA TÉRMINO. El alcance determina los términos de la sucesión. an Alcance: 3 6 9 12 15 … Esta es una sucesión cuya regla o ecuación es an = 3n, donde an representa el enésimo término de la sucesión. La forma enumerada de la sucesión se obtiene escribiendo los términos de la sucesión 3 6 9 12 15 …

Introducción a las Sucesiones ESCRIBE LOS TÉRMINOS DE LA SUCESIONES Escribe los primeros seis términos de la sucesión an = 2n + 3. EJEMPLO Solución a 1 = 2(1) + 3 = 5 Primer término a 2 = 2(2) + 3 = 7 Segundo término a 3 = 2(3) + 3 = 9 Tercer término a 4 = 2(4) + 3 = 11 Cuarto término a 5 = 2(5) + 3 = 13 Quinto término a 6 = 2(6) + 3 = 15 Sexto término

Introducción a las Sucesiones ESCRIBE LOS TÉRMINOS DE LA SUCESIONES EJEMPLO Escribe los primeros seis términos de la sucesión, f (n) = (–2) n – 1 . Solución f (1) = (–2) 1 – 1 = 1 1er término f (2) = (–2) 2 – 1 = –2 2ndo término f (3) = (–2) 3 – 1 = 4 3ro término f (4) = (–2) 4 – 1 = – 8 4to término f (5) = (–2) 5 – 1 = 16 5to término f (6) = (–2) 6 – 1 = – 32 6to término

Introducción a las Sucesiones Si los términos de una sucesión tienen un patrón determinado entonces podemos escribir el enésimo término de la sucesión y su ecuación. EJEMPLO Describe el patrón de la sucesión, escribe la ecuación del enésimo término de la sucesión __ – , , – , , …. 1 3 9 27 81 _ Solución n 1 2 3 4 5 1 243 - términos 1 3  , 9 27 81 términos 1 3 - 4 , 2 1 3 - 5 1 3 - La ecuación del enésimo término es an = n

Introducción a las Sucesiones EJEMPLO Describe el patrón de la sucesión, escribe la ecuación del enésimo término de la sucesión. 2, 6, 12 , 20,…. Solución n 1 2 3 4 5 30 términos 2 6 12 20 Rescribe términos 1(1 +1) 2(2 +1) 3(3 +1) 4(4 +1) 5(5 +1) La ecuación del enésimo término es f (n) = n (n+1).

Introducción a las Sucesiones Gráfica de una sucesión EJEMPLO Se puede graficar una sucesión representando los números natrales en el eje horizontal (el dominio) y los términos en el eje vertical (el alcance). an = n2 Traza los puntos (1, 1), (2, 4), (3, 9), . . . , (10, 100).

Introducción a las Sucesiones Gráfica de una sucesión EJEMPLO Usted trabaja en un supermercado y le piden que ponga las chinas en forma de una piramide cuadrada con diez capas. 1. Escribe la regla que determina el número de chinas en cada capa. 2. Haga un dibujo que represente la sucesión.

Introducción a las Sucesiones Solución El diagrama de abajo muestra las primeras tres capas de la pirámide.Sea an el número de chinas en la capa n. n 1 2 3 an 1 = 1 2 4 = 2 2 9 = 3 2 Podemos observar que an = n 2

Introducción a las Sucesiones SUMATORIAS y SERIES La suma de todos los términos de una sucesión se conoce como la sumatoria o la serie de los términos de la sucesión. Una sumatoria puede ser finita o infinita. Si la sumatoria es finita la conocemos como una suma parcial de los términos de la sucesión. Si la sumatoria Es infinita se conoce como la serie de la sucesión. Sucesión Suma parcial 3, 6, 9, 12, 15 3 + 6 + 9 + 12 + 15 Sucesión infinita Serie infinita 3, 6, 9, 12, 15, . . . 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + . . . . . . Podemos usar la notación de sumatoria para escribir una serie. Por ejemplo, la serie de arriba la podemos escribir como, 3 + 6 + 9 + 12 + 15 =  3i 5 i = 1

 3i 5 i = 1 Introducción a las Sucesiones 3 + 6 + 9 + 12 + 15 =  3i SERIES Límite superior de la sumatoria Se lee como “la suma desde i igual a 1 hasta i igual a 5 de 3i.” 5 i = 1  3i 3 + 6 + 9 + 12 + 15 =  3i 5 i = 1 Sucsesión Indice de la sumatoria Límite inferior de la sumatoria

Introducción a las Sucesiones SERIES La notación de suma también se conoce como la notación sigma porque usa la letra mayúscula Griega, sigma, que se escribe como . La notación de una sumatoria infinita es similar a la de una suma finita. En tal caso escribimos el límite superior como infinito, esto es: 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + =  3i  i = 1 . . . El símbolo de infinito,  , indica que la suma continua sin finalizar. Podemos usar cualquier letra para el indice de la sumatoria. Puede ser i, j, k, etc. Además el indice no tiene que comenzar en 1.

Introducción a las Sucesiones Series EJEMPLO Escribe la serie usando la notación sigma. 5 + 10 + 15 + + 100 . . . Solución Note que el primer término es 5 (1), el segundo es 5 (2), el tercero es 5 (3), y el último es 5 (20). Por lo tanto los términos de la serie se pueden escribir como: an = 5n donde n = 1, 2, 3, . . . , 20 La sumatoria es  5n. 20 n = 1

Introducción a las Sucesiones Series EJEMPLO Escribe la serie en notación de sumatoria (sigma). . . . 1 2 3 4 2 3 4 5 + + + + Solución Note que para cada término el denominador de la fracción es 1 más que el numerador. Por lo tanto, los términos de la serie se pueden escribir como: ak = donde k = 1, 2, 3, 4 . . . k k + 1  La serie se escribe como  k = 1 k k + 1 .

Introducción a las Sucesiones Series La suma parcial de los términos de una sucesión se encuentra sumando una cantidad finita de los términos. Para que tenemos con muchos términos, este proceso puede ser tedioso y al igual sucede con series infinitas. Para simplificar este proceso se desarrollan fórmulas que nos permiten encontrar la suma de los términos de una sucesión. Aunque esto no siempre es posible, veremos algunos casos especailes en que lo podemos lograr.

Introducción a las Sucesiones EJEMPLO Series en Notación de Sumatoria FÓRMULAS DE SUMATORIAS n i = 1  1 = n 1 Suma de n veces 1 .  i = n (n + 1) 2 n i = 1 suma de los números naturales desde 1 hasta n . 2  i 2 = n (n + 1)(2 n + 1) 6 n i = 1 suma de los cuadrados de los números naturales desde 1 hasta n . 3  i 3 = n2 (n + 1)2 4 n i = 1 suma de los cubos de los números naturales desde 1 hasta n . 4

Introducción a las Sucesiones Uso de Fórmulas de Sumatorias EJEMPLO ¿Cuántas chinas habrá en una piramide cuadrada de diez capas de altura?

Introducción a las Sucesiones EJEMPLO Usa las Fórmula de Sumas Solución Sabemos del ejemplo anterior que el enésimo término de la sucesión es ai = i 2, donde i = 1, 2, 3, . . . , 10. 10  i = 1 i 2 = 12+ 22 + + 102 . . . = 6 10(10 + 1)(2 • 10 + 1) 10(11)(21) = 6 = 385 Habrán 385 chinas en la piramide.

Introducción a las Sucesiones Pos prueba: 1. Determina si el conjunto de puntos representa una sucesión. 2. Encuentra la suma parcial de los primeros 6 término de la sucesión 3,6,9,12, … . 3. Escribe la serie infinita de los términos de la sucesión 3,6,9,12, …, usando la notación sigma.

Respuestas de la Pre y pos prueba: Introducción a las Sucesiones Respuestas de la Pre y pos prueba: 1. Determina si el conjunto de puntos representa una sucesión. Si No, los elementos del dominio no pueden ser negativos. 2. Encuentra la suma parcial de los primeros 6 término de la sucesión 3,6,9,12, … . 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 63 3. Escribe la serie infinita de los términos de la sucesión 3,6,9,12, …, usando la notación sigma.