FÍSICA DE SEMICONDUCTORES Aplicaciones de la Ecuación de Schrodinger UN Lizeth Andrea Anzola Fernandez -fsc01Lizeth- 13/06/2015

Ecuación de Schrodinger - caso: Electrón Libre - Escriba la ecuación de Schrodinger 𝜳 ′′ + 𝒌 𝟐 𝜳=𝟎, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 2 = 2𝑚 ħ 2 [ 𝐸 𝑇 −𝑈]

Resuélvala para el caso de un electrón libre Solución de la Función 1: 𝐷+𝑖𝑘 𝛹=0 𝑑 𝑑𝑥 Ψ 1 +𝑖𝑘 Ψ 1 =0 𝑑 𝑑𝑥 Ψ 1 =−𝑖 𝑘Ψ 1 𝑑 Ψ 1 Ψ 1 =−𝑖𝑘 𝑑𝑥 𝑙𝑛 Ψ 1 =−𝑖𝑘𝑥 Ψ 1 =𝐴 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 Solución de la Función 2: 𝐷−𝑖𝑘 𝛹=0 𝑑 𝑑𝑥 Ψ 2 −𝑖𝑘 Ψ 2 =0 𝑑 𝑑𝑥 Ψ 2 =𝑖 𝑘Ψ 2 𝑑 Ψ 2 Ψ 2 =𝑖𝑘 𝑑𝑥 𝑙𝑛 Ψ 2 =𝑖𝑘𝑥 Ψ 2 =𝐵 𝑒 𝑖𝑘𝑥 Para la solución: Definir: 𝐷= 𝑑 𝑑𝑥 𝐷 2 = 𝑑 2 𝑑 𝑥 2 Reemplazar: 𝐷 2 + 𝑘 2 𝛹=0 Factorizar: 𝐷+𝑖𝑘 𝐷−𝑖𝑘 𝛹=0 Por lo tanto se tienen dos posibilidades: Función 1: 𝐷+𝑖𝑘 𝛹=0 Función 2: 𝐷−𝑖𝑘 𝛹=0

Un electrón libre se mueve en un ambiente libre de potencial: Ψ 1 =𝐴 𝑒 −𝑖𝑘𝑥

CONCLUSIÓN: Por qué se le llama onda plana a un electrón libre? Un electrón libre se denomina una onda plana porque al moverse sus frentes de onda son planos paralelos con una amplitud constante y también son normales al vector de la velocidad, dichas características son representadas en la ecuación mostrada en la diapositiva anterior. Ψ 1 =𝐴 𝑒 −𝑖𝑘𝑥

Ecuación de Schrodinger - caso: Pozo de Potencial Infinito - Escriba la ecuación de Schrodinger para un Pozo de Potencial infinito La ecuación de Schrödinger para un Pozo de Potencial infinito es la misma mencionad anteriormente, donde k es un número real: En el pozo infinito se tienen tres zonas, en la primera se encuentra la partícula y su energía total es energía cinética y en la segunda y tercera zona la partícula no puede estar y la función, que es la solución de la ecuación de Schrödinger es cero.

Para determinar k y las constantes A y B la solución se basa en la condición de frontera, y de existencia. Se obtiene la siguiente función, para la región 1: Ψ 𝐼 (𝑥)= 2 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋 𝑎 𝑥

Concluya que el CONFINAMIENTO, en un sistema cuántico, produce CUANTIZACIÓN de la energía de una partícula atrapada en un Pozo de Potencial infinito.

Ecuación de Schrodinger - caso: Pozo de Potencial finito - Escriba la ecuación de Schrodinger para un Pozo de Potencial finito Conclusión: Discuta qué pasa con la densidad de niveles de energía a medida que se acerca a la parte superior del pozo