Centroides

Momentos y centros de masa Nuestro principal objetivo es encontrar el punto en el cual un «plato» delgado de cualquier forma se balancea horizontalmente.

Momentos y centros de masa Consideremos primero dos masas que están unidas a una barra de masa despreciable sobre los lados opuestos de un fulcro y a distancias 𝑑 1 y 𝑑 2 del fulcro.

Momentos y centros de masa La barra estará en equilibrio si 𝑚 1 𝑑 1 = 𝑚 2 𝑑 2 Los números 𝑚 1 𝑑 1 y 𝑚 2 𝑑 2 se llaman los momentos de masa Suponga ahora que la barra está sobre el eje 𝑥 con 𝑚 1 en 𝑥 1 , 𝑚 2 en 𝑥 2 , y el centro de masa en 𝑥 .

Momentos y centros de masa Suponga ahora que la barra está sobre el eje 𝑥 con 𝑚 1 en 𝑥 1 , 𝑚 2 en 𝑥 2 , y el centro de masa en 𝑥 . Entonces 𝑑 1 = 𝑥 − 𝑥 1 y 𝑑 2 = 𝑥 2 − 𝑥

Momentos y centros de masa Así que La ecuación dice que el centro de masa se obtiene sumando los momentos de masa y dividiendo entre la suma de las masas.

Centroides La idea anterior se extiende a cualquier número de masas y no sólo sobre la recta, sino en el plano. Más aún se sigue para definir los momentos de masa y el centro de masa de una región en el plano de densidad uniforme («plato»). En este caso al centro de masa se le conoce como centroide.

Centroides El centro de masa de un «plato» se localiza en

Ejemplo 1 El centro de masa de un plato semicircular de radio 𝑟 se localiza en el punto 0, 4𝑟 3𝜋

Otras aplicaciones

La sangre regresa del cuerpo a través de las venas, entra por la aurícula derecha del corazón y es bombeada a los pulmones a través de las arterias pulmonares para su oxigenación. Luego fluye de regreso a la aurícula izquierda a través de las venas pulmonares y se reparte al resto del cuerpo a través de la aorta Respuesta cardiaca

Respuesta cardiaca La respuesta cardiaca es el volumen de sangre que el corazón bombea por unidad de tiempo, esto es, la tasa de flujo en la aorta. Una respuesta cardiaca anormal es indicativo de enfermedad. El método de dilución por tinción es una manera de medir esta respuesta.

Método de dilución por tinción Una cantidad 𝐴 de tinte, medida en miligramos, se inyecta en la aurícula derecha, fluye en el corazón y finalmente a través de la aorta. Una sonda se inserta en ésta y mide la concentración del tinte que sale del corazón en valores de tiempo igualmente espaciados dentro de un intervalo 0,𝑇 hasta que el tinte se clarifica (por ejemplo, cada segundo durante 30 segundos)

Respuesta cardiaca Si es 𝑐(𝑡) la concentración de tinte al tiempo 𝑡, la respuesta cardiaca está dada por 𝐹= 𝐴 0 𝑇 𝑐 𝑡 𝑑𝑡 donde 𝐴 es conocida y la integral puede aproximarse con las lecturas de las concentraciones en la sonda.

Función de densidad de probabilidad Suponga que consideramos el nivel de colesterol de una persona elegida al azar de un grupo con cierta edad, o la estatura de una mujer adulta elegida al azar, o el tiempo de vida de cierto tipo de batería elegida aleatoriamente. Función de densidad de probabilidad El cálculo juega un papel importante en el análisis del comportamiento aleatorio

Variables aleatorias Tales cantidades se conocen como variables aleatorias continuas. Podríamos desear conocer la probabilidad de que el nivel de colesterol es mayor que 250, o la probabilidad de que la mujer mida entre 1.50 y 1.60 mts., o la probabilidad de que la batería que estamos comprando dure entre 100 y 200 horas.

Variables aleatorias Por ejemplo, si 𝑋 representa el tiempo de vida de la batería, denotamos su probabilidad como 𝑃(100≤𝑋≤200) Es decir, ésta es la proporción del número de baterías cuyo tiempo de vida está entre 100 y 200 horas.

Función de densidad de probabilidad Cada variable aleatoria 𝑋 tiene una función de densidad de probabilidad 𝑓. Esto significa que la probabilidad de que 𝑋 esté entre una cantidad 𝑎 y otra 𝑏 se encuentra integrado 𝑓 desde 𝑎 hasta 𝑏. 𝑃 𝑎≤𝑋≤𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Ejemplo 2 La gráfica muestra la función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria definida para la estatura de una mujer adulta en los Estados Unidos.

Superávit del consumidor La ley de la demanda establece que cuanto mayor sea el precio de un bien, menor será la cantidad demandada de dicho bien, y cuanto más bajo sea el precio, mayor será la cantidad demandada. Superávit del consumidor La función de demanda de un producto ilustra la relación entre la cantidad demanda de un bien y el precio del mismo.

Oferta y equilibrio La oferta en cambio, es la relación entre el precio de un bien y la cantidad que los productores ofrecen. Si la demanda y la oferta son iguales, se dice que el mercado está en equilibrio y al precio del producto se le llama precio de equilibrio.

Superávit del consumidor Si 𝑝 es el precio de equilibrio y 𝑏 el precio para el cual la demanda 𝐷(𝑥) es cero, 𝑆𝐶= 𝑝 𝑏 𝐷 𝑥 𝑑𝑥 es el superávit del consumidor. Cuando el mercado está en equilibrio, el hecho de que haya una demanda por el producto aún a precios más altos significa que aquellos consumidores que estuvieran dispuestos a pagar un precio mayor se beneficiarían. El SC representa, en unidades monetarias, los ahorros combinados realizados por estos consumidores.