Estadística Básica Conceptos & Aplicaciones Medidas de Tendencia Central, Variación y Forma Capitulo 3

Objetivos de Aprendizaje Explicar Propiedades de Datos Numéricos 2. Describir Medidas de Resumen Tendencia Central Variación Forma 3. Analizar Datos Numéricos Utilizando Medidas de Resumen As a result of this class, you will be able to...

Datos Numéricos Propiedades & Medidas Tendencia Variación Forma Central Promedio Rango Sesgo Mediana Varianza Moda Desviación Estándar Cuartiles Coeficiente de Variación

Análisis de Datos Numéricos No Agrupados

 Media o Promedio Medida de Tendencia Central 2. Medida Más Común 3. Actúa como ‘Punto de Balance’ 4. Afectado por Valores Extremos (‘Outliers’) 5. Fórmula (Promedio de Muestra) n  X i X  X    X 1 2 n X  i  1  n n

Media o Promedio Ejemplo

Mediana 1. Medida de Tendencia Central 2. Valor del Medio en Secuencia Ordenada Si n impar, Valor del Medio de la Secuencia SI n par, Promedio de los 2 Valores del Medio 3. Posición de la Mediana en la Secuencia 4. No se Afecta por Valores Extremos n  1 Posición  2

Mediana Ejemplo Mediana datos impares 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13, 5.55, 6.10, 6.19, 6.46 Me = 8vo dato Me Mediana Me Datos par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13, 5.55, 6.10, 6.19 Me =

Moda 1. Medida de Tendencia Central 2. Valor que Ocurre con Más Frecuencia 3. No se Afecta por Valores Extremos 4. Puede No Haber Moda o Varias Modas 5. Puede Ser Usado Para Datos Numéricos & Categóricos

Moda Ejemplo 0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 3.79, 3.9, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13, 5.55, 6.10, 6.19, 6.46 Mo = 3.79 0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 3.9, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13, Mo = No hay moda

Ejercicio Usted es el analista financiero para Prudential-Bache Securities. Usted colectó los siguientes precios de acciones de una acción: 17, 16, 21, 18, 13, 16, 12, 11. Describa los precios de la acción en terminos de tendencia central Give the class 10-15 minutes to compute before showing the answer.

 Tendencia Central Media X X  X    X X   n 8 17  16  21  18 13  16  12  11  8  15 . 5

Tendencia Central Mediana Datos Crudos : 17 16 21 18 13 16 12 11 Ordenados: 11 12 13 16 16 17 18 21 Posición: 1 2 3 4 5 6 7 8 Median = 6.5 Position = (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5.5 1 2 3 5 6 7 8 8 9 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (n = 10) (6+7)/2 = 6.5 n  1 8  1 Dato Ordenado    4 . 5 2 2 16  16 Mediana   16 2

Tendencia Central Moda Datos Crudos: 17 16 21 18 13 16 12 11 Ordenados: 11 12 13 16 16 17 18 21 Moda = 16 Mode = 8 Midrange = 6 (Xsmallest + Xlargest)/2 = (1+11)/2 = 6

Cuartiles Dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales 2.Divide los Datos Ordenados en 4 Cuartiles 25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3

Cuartiles 1. El Primer Cuartil Q1: El 25% de los valores son menores que el primer cuartil y el 75% son mayores que el primer cuartil. 2. El segundo Cuartil Q2 es la mediana: el 50% de los valores son mayores que la mediana y el 50% son menores. 3. El tercer cuartil Q3 separa el 25% que abarca los valores que son mas grandes y el 75% son menores

Cuartiles: Reglas Regla 1: Si el resultado es un número entero, entonces el cuartil es igual al valor clasificado. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es n=7, el primer cuartil Q1 es igual a (7+1)/4= segundo valor clasificado. Regla 2: Si el resultado es una fracción de mitad (2.5,4.5, etc.), entonces el cuartil es igual al promedio de los valores clasificados correspondientes. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es n=9, el primer cuartil Q1es igual al valor clasificado como (9+1)/4= 2.5, la mitad entre los valores clasificados como segundo y tercero. Regla 3: Si el resultado no es un número entero ni una fracción de mitad, se redondea al entero más cercano y se selecciona ese valor clasificado. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es n=10, el primer cuartil Q1es igual al valor clasificado como (10+1)/4= 2.75. Se redondea el 2.75 a 3 y se utiliza el valor clasificado como tercero.

Tendencia Central (Localización) Q1 Datos Crudos: 17 16 21 18 13 16 12 11 Ordenados: 11 12 13 16 16 17 18 21 Posición: 1 2 3 4 5 6 7 8 Q1 = 1(n+1)/4 = 1(10+1)/4 = 11/4 = 2.75 Position If exact values: 75% of way Between 2 & 3; Value is 2.75 (n +1) (8+1) Q Posición    2 . 25 1 4 4 Q  12 1

Tendencia Central (Localización) Q3 Datos Crudos: 17 16 21 18 13 16 12 11 Ordenados: 11 12 13 16 16 17 18 21 Posición : 1 2 3 4 5 6 7 8 Q3 = 3(n+1)/4 = 3(10+1)/4 = 33/4 = 8.25 Position If exact values: 25% of way Between 8 & 9; Value is 8.25 3  (n +1) 3  (8+1) Q Posición    6 . 75  7 3 4 4 Q  18 3

Datos Numéricos Propiedades & Medidas Tendencia Variación Forma Central Promedio Rango Sesgo Mediana Varianza Moda Desviación Estándar Cuartiles Coeficiente de Variación

Rango 1. Medida de Dispersión Diferencia Entre el Dato Mayor y el Menor Ignora Cómo Están Distribuidos los Datos Rango  X  X l arg est smallest 7 8 9 10 7 8 9 10

Varianza & Deviación Estándar 1. Medidas de Dispersión 2. Medidas Mas Comunes 3. Considera Cómo Están Distribuidos los Datos Muestra Variación Alrededor de la Media ( o )  X = 8.3 4 6 8 10 12

Fórmula Varianza Muestral 2  ¡n - 1 en denominador! (Use N si es Varianza de Población) (X  X) i 2 S  i  1 n  1 2 2 2 (X  X)  (X  X)    (X  X) 1 2 n  n  1

Fórmula Deviación Estándar de la Muestra 2 S  S n 2  (X  X ) i  i  1 n  1 2 2 2 (X  X )  (X  X )    (X  X ) 1 2 n  n  1

Coeficiente de Variación 1. Medida de Dispersión Relativa 2. Siempre un % 3. Muestra Variación Relativa a la Media 4. Usado para Comparar 2 o Más Grupos 5. Fórmula (Muestra)

Ejercicio Usted es el analista financiero para Prudential-Bache Securities. Usted colectó los siguientes precios de acciones de una acción: 17, 16, 21, 18, 13, 16, 12, 11. Describa la volatilidad de los precios de las acciones. Give the class 10-15 minutes to compute before showing the answer.

Variación   Varianza Muestral Datos Crudos: 17 16 21 18 13 16 12 11 Using exact values: Midhinge = (Q1 + Q3)/2 = (2.75 + 8.25)/2 = 11/2 = 5.5 2   (X 1 X ) X i i 2 S  i  1 i donde X   1  15 . 5 n  1 n 2 2 2 (17  15 . 5)  (16  15 . 5)    (11  15 . 5) 2 S  8  1  11 . 14

Variación  Estándar Desviación Muestral Coeficiente de Variación (X  2  (X  X ) i Using exact values: Midhinge = (Q1 + Q3)/2 = (2.75 + 8.25)/2 = 11/2 = 5.5 2 S  S  i  1  11 . 14  3 . 34 n  1

Datos Numéricos Propiedades & Medidas Tendencia Variación Forma Central Promedio Rango Sesgo Mediana Varianza Moda Desviación Estándar Cuartiles Coeficiente de Variación

Forma El análisis de Forma se basa en la Distribución Agrupada de los Datos, tales como el Histograma y el Polígono de Frecuencias.

Forma 1. Describe Cómo Se Distribuyen los Datos 2. Medidas de Forma Sesgo = Simetría Shape Concerned with extent to which values are symmetrically distributed. Skew The extent to which a distribution is symmetric or has a tail. Values are 0 if normal distribution. If the values are negative, then negative or left-skewed. Sesgo- Izquierdo Simétrica Sesgo- Derecho Media Mediana Moda Media = Mediana = Moda Moda Mediana Media

Análisis de Datos Numéricos Agrupados

Establecer la Distribución de PASOS A SEGUIR Establecer la Distribución de Frecuencias 2. Calcular los Estadísticos o Parámetros

Pasos para la Distribución de Frecuencias Ordene los datos Seleccione el Numero de Clases k Determine el Rango R 3. Compute el Ancho de Clase w Determine las Fronteras de Clases 5. Compute el Punto Medio de la Clase Xi 6. Cuente las Observaciones y Asignelas a las Clases

Número de Clases k Regla de Sturges K= 1+3.322(log n) k= 1+3.322(log10) log10 = 1 k =1+3.322 (1) k= 1 + 3.322 = 4.3 ≈ 4 K = 4 Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38 n = 10

El Rango R R = Xmax – Xmin R = 41 – 21= 20 R = 20 Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38

El Ancho de la Clase w w = R/k w = 20/4 = 5 w = 5 Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38

La(s) Frontera(s) o Límites de las Clases Li = Límite inferior de la clase. Este será el límite superior de la clase que la antecede. En nuestro ejemplo Ls = Límite superior de la clase:se obtiene sumando el ancho de la clase al límite inferior de la clase: Ls = Li + w La primera clase tendrá como límite inferior al valor más bajo en el conjunto de datos a ser agrupados. En nuestro ejemplo será: 21 + 5 = 26

El Punto Medio de la Clase Xi Por ejemplo, el punto medio de la primera clase sería

Distribución Frecuencia Ejemplo Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38 Punto Medio Frecuencia Abs Rel % Clase x Li ≤ < Ls 21 26 23.5 3 .3 30% 26 31 4 .4 40% 28.5 31 36 33.5 1 .1 10% 36 41 38.5 2 .2 20% Fronteras (Fronteras Superior + Inferior) / 2

Fórmulas Promedio Muestra Promedio Población Varianza Población Varianza Muestra Desviación Estándar Población Desviación Estándar Muestra

Tabla de Cálculos ∑=294 ∑= 290.1 Li Xi Ls fi fiXi (Xi –X) fi 21 23.5 26 3 70.5 (23.5-29.4)²(3)=104.43 28.5 31 4 114.0 (28.5-29.4)²(4)= 3.24 33.5 36 1 (33.5-29.4)²(1)= 16.81 38.5 41 2 76.0 (38.5-29.4)²(2)= 165.62 ∑=294 ∑= 290.1 2

Cálculos Promedio Muestra Varianza Muestra Desviación Estándar Muestra

La Moda La Moda en una distribución de frecuencias es sencillamente la clase que tiene el mayor numero de observaciones. Nos referimos a la clase modal.

La Mediana El primer paso para calcular la Mediana en una distribución de frecuencias es determinar el intérvalo de clase en el que se locliza. Esto se hace mediante el cálculo (n )(½), esto es, se divide el total de datos por dos. En el ejemplo de la tabla es (10)(½) = 5. Notese que como n=10, el quinto valor que representa la Mediana se encuentra entoces en la segunda clase. Esto lo podemos ver siguiendo la frecuencia acumulada (ver tabla).

Tabla de Cálculos Li Xi Ls fi Fi cumm F Rel. cumm 21 23.5 26 3 .30 28.5 31 4 7 .70 33.5 36 1 8 .80 38.5 41 2 10 1.00

La Mediana (cont…) 5. El próximo paso es el calcular la Mediana mediante la fórmula

La Mediana (cont…) 6. En nuestro ejemplo L = 26 , j = 2 , f = 4 , w = 5 *** para hallar j, se resta el valor que obtuvimos de la formula (n) )(½), que nos indica donde esta la Mediana, a la frecuencia acumulada de la clase que le antecede. En nuestro caso es 5 – 3 = 2

La Mediana (cont…) Asi que tenemos