MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Media, moda y mediana.

Medidas de tendencia central Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número que represente lo “promedio” de ese conjunto de valores. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central .

Notación sumatorial La letra griega sigma mayúscula se utiliza mucho en estadística para simbolizar la sumatoria de un conjunto de elementos de una sucesión. Por ejemplo: 𝒙 significa: La sumatoria de la variable x. 𝒚 𝟐 significa. La sumatoria de los cuadrados de la variable y.

Notación sumatorial 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙 𝒊 = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒 +… 𝒙 𝒏 Ejemplo. 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙 𝒊 = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒 +… 𝒙 𝒏 Ejemplo. 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊 = 𝒙 𝟏 𝒚 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 +… 𝒙 𝒏 𝒚 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒂 𝒙 𝒊 = 𝒂𝒙 𝟏 + 𝒂𝒙 𝟐 +… 𝒂𝒙 𝒏

Notación sumatorial Ejemplos: Escribir en la forma desarrollada. 𝒊=𝟏 𝟑 𝒙 𝒊 −𝟑 = 𝒊=𝟏 𝟐 𝒙−𝒊+𝟏 = 𝒊=𝟏 𝟒 𝒚 𝒊 −𝟏 =

Notación sumatorial Ejemplos: Escribir en la forma desarrollada. 𝒊=𝟏 𝟑 𝒚 𝒊 = 𝒊=𝟐 𝟒 𝒙 𝒊 =

Notación sumatorial Ejemplos: Si 𝒙 𝟏 =𝟑, 𝒙 𝟐 =𝟒, 𝒙 𝟑 =−𝟓, 𝒙 𝟒 =𝟏𝟎, 𝒚 𝟏 =−𝟐, 𝒚 𝟐 =𝟖, 𝒚 𝟑 =𝟎, 𝒚 𝟒 =𝟓. 𝒙 = 𝒚 𝟐 = 𝒙𝒚 =

Notación sumatorial Ejemplos: Si 𝒙 𝟏 =𝟐, 𝒙 𝟐 =𝟑, 𝒙 𝟑 =𝟒. 𝒊=𝟏 𝟑 𝒙 𝒊 𝟐 = 𝒊=𝟏 𝟑 𝒙 𝒊 𝟐 = 𝒊=𝟏 𝟑 𝒙 𝒊 𝟐

Notación sumatorial Evaluar una sumatoria: Si 𝒙 𝟏 =𝟔 𝒙 𝟐 =𝟖, 𝒙 𝟑 =−𝟔, 𝒚 𝟏 =𝟐, 𝒚 𝟐 =−𝟑, 𝒚 𝟑 =−𝟐. 𝒊=𝟏 𝟑 𝒙 𝒊 𝟐 +𝟏 𝒊=𝟐 𝟑 𝟐 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊 𝒊=𝟏 𝟐 𝒙 𝒊 𝒊=𝟏 𝟑 𝒚 𝒊

Notación sumatorial Determinar la forma compacta de las siguientes sumatorias: 𝟐𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 𝟑 𝒙 𝟏 −𝟏 + 𝒙 𝟐 −𝟏 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 −𝒂 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 −𝒂 + 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 −𝒂 𝟐 𝒙 𝟏 + 𝟑𝒚 𝟏 +𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟑𝒚 𝟐 +𝟐 𝒙 𝟑 + 𝟑𝒚 𝟑

Media, mediana y moda de datos no agrupados. Media. Es una medida que da al centro de un conjunto de datos organizados preferentemente en orden ascendente.

Media, mediana y moda de datos no agrupados. Media. Su cálculo: X = x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n n , donde: X =Media aritmética para datos no agrupados x 1 , x 2 , x 3 , …x n =Valores de la variable n=Número de observaciones de la muestra

Media, mediana y moda de datos no agrupados. Media. Ejemplo 1: Hallar la media aritmética de los pesos de cinco estudiantes, si sus pesos son: 56, 47, 61, 44, 78 libras.

Media, mediana y moda de datos no agrupados. Media. Ejemplo 2: Una compañía tiene 8 empleados, los cuales ganan al mes L. 876.50; L. 786.87, L. 567.00, L. 800.00, L. 669.80, L. 700.00, L. 550.60, L. 567.13 respectivamente. ¿Cuál es la media mensual que se paga?

Media, mediana y moda de datos no agrupados. Mediana. Es el valor de la variable que ocupa la posición central de una distribución. Generalmente se usa el símbolo 𝑀𝑒.

Media, mediana y moda de datos no agrupados. Mediana. Ejemplo 1. Hallar la mediana de una muestra, cuyas observaciones son: 5, 8, 3, 6, 9, 4, 10.

Media, mediana y moda de datos no agrupados. Mediana. Ejemplo 2. Hallar la mediana de una muestra, cuyas observaciones son: 3, 6, 4, 7, 9, 8.

Media, mediana y moda de datos no agrupados. Moda. De un conjunto de observaciones es aquel valor que ocurre mayor número veces en una distribución. Generalmente se usa el símbolo 𝑀𝑜 para representarla.

Media, mediana y moda de datos no agrupados. Moda. Ejemplo 1: Hallar la moda de las observaciones: 7, 8, 4, 6, 5, 6, 6.

Media, mediana y moda de datos no agrupados. Moda. Ejemplo 2: Hallar la moda de las observaciones: 2, 7, 5, 3, 4, 6, 5, 7.

Media, mediana y moda de datos agrupados en frecuencia simple. Una distribución de frecuencia simple, es aquella en donde figuran los valores de la variable realmente observados, con sus respectivas frecuencias o número de veces que aparece repetida en la distribución.

Media, mediana y moda de datos agrupados en frecuencia simple. Ejemplo: Los siguientes datos corresponden al aumento de peso en gramos, de pollos alimentados con una dieta rica en proteínas. Aumento Peso Número de pollos X f 12.5 12.7 13.0 13.1 13.2 13.8 2 6 22 29 12 4

Media, mediana y moda de datos agrupados en frecuencia simple. Bajo las condiciones anteriores (frecuencia simple) la media, mediana y moda se obtiene de la siguiente forma: Media. 𝑿 = 𝒇𝑿 𝒏 Donde: 𝑋 =𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑓=𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑋=𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑛=𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

Media, mediana y moda de datos agrupados en frecuencia simple. Mediana. Es el valor de la variable que ocupa la posición central de la distribución. La posición de ese valor, se calcula con la fórmula: 𝑷= 𝒏+𝟏 𝟐 Donde: 𝑃=𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑛=𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 Para calcular su valor, se necesitan las frecuencias acumuladas de la distribución.

Media, mediana y moda de datos agrupados en frecuencia simple. Moda. Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia en la distribución. Para su cálculo no se necesita efectuar ninguna operación.

Media, mediana y moda de datos agrupados en frecuencia simple. Regresemos al ejemplo anterior. Vamos a Excel.

Media ponderada Media ponderada. La variable en estudio es asociado a ciertos pesos o factores. Se definirá así: 𝑿 𝒘 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝒘 𝒊 𝒘 𝒊 =𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒂𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒂𝒕𝒐 𝒙 𝒊 =𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒐 𝑿 𝒘 =𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒂𝒓𝒊𝒕𝒎é𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂

Media ponderada Ejemplo 1: En una compañía constructora, 10 asesores principiantes reciben L. 60.00 cada uno; 4 asesores antiguos reciben L. 85.00 cada uno y un asesor especialista L. 125.00 como complemento de sus sueldos. ¿Por qué este ejemplo es de media aritmética ponderada?

Media ponderada Ejemplo 2: Un profesor de matemática decide medir la importancia relativa de las 5 calificaciones bimestrales de un alumno que obtuvo 50%, 80%, 70%, 70% y 65% de acuerdo a la duración; esto es, 1, 2, 3, 2, 3. a. ¿Cuál es la media aritmética simple? b. ¿Cuál la ponderada?

Media, mediana y moda de datos agrupados – tabla de distribución de frecuencias. Algunas veces las variables toma muchos valores distintos y se organizan en tablas de distribución de frecuencias, donde no figuran los valores de la variable realmente observados (X). En esa tabal de distribución de frecuencias, los intervalos de la clase (X), se sustituyen por puntos medios o marcas de clase (Xm), que son valores singulares.

Media, mediana y moda de datos agrupados – tabla de distribución de frecuencias. Media. 𝑿 = 𝒇𝑿𝒎 𝒏 Donde: 𝑋 =𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑓=𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑋𝑚=𝑀𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑛=𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

Media, mediana y moda de datos agrupados – tabla de distribución de frecuencias. Media. Veamos en Excel un ejemplo de cálculo de la media.

Media, mediana y moda de datos agrupados – tabla de distribución de frecuencias. Mediana. Es un valor central de una distribución. El 50% de las observaciones está por arriba de este valor y el otro 50% está por debajo de él. Veamos en Excel un ejemplo de cálculo de la media.

Media, mediana y moda de datos agrupados – tabla de distribución de frecuencias. Mediana. Para obtener el valor de la Me, se necesitan límites reales y la frecuencia acumulada. La fórmula es la siguiente:

Media, mediana y moda de datos agrupados – tabla de distribución de frecuencias. 𝑀𝑒=𝐿𝑟𝑖+𝐶 𝑛 2 − 𝑓 1 𝑓 𝑀𝑒 Donde: 𝑀𝑒: Mediana 𝐿𝑟𝑖: Límite real inferior de la clase mediana. 𝑛 2 : Posición de la mediana. 𝑛: Total de frecuencias. 𝑓 1 : Frecuencia acumulada hasta antes del intervalo que contiene la clase mediana. 𝑓 𝑀𝑒 : Frecuencia de la clase mediana. 𝐶: Anchura del intervalo que contiene la clase mediana.

Media, mediana y moda de datos agrupados – tabla de distribución de frecuencias. Mediana. Veamos un ejemplo en Excel.

Media, mediana y moda de datos agrupados – tabla de distribución de frecuencias. Moda. Es el valor que más se repite en una distribución de frecuencias. Se usa la siguiente fórmula:

Media, mediana y moda de datos agrupados – tabla de distribución de frecuencias. Moda. 𝑴𝒐=𝑳𝒓𝒊+𝑪 ∆ 𝟏 ∆ 𝟏 + ∆ 𝟐 Donde: 𝑴𝒐: Moda 𝑳𝒓𝒊: Límite real inferior que contiene la clase modal. ∆ 𝟏 : Frecuencia de la clase modal menos la frecuencia anterior (inmediata anterior). ∆ 𝟐 : Frecuencia de la clase modal menos la frecuencia posterior (inmediata posterior). 𝑪: Anchura del intervalo que contiene la clase modal.

Media, mediana y moda de datos agrupados – tabla de distribución de frecuencias. Moda. Veamos un ejemplo en Excel.