Tema 6.9 * 4º ESO Opc B PROBLEMAS DE ÁREAS Y VOLÚMENES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B PROBLEMA 6 En la pirámide de Keops, de base cuadrada, el lado de la base mide 230 m y el ángulo que forma una cara con la base es de 52º. Calcula: La altura de la pirámide. La altura de una cara. La longitud de una arista. El ángulo que forma la arista con la base del triángulo. El ángulo superior de cada cara. El volumen de la pirámide. h H 52º 52º L=230 m 115 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Resolución_6 Se visualiza un triángulo rectángulo h = Altura de una cara o apotema de la pirámide. H = Altura de la pirámide. Lado base / 2 = 115 m, que hace de cateto. Ángulo = 52º Calculamos H, la altura de la pirámide: Tg 52º = H/115  H = 115.tg 52º = 115.1,28 = 147,19 m = H Calculamos h, la altura de una cara: h2 = 1152 + 147,192 = 34891  h = 186,79 m Calculamos a, la longitud de una arista: a2 = 1152 + 186,792 = 48116  a = 219,35 m Calculamos μ , el ángulo que forma la arista con la base: μ = arc sen (H/a) = arc sen 147,19/219,35  μ = arc sen 0,671 = 42,14º a h 115 m a H μ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B PROBLEMA_7 Kepler pensaba que las órbitas de los planetas estaban relacionadas con los radios de 6 esferas concéntricas inscritas y circunscritas alternativamente en los poliedros regulares. Si el radio de la esfera inscrita en un cubo mide 1 m, ¿cuánto mide la arista del cubo? ¿Y el radio de la esfera circunscrita a él? a r=1 m R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Resolución_7 La arista del cubo que contiene a la esfera inscrita en él es obvio que mide lo mismo que el diámetro de la esfera: a=d=2.r = 2.1 = 2 cm La diagonal de una cara del cubo será: d2 = 22 + 22  d = √8 = 2. √2 m Partiendo el cubo en dos: (Ver figura) Visualizando el triángulo: Un cateto = r = 1 Otro cateto = d/2 = √2 Hipotenusa = R Y hallamos R = Radio esfera circunscrita R2 = 12 + (√2)2 = 1 + 2 = 3 R = √3 m r=1 m R a=2 m d=2.√2 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B PROBLEMA_8 Hallar el volumen de la figura. Resolución_8 Se visualiza el problema. Se idealiza el triángulo rectángulo: Tg 75º = h / b 3,730 = h / 6 Luego h = 6.3,7320 = 22,39 V = Sb.h V= 4.6.22,39 V= 537,415 cm3 b=6 cm a=4 cm 75º h @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B PROBLEMA_9 Hallar el área lateral y el volumen de la figura. Resolución_9 Se visualiza el problema. Se idealiza el triángulo rectángulo: Un cateto: h Otro cateto: R – r R – r = 4 – 3 = 1 Tg 60º = h / 1 h = tg 60º = √3 g= √(1+3)= 2 cm Al= π.(R+r).g = π.(4+3).2 = 14.π cm2 V = (1/3).(SB + Sb + √(SB.Sb)).h= V= (1/3).(π.16+ π.9+ √(π.16.π.9)). √3 = V= (√3/3).(25.π+ 12.π) = V= 37.π.√3 / 3 = 67,11 cm3 d=6 cm g h 60º D=8 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B