Multiplicadores de Lagrange ¿Cómo optimizar una función cuando sus variables están sujetas a una restricción? El método que nos permitirá responder a ésta pregunta se encuentra en un artículo sobre Mecánica que Lagrange escribió cuando tenía 19 años ! Lagrange fue el primer analista pues escribió con rigor y precisión sus ideas matemáticas. Fue el primero en usar la notación f ’(x) y f ’’(x) para la derivadas.

¿Qué es un extremo condicionado de F? Es un extremo (máximo o mínimo) de la función F, cuando (x,y) vive sobre una curva del plano, g(x,y) = K, en el dominio de F. Es decir, (x,y) satisface una condición o restricción. Por ejemplo: Máximo relativo Máximo condicionado Y- 2x = 4

¿ Cuál es la utilidad ? Con este método podemos saber: ¿Cómo distribuir una cantidad fija de dinero? en: desarrollo y en promoción mano de obra y equipos recursos físicos de modo de optimizar el beneficio, la producción, el ingreso, etc.

El método Sea F(x,y) la función objetivo. Supongamos que (x,y) están condicionadas por la ecuación g(x,y) = K. F y g son funciones suaves. Si F tiene un extremo (máximo o mínimo) sujeto a g(x,y) = K en el punto (x0,y0) entonces existe un escalar  tal que:

Significado geométrico En el plano xy, dibujamos la condición x+y = 1, en rojo y vamos dibujando las curvas de nivel del objetivo F(x,y) en azul, hasta lograr que los vectores (Fx,Fy) y (gx,gy) sean paralelos.

La curva de nivel más alta que intersecta a la curva restricción g(x,y) = k F(x,y) = C Y- 2x = 4

Ejemplo 1 F(x,y) = 9- x2 – y2 Máximo relativo G(x,y) = x + y = 3 Máximo condicionado

Ejemplo 2 Hallar los valores máximo y mínimo de si (x,y) vive sobre la recta x + y = 1 Tenemos que g(x,y) = x + y entonces las derivadas son:

… Ejemplo 2 Al hacer el sistema, conseguimos: - 2x =  ; - 2y =  ; x + y = 1. Cuya solución es (x,y) = (1/2, 1/2) y  = -1. F (1/2, 1/2) = 1/2 puede ser el valor extremo condicionado. ¿Cómo sabemos si el punto es máximo o mínimo condicionado? - Comparando con otro punto sobre la restricción. F(1,0) = 0 < 1/ 2 = F(1/2, 1/2) Concluimos que (1/2, 1/2) es un máximo condicionado y el valor máximo condicionado es 1/ 2.

Ejemplo 3 Se disponen de 320 mts de cerca para encerrar un campo rectangular. ¿Cómo debería colocarse la cerca, de manera que el área encerrada sea lo más grande posible? x Función objetivo: Area y Restricción: Perímetro = 320 x, y  0 Queremos: Optimizar F(x,y) = x.y, sujeto a 2x + 2y = 320

… Ejemplo 3 Al hacer el sistema, conseguimos: y = 2 ; x = 2 ; 2x + 2y = 320. Cuya solución es (x,y) = (80, 80) y  = 40. F (80, 80) = 6400. Comprobamos que es un máximo, al comparar con otro punto sobre la restricción. F(100,60) = 6000 < 6400 Concluimos que: La mayor área que puede encerrarse con 320 mts de cerca es de 6400 metros cuadrados y corresponde a un cuadrado, cuyo lado mide 80 mts.

Significado del multiplicador Si M es el valor extremo de F(x,y) sujeta a la restricción g(x,y) = K, entonces:  = dM/dK. Por lo tanto,   M/K   variación de M si K = 1 . La demostración de este hecho puede conseguirla en su libro en la página 545. Por ejemplo, en el caso anterior si nos dan un metro adicional de cerca, el área encerrada aumenta en 40 metros cuadrados …

Ejercicio ¿Cómo debe distribuirse este dinero para generar el Ejercicio 28, pág 549 del Hoffmann PVP de un producto: 150 $ la unidad. Si se gastan: x miles de $ en promoción, y miles de $ en desarrollo, se venden 320 y + 160x unidades del producto y + 2 x + 4 El costo de producción es: 50 $ la unidad. El fabricante dispone de 8.000 $ para desarrollo y promoción. ¿Cómo debe distribuirse este dinero para generar el mayor beneficio posible?

… Ejercicio 8 x Función objetivo: Beneficio. Restricción: Fondos disponibles para desarrollo y promoción. Optimizar en dólares, sujeto a 1000x + 1000y = 8000, con x, y  0. G(x,x) = 1000x + 1000y A) El sistema: 8 y x

… Ejercicio 8 Función objetivo: Beneficio expresado en miles de $. Restricción: x + y = 8, con x, y  0. G(x,y) = x + y = 8 A) El sistema: Función objetivo: Beneficio expresado en miles de $. 8

… Ejercicio Entonces x + 4 = y + 2 con x + y = 8, tenemos que B(0,8) = 17.600 < 21.714, 286 = B(3,5). Con la cantidad disponible de dinero, deben invertirse 3000 $ en desarrollo y 5000 $ en promoción para conseguir el mayor beneficio posible, el cual es de 21.714,28 $. B) Si el fabricante dispone de 8100 $ para desarrollo y promoción ¿en cuánto cambia el beneficio? M/K   = 0,306122 miles,  = 306,1224 M  K = (306,1224)(0,1) El beneficio aumentará aproximadamente, en 30,6 $.

… Ejercicio C) Si hay disponible un fondo ilimitado ¿cuánto gastar en desarrollo y cuánto en promoción para alcanzar el mayor beneficio? En este caso, no hay restricciones para (x,y) … ¿Cuales son los puntos críticos? (x, y) = (4, 6) ¿Es un máximo? Sí, puede comprobarlo pues D(4,6) > 0 y Bxx(4,6) < 0. ¿Cuál es el beneficio óptimo, sin restricciones? El mayor beneficio posible es de 22.000 $

Reflexión Si el fabricante dispone de 11.000 $ para desarrollo y promoción … y le solicita asesoría para distribuir estos fondos ... ¿Qué haría Ud. para elaborar una recomendación? ¿Qué recomendación le daría ? ...... Fin

Multiplicador de Langrange G(x,y) = x + y = 4 F(x,y) = 9- x2 – y2 G(x,y) = x + y = 3 Multiplicador de Langrange Si M = 9/2 es el valor extremo de F(x,y) sujeta a la restricción G(x,y) = 3 y K = 1 entonces:  = -3. Lo cual significa que el valor máximo disminuye en 3.   M/K