DERIVACIÓN NUMÉRICA MÉTODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS. Área Académica: Licenciatura en Ingeniería Industrial Profesor(a): I.C.M. Montiel Hernández Justo Fabian Periodo: Enero – Junio 2015

NUMERICAL DERIVATION DIVIDED FINITE DIFFERENCE METHOD Abstract The numerical derivation is a numerical analysis technique to calculate an approximation to the derivative of a function of a point using the values and properties of it. Basically, in a solution of finite differences, derivatives are replaced by a finite difference approximations, becoming a derived problem into an easily solvable algebraic problem. Keywords: numerical derivation, numerical analysis technique, derived problem, algebraic problem.

Introducción La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto dado, utilizando los valores y propiedades de la misma.

Introducción Es principalmente utilizada para realizar derivadas que no tienen una solución conocida, que su desarrollo sea muy complicado o demasiado largo. O bien sea porque solo conocemos los valores de la función en un número finito de puntos de “x”.

Procedimiento El método de diferencias finitas es una aproximación de manera clásica para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de los procedimientos de elementos finitos.

Procedimiento Mediante un proceso de discretización, el conjunto infinito de números que representan la función o funciones incógnitas en el continuo, es reemplazado por un número finito de parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación.

Procedimiento El método más sencillo para estimar numéricamente derivadas, consiste en Tomar el tamaño de paso “h” lo suficientemente pequeño para que la diferencia entre el cociente incremental y su límite sean lo más pequeño posible. La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error.

Procedimiento La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error, con aproximación hacia adelante, hacia atrás o de manera central mediante las siguientes fórmulas

Ejemplo Sea f(x) = sen x Calcular el valor de la derivada cuando toma el valor de 2 y tiene un tamaño de paso de 0.001 Utilizando la fórmula 𝒇′ 2 = 𝒇 2+0.001 − 𝒇 2 0.001 Siendo: X0 = 2 h = 0.001 𝒇′ 2 = 𝒔𝒆𝒏 2.001 − 𝒔𝒆𝒏 2 0.001 𝒇′ 2 = 0.09088− 0.9092 0.001 𝒇′ 2 =−0.4

Ejemplo Sea f(x) = sen x Calcular el valor de la derivada cuando toma el valor de 2 y tiene un tamaño de paso de 0.001 Utilizando la fórmula 𝒇′ 2 = 𝒇 2 − 𝒇 2− 0.001 0.001 Siendo: X0 = 2 h = 0.001 𝒇′ 2 = 𝒔𝒆𝒏 2 − 𝒔𝒆𝒏 1.999 0.001 𝒇′ 2 = 0.9092 − 0.9097 0.001 𝒇′ 2 =−0.5

Ejemplo Sea f(x) = sen x Calcular el valor de la derivada cuando toma el valor de 2 y tiene un tamaño de paso de 0.001 Utilizando la fórmula 𝒇′ 2 = 𝒇 2+0.001 − 𝒇 2− 0.001 2(0.001 Siendo: X0 = 2 h = 0.001 𝒇′ 2 = 𝒔𝒆𝒏 2.001 − 𝒔𝒆𝒏 1.999 0.002 𝒇′ 2 = 0.9088− 0.9097 0.002 𝒇′ 2 =−0.45

Comprobación Utilizando la fórmula de derivación y sustituyendo. 𝒇′ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒇′ 2 =−0.4 Error =0.016 𝒇′ 2 = 𝒄𝒐𝒔 (2 𝒇′ 2 =−0.416 𝒇′ 2 =−0.5 Error =−0.034 𝒇′ 2 =−0.45 Error =−0.084

Referencias J. Stewart, Cálculo de una variable, trascendentes tempranas, International Thomson editores, 4ta. Edición, México, 2001   Larson, Hostetler, Edwards, Cálculo vol. 1, Mcgraw Hill, 6ta. edición, México, 1999. Smith & Minton, cálculo, vol. 2, Mcgraw-Hill, Colombia, 2001. E. Purcell, Cálculo diferencial e integral, Pearson educación, 9na edición, México, 2007