P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera1 Repaso de clase anterior Distribución de Poisson como aproximación de la Bin(n,p) cuando n es muy grande y p es muy chico. Propiedades función de distribución Distribuciones AC.

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera2 Ejemplos de distribuciones AC a) Distribución normal o gaussiana. Una variable X se dice normal (gaussiana) standard (típica) ( X ~ N(0,1)) cuando la densidad de X es la “campana de Gauss” Llamaremos Φ a la distribución asociada φ(t) = exp(-t 2 /2) / ((2π) (1/2) )

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P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera5 Se dice que X~N(μ,σ 2 ) si (X- μ)/σ ~N(0,1)

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera6 b) Distribución de Cauchy Una variable X se dice Cauchy standard (típica) ( X~C(0,1)) cuando la densidad de X es Se dice que X ~ C( μ, σ 2 ) si (X- μ )/ σ ~ C(0,1). Es interesante comparar la Cauchy con la gaussiana f(t)= ( π(1+ t 2 )) (-1)

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P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera8 En la Cauchy son mucho más probables que en la normal los “outliers” o “valores raros” Por ejemplo: t P(|X|>t) N(0,1) C(0,1) E Valores “raros” pueden ser indicio de que es preferible un modelo Cauchy a uno gaussiano.

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera9 c) Distribución Uniforme. Una variable X se dice Uniforme en [0,1] ( X~U([0,1]) ) cuando la densidad de X es Se dice que X es Uniforme en [a,b] ( X ~ U([ a,b] )) si (X- a )/ (b-a) ~ U([0,1]). Las U([a,b]) coresponden, intuitivamente, a “sortear con equiprobabilidad un número real entre a y b”. f(t)= 1 si t  [0,1]; 0 si no

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera10 Sumamente importante: en todos los programas de cálculo y paquetes estadísticos, hay una función que genera “números aleatorios”. Al ejecutar esa función lo que se obtienen son (en una razonable aproximación) variables U([0,1]) independientes entre sí. Este hecho jugará un rol crucial para una herramienta muy valiosa que veremos más adelante: la Simulación de experimentos y el Método de Monte Carlo. Por ejemplo, en el EXCEL 2000 esta función (volátil) es : RAND()(en las versiones en español, ALEAT(); en algunas versiones es RANDOM() y ALEATORIO())

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera11 La siguiente es una lista de 10 números aleatorios generada por el EXCEL.

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera12 Un modelo de “no-envejecimiento”: La distribución exponencial (o de Mirtha Legrand) Si T es el tiempo de vida de un aparato o sistema donde el “envejecimiento” no es significativo como causa de muerte o ruptura, entonces T debe cumplir que para todo t y s>0, (Si duró hasta t, que dure s instantes más, es como durar desde el principio s) P(T>t+s/T>t)=P(T>s)

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera13 Esto se traduce en que P(T>t+s)=P(T>t)P(T>s) para todo t, s>0 y de aquí puede deducirse que P(T>t)= exp(-λ t) para todo t>0, donde λ >o es un parámetro a determinar

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera14 F T (t)=0 si t≤0, F T (t)=1- exp(-λ t) si t>0 f T (t)=0 si t≤0, f T (t)= λ exp(-λ t) si t>0 O sea que T tiene distribución y densidad Una tal distribución se llama Exponencial de parámetro λ.

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera15 Pronto veremos como estimar el parámetro desconocido λ a partir de datos empíricos y seremos capaces de manejar de manera completa un tal modelo.