I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS El metodo de los minimos cuadrados 1

/77 Contenido Modelado de datosEl problema del modelado de datosModelos lineales y modelos no linealesEstimación de mínimos cuadrados linealIdentificabilidadMínimos Cuadrados para un modelo lineal (dinamico)Propiedades del método de los Minimos CuadradosCriterio de AkaikeEjemplos 2

M ODELADO DE DATOS 3

/77 M ODELADO DE DATOS El modelado de datos se puede expresar de la siguiente forma: Dadas: Una colección finita de datos Una forma funcional Hallar los parametros de la funcion que mejor representen la relacion entre los datos (x i, y i ) y = ax+b a, b 4

/77 M ODELADO DE DATOS Se busca minimizar unos residuos (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) (x 3,y 3 ) (x 4,y 4 ) (x 5,y 5 ) (x 6,y 6 ) (x 7,y 7 ) f(x) = ax+b 5

/77 C RITERIO DE LOS MINIMOS CUADRADOS Formulacion del ajuste por Minimos cuadrados: (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) (x 3,y 3 ) (x 4,y 4 ) (x 5,y 5 ) (x 6,y 6 ) (x 7,y 7 ) f(x) = ax+b 6

/77 C RITERIO DE LOS MINIMOS CUADRADOS En el ejemplo, hallar el valor de los coeficientes a y b tal que se minimiza 7 donde N es el numero de datos entrada-salida dado

/77 U N PROBLEMA DE OPTIMIZACION Aproximaciones computacionales: Algoritmos numericos generales para la minimizacion de una funcion Basados en el gradiente; algoritmos numericos generales para hallar raices; algoritmos que aprovechan la forma de la funcion Algoritmos con una aproximacion basada en la inteligencia artificial: algoritmos geneticos Solucion analitica: minimos cuadrados lineal 8

E L PROBLEMA DEL MODELADO DE DATOS 9

/77 L A APROXIMACION DE FUNCIONES Una funcion puede verse como un mapeo Ejemplo: ley fundamental de la dinámica F = ma y = a,u = F,g(u) = u/m. En general, y y u pueden ser vectores 10

/77 L A APROXIMACION DE FUNCIONES Al realizar la aproximacion de una funcion, sólo están disponibles un número finito de muestras ¿Podemos postular la existencia de un modelo que explique los datos? 11

/77 L A APROXIMACION DE FUNCIONES En general, se asume que las muestras disponibles son ruidosas k = 1,2,…, N Entonces el problema de la aproximacion de funciones es equivalente a reconstruir la hipersuperficie g(u) a partir de los pares (u(k),y(k)). 12

/77 E L PROBLEMA DE LA APROXIMACION DE FUNCIONES Dada cierta función,, donde y, deseamos construir una función f tal que 13

/77 E L PROBLEMA DE LA APROXIMACION DE FUNCIONES La informacion que se dispone de g son N pares de entrada-entrada normalmente se asume que los valores de salida del conjunto de muestras de entrenamiento estan adulterados por el ruido 14

/77 E JEMPLO : UNA ENTRADA, UNA SALIDA ¿Como podemos modelar el proceso que genera estos datos? 15

/77 E JEMPLO : DOS ENTRADAS, UNA SALIDA 16

/77 E L R ETO Puede ser difícil proponer una buena función f para ajustar el mapeo g cuando sólo sabemos muy poco sobre la asociación entre U y Y en la forma de los pares de datos Z. Puede ser dificil incluso saber cuando tenemos una buena aproximación 17

M ODELOS LINEALES Y MODELOS NO LINEALES 18

/77 M ODELOS LINEALES VS. N O LINEALES Es comun asumir que f ( u ) pertenece a una familia de funciones que comparten la misma estructura y difieren por los valores tomados por ciertos parametros θ. 19

/77 E L MODELO LINEAL ( EN LOS PARAMETROS ) Un modelo lineal asume que la funcion es lineal respecto a los parametros θ 20 Aquí, la linealidad se refiera a “con respecto a los parametros”

/77 M ODELOS NO - LINEALES En los modelos no-lineales la funcion es no-lineal respecto a los parametros θ 21

E STIMACIÓN DE M ÍNIMOS C UADRADOS L INEAL 22

/77 E L PROBLEMA Dada una colección finita de observaciones Z N = {u(0), y(0), u(1), y(1),..., u(N), y(N)} t t Y U U Y Proceso Modelo Regresor lineal 23

/77 E L REGRESOR LINEAL Se asume que la relación entrada-salida puede ser descrita por una estructura de regresor lineal f(u,θ) es denominada la funcion de ajuste. Las f i (u) son denominadas las funciones base 24

/77 A LGUNAS FUNCIONES BASE Funciones polinomiales Funciones base Gausianas Funciones base Sigmoidales Fourier  wavelets 25

/77 L OS ERRORES COMETIDOS Dados unos datos y el modelo lineal, deseamos calcular los “mejores” parametros. Queremos minimizar los errores. Cortesia de Johann Fredrich Carl Gauss ( ) error 26

/77 L OS RESIDUOS El ajuste de minimos cuadrados halla el vector de parametros θ tal que se minimiza residuos = errores 27

/77 N ATURALEZA DE LOS RESIDUOS Normalmente se asume que los residuos son variables aleatorias, con las siguientes caracteristicas: Independientes Con valor esperado es cero Normalmente distribuidas Tienen la misma desviacion estandard 28

/77 E L MODELO DE LOS DATOS Considere, por ejemplo, el modelo con tres parametros: Podemos escribir todo en forma vectorial 29

/77 C ALCULO DE LOS MEJORES ΘJ ’ S Considerando N datos, en forma matricial 30

/77 C ALCULO DE LOS MEJORES ΘJ ’ S cuando N > q normalmente no es posible encontrar los θ j que simultáneamente satisfacen todas las N ecuaciones, entonces El criterio para determinar el estimado de los parametros optimos es 31

/77 C ALCULO DE LOS MEJORES ΘJ ’ S La Cantidad a ser minimizada es Que expresada en forma matricial nos queda 32

/77 C ALCULO DE LOS MEJORES ΘJ ’ S La Cantidad a ser minimizada es igualando a cero su derivada 33

/77 L A ECUACION NORMAL El valor minimo de J se obtiene con el vector θ que satisface la ecuacion normal Ecuacion normal 34

IDENTIFICABILIDAD 35

/77 E XISTENCIA DE LOS PARAMETROS La solución única a las ecuaciones normales pueden ser obtenida siempre que la matriz ( A T A ) sea no singular (existencia de la inversa) Llamado el Estimador de minimos cuadrados lineal 36

/77 E XISTENCIA DE LOS PARAMETROS El estimador de minimos cuadrado lineal: Notese que el minimizador obtenido es influenciado por: Las funciones de ajuste seleccionadas, y Las señales de entrada observadas. 37

/77 I DENTIFICABILIDAD Dadas: Las señales de entrada observadas, y Las funciones de ajuste seleccionadas El estimado de los parametros (del modelo) existen si la inversa de la matriz ( A T A ) existe Se dice entonces que el modelo es identificable 38

/77 I DENTIFICABILIDAD Se dice entonces que el modelo es identificable Observe que decimos “que entonces el modelo es identificable” La identificabilidad se refiere al modelo Quizas el modelo con otros datos sea identificable O quizas los mismos datos otra estructura de modelo sea identificable 39

/77 L OS PARAMETROS “ VERDADEROS ” Si existen, el vector de parámetros “verdadero” describe a aquel que minimiza el error A menudo es conveniente estudiar las propiedades de los parámetros en terminos del error es el vector de parámetros “verdadero”. 40

M ÍNIMOS C UADRADOS PARA UN MODELO LINEAL ( DINAMICO ) 41

/77 E JEMPLO : ESTRUCTURA AR En la identificacion de sistemas usualmente se usa un modelo AR ( AutoRegressive model ), donde y(k) es la salida del sistema en el tiempo k ≥ 0. 42

/77 E JEMPLO : ESTRUCTURA AR Una forma util de ver el modelo AR es verlo como una manera de determinar el siguiente valor de la salida, dadas las observaciones previas 43

/77 E JEMPLO : ESTRUCTURA AR En este caso el modelo AR esta definido por el modelo lineal 44 El termino φ(t) recibe el nombre de vector de regresion y, en general, contiene la información de entradas y salidas anteriores a t

/77 E JEMPLO : ESTRUCTURA AR En este caso el modelo AR esta definido por el modelo lineal En general, el vector de regresión (regresor) se construye,, con los datos de entrada-salida pasados, hasta el instante k-1 45

/77 E JEMPLO : ESTRUCTURA ARX Por ejemplo, en el caso de una estructura de modelo simple como el ARX de primer orden: 46

/77 E JEMPLO : ESTRUCTURA ARX En el caso de una estructura ARX la correspondencia con la formulación general seria 47 El termino φ(t) recibe el nombre de vector de regresion y, en general, contiene la información de entradas y salidas anteriores a t

/77 L A MATRIZ DE DATOS El problema de la estimacion de parametros consiste en encontrar relaciones matemáticas entre secuencias de entrada y las secuencias de salida. En general, los datos se tienen en forma de una matriz t = 1,...N 48

/77 I DENTIFICACION DE UN MODELO AR La estimación de parámetros consiste en hallar la estima de  que minimiza el criterio. Error de Predicción 49

/77 R ELACION CON LA IDENTIFICACION  En el modelo de regresión lineal se suele incorporar un término de perturbación ( n ) Para modelar la parte de la salida que no puede ser explicada por el regresor lineal 50

/77 N ATURALEZA DE ( N ) Si se da una caracterización estocástica para ( n ), 51 (n) es un proceso estocástico

/77 S OLUCION : M INIMOS CUADRADOS Asumamos que el sistema dinamico se puede representar por el modelo lineal 52 es el vector de regresion entradas y salidas retardadas es el vector de parametros

/77 S OLUCION : M INIMOS CUADRADOS En estas condiciones 53 Se introducen los terminos N a fin de retener expresiones que sean computacionalmente factibles para señales de entrada cuasi-estacionarias

/77 E XISTENCIA DE LA SOLUCION 54 El requisito necesario para garantizar una solución única es que la señal de excitación sea persistentemente excitada de orden mayor que d, siendo d el numero de parametros del modelo, [Söderström89].

P ROPIEDADES DEL MÉTODO DE LOS M INIMOS C UADRADOS 55

/77 U NICIDAD DE LA SOLUCION La principal ventaja de este método es que Si se cumplen las condiciones de identificabilidad la obtención del mínimo global está garantizada Y la solucion es unica 56

/77 N ATURALEZA DE LOS PARAMETROS Si se da una caracterización estocástica para ( n ), 57 (n) es un proceso estocástico ¡El estimador por mínimos cuadrados es una variable aleatoria!

/77 L OS PARAMETROS “ VERDADEROS ” Supongamos la existencia de un juego de parametros “verdadero” 58 donde e(t) es un ruido blanco de media cero y variancia

/77 P ROPIEDADES DE LOS PARAMETROS ESTIMADOS converge a cuando N tiende a infinito 2. La variable aleatoria se comporta como una distribución normal de media cero y covariancia

/77 P ROPIEDADES DEL RUIDO ESTIMADO Un estimador de la variancia de e ( t ) es: siendo d el número de parámetros del modelo

/77 O BSERVACION si la perturbación e ( t ) no es un ruido blanco y la relación señal útil/señal ruido es importante, la convergencia a no está garantizada. 61

C RITERIO DE A KAIKE 62

/77 C RITERIO DE A KAIKE Una variante del método LS, conocido como Criterio de Akaike consiste en minimizar la función de pérdidas 63

E JEMPLOS 64

/77 E JEMPLO Ejemplo: Supóngase el sistema 65 ¿Cuál es el tipo de estructura más apropiada a elegir para identificación?

/77 E LECCION DE LA ESTRUCTURA El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE). 66 Por tanto nb = 2, nf = 3 y nk = 2.

/77 E LECCION DE LA ESTRUCTURA El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE). 67 ¡ Sin embargo, en la mayoría de los casos el diseñador no dispone de la información sobre el sistema real !

/77 E LECCION DE LA ESTRUCTURA : E JEMPLO El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE). ¡ Sin embargo, en la mayoría de los casos el diseñador no dispone de la información sobre el sistema real !

/77 E JEMPLO Ejemplo: Supóngase el sistema Estimar los parámetros del modelo OE escogido Estimar un modelo ARX. Comparar resultados. 69

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/77 E JERCICIO 73 Investigar las funciones mostradas del Toolbox de identificacion en matlab ar armax arx bj oe pem ivar ivx iv4 present

/77 P ROBLEMAS Ver el documento Tema 3 _problemes.pdf De los profesores Teresa Escobet y Bernardo Morcego de la Escola Universitària Politècnica de Manresa [Escobet et al., 2003]. 74

/77 P ROBLEMAS Ver el documento Tema 3 _problemes.pdf De los profesores Teresa Escobet y Bernardo Morcego de la Escola Universitària Politècnica de Manresa [Escobet et al., 2003].

/77 F UENTES De Nicolao G., System Identification: Problems and perspectives. Dipartimento di Informatica e Sistemistica, Universiti di Pavia, Pavia, Italy Passino Kevin M., Yurkovich Stephen, Fuzzy Control. Addison Wesley Longman, Inc Recktenwald Gerald, A Curve-Fitting Cookbook for use with the NMM Toolbox. Mechanical Engineering Department, Portland State University, Portland, Oregon. October 17, Recktenwald G. W., Numerical Methods with MATLAB : Implementations and Applications. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, Ljung Lennart, Linear System Identificación as Curve Fitting. Report no.: LiTH-ISY-R Division of Automatic Control. Department of Electrical Engineering Linkopings universitet, Linkoping, Sweden. August 7, Moler C. and Moler K., Numerical Computing with MATLAB. The MathWorks, Inc. and Stanford University Sanjay Lall, Modern Control 1. Lecture Notes. Standford University. Winter quarter,

/77 ULTIMA DIAPOSITIVA 77