Matemáticas Acceso a CFGS ELIPSE Bloque II * Tema 077 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS LA ELIPSE LA ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es una constante. PF+PF’ = 2a Elementos Semieje mayor: a Semieje menor: b Semidistancia focal: c Focos: F(c, 0) , F(-c, 0) Vértices: A(a, 0), A’(-a, 0), B(0, b), B’(0, -b) Y P(x, y) B 2b A’ F’ F A X 2c B’ 2a @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS RELACIÓN FUNDAMENTAL RELACIÓN FUNDAMENTAL Por definición, la suma de distancias de cualquier punto a los focos F y F’ es 2a. PF+PF’ = 2.a Tomamos el vértice superior B(0, b) y tenemos que se nos forma un triángulo rectángulo. Por Pitágoras: Excentricidad Se define como la relación: e = c / a Como siempre c < a 0 < e < 1 en una elipse Y B(0, b) a a b A’ F’ c F A X 2c B’ 2a @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ECUACIÓN REDUCIDA ECUACIÓN REDUCIDA Se considera el origen de coordenadas O(0, 0) el centro geométrico de la elipse. Se aplica la definición, dándose cuenta de que cada distancia del punto P(x,y) a los focos es una hipotenusa de triángulos rectángulos: PF+PF’ = 2.a √((x+c)2+ y2)) + √((c – x)2+ y2))=2.a √((x+c)2+ y2)) = 2.a – √((c – x)2+ y2)) Y b P(x, y) y F A x X F’ B’ Elevando todo al cuadrado: x2+ 2xc+c2 + y2 = 4a2 + x2– 2xc+c2 + y2 – 4.a√(c2 – 2xc + x2+ y2) xc – a2 = – a√(c2 – 2xc + x2+ y2) x2c2 – 2xca2 + a4 = a2c2 – 2xca2 + x2a2+ y2a2  Como c2 = a2 – b2 x2a2 – x2b2 + a4 = a4 – a2b2 + x2a2+ y2a2 Quedando: x2b2 + y2a2 = a2b2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son: 1º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0), B(0, 3) y B’(0, -3) El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, (3+(-3))/2) ,, C(0,0) Eje mayor: 2.a = 10 ,, a =5 ,, Eje menor: 2b = 6 ,, b = 3 Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2  9x2 + 25y2 = 225 2º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0),, Focos: F(3, 0) y F’(-3, 0) El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, 0) ,, C(0,0) Semieje mayor: a = 5 ,, Distancia focal: 2c = 6  c =3 Semieje menor: b = √ (52 – 32 ) = 4 Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2  16x2 + 25y2 = 400 3º.- Centro: C(0,0),, Focos: F(3, 0), F’(-3, 0) y P(4, 2’4) Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2  16.b2 + 5’76.a2 = a2.b2 Relación: a2 = b2 + c2  a2 = b2 + 9 Resolviendo el sistema: b2 = 16 ,, b = 4 y a2 = 25 ,, a = 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ECUACIÓN GENERAL ECUACIÓN REDUCIDA Teníamos: x2b2 + y2a2 = a2b2 Dividiendo todo entre a2b2 Queda: x2 y2 --- + --- = 1 a2 b2 ECUACIÓN GENERAL Lo normal es que el centro de la elipse no sea el origen de coordenadas: Resultando: (x – k)2 (y – h)2 --------- + ---------- = 1 a2 b2 ECUACIÓN DESARROLLADA Operando en la ecuación general: x2b2 + y2a2 – 2kb2x – 2ha2y + (b2k2 + a2h2 – a2b2) = 0 Que es la ecuación general desarrollada. Y P(x, y) F F’ X O @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son: 4º.- Vértices: A(8,3), A’(-8,3), B(0, 7) y B’(0, -1) El centro de la elipse es C((8+(-8))/2, (7+(-1))/2) ,, C(0,3) Eje mayor: 2.a = 16 ,, a =8 ,, Eje menor: 2b = 8 ,, b = 4 Ecuación: b2 x2 + a2 (y – 3)2 = a2 b2  16x2 + 64y2 – 384y + 576 – 1024 = 0  Simplificando entre 16 queda: x2 + 4y2 – 14y – 28 = 0 5º.- Vértices: A(17,2), A’(-9,2),, Distancia focal: 2c=10 El centro de la elipse es C((17+(-9))/2, 2) ,, C(13,2) Semieje mayor: a = (17 – (– 9))/2 = 26/2 = 13 Semieje menor: b = √ (a2 – c2 ) = √ (132 – 52 ) = 12 Ecuación: b2 (x – k)2 + a2 (y – h)2 = a2 b2  144 (x – 13)2 + 169 (y – 2)2 = 144.169  144x2 + 169y2 – 3744x – 676y + 676 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios Hallar el centro, focos y semiejes de las elipses siguientes: Ecuación general: b2x2 + a2 y2– 2b2kx – 2a2hy + b2k2 + a2h2 – a2b2 = 0 6º.- P: x2 + 9y2 – 8x – 36y + 28 = 0 Identificando términos, tenemos: b2 = 1  b=1 ,, a2 = 9  a= 3 2b2k = 8  8k = 8  k = 1 ,, 2a2h = 36  18h = 36  h = 2 C(1, 2) ,, c =√(a2 – b2) = √8 = 2√2 ,, F(1+ 2√2 , 2) y F’(1 - 2√2, 2) Comprobando: b2k2 + a2h2 – a2b2 = 28  1.1 + 9.4 – 9.1 = 28 7º.- P: 3x2 + 5y2 – y – 14’95 = 0 b2 = 3  b= √3 ,, a2 = 5  a= √5 2b2k = 0  6k = 0  k = 0 ,, 2a2h = 1  10h = 1  h = 0,1 C(0 , 0’1) ,, c =√(a2 – b2) = √2 ,, F(√2 , 0’1) y F’(- √2 , 0’1) Comprobando: b2k2 + a2h2 – a2b2 = m  3.0 + 5.0’01 – 5.3 = – 14’95 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios Hallar el centro, focos y semiejes de las elipses siguientes: Ecuación general: b2x2 + a2 y2– 2b2kx – 2a2hy + b2k2 + a2h2 – a2b2 = 0 8º.- P: 4x2 + 9y2 – 8x + 36y + m = 0 Identificando términos, tenemos: b2 = 4  b=2 ,, a2 = 9  a= 3 2b2k = 8  8k = 8  k = 1 ,, 2a2h = - 36  18h = - 36  h = – 2 C(1, - 2) ,, c =√(a2 – b2) = √5 ,, F(1+ √5 , -2) y F’(1 - √5, - 2) b2k2 + a2h2 – a2b2 = m  4.1 + 9.4 – 9.4 = 4 9º.- P: 16x2 + 9y2 – 8x + m = 0  b > a  Girada 90º b2 = 16  b=4 ,, a2 = 9  a= 3 2b2k = 8  32k = 8  k = 0,25 ,, 2a2h = 0  18h = 0  h = 0 C(0,25, 0) ,, c =√(b2 – a2) = √7 ,, F(0,25, √7) y F’(0,25, - √5) b2k2 + a2h2 – a2b2 = m  16.0,0625 + 9.0 – 9.16 = – 143 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS