@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 PROPIEDADES GLOBALES Bloque III * Tema 105

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 Los puntos de corte de la función f con el eje X se calculan resolviendo la ecuación f(x)=0 Si f(x) es una expresión polinómica de grado impar, habrá al menos un punto de corte con el eje X. El punto de corte de la función f con el eje Y es el punto (0, f(0)). Como máximo hay un punto de corte con el eje Y, ya que si no, f no sería función. Ejemplo 1Ejemplo 2 f(x) = x 3 –3x + 2f(x) = - x 3 + 4x f(0) = 2  Pc(0,2)f(0) = 0  Pc(0,0) 0 = x 3 –3x + 20 = - x 3 + 4x Factorizando por Rufinni:Factorizando por Rufinni: f(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 1)f(x) = - x (x + 2)(x – 2) Pc(– 2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0)Pc(0,0), Pc(– 2, 0), Pc(2, 0) CORTES CON LOS EJES

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 Ejemplo 3Ejemplo 4 x – 3 1 – x 2 f(x) = f(x) = x + 1x Cortes con eje Y:Cortes con eje Y: f(0) = – 3  Pc(0,– 3)f(0) = 1/0 =oo  NO HAY Cortes con eje X:Cortes con eje X: 0 = (x –3) / (x +1)0 = (1 – x 2 ) / x (x + 1).0 = (x – 3)x.0 = (1 – x 2 ) 0 = (x – 3)0 = (1 – x 2 ) 3 = x  Pc(3, 0)x 2 = 1  Pc(– 1,0), Pc(1, 0) CORTES CON LOS EJES

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 (-2,0) (0,0) (2,0) (-2,0)(1,0) (0,2) Gráficas de los ejemplos (3,0) (0, -3) (-1,0)(1,0)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Para representar gráficamente una función nos interesa saber en qué zonas o intervalos la función va por encima o por debajo del eje X. Los puntos de corte de la función f con el eje X, así como los puntos que no forman parte del dominio de la función, nos limitan las zonas a estudio. Si en un punto c del intervalo (a,b) la ordenada o valor de f (c) es positivo ( o negativo), es también positivo ) o negativo) en todos los puntos del intervalo. Ejemplo 1Ejemplo 2 f(x) = x 3 –3x + 2f(x) = - x 3 + 4x Intervalos a estudio:Intervalos a estudio: (-oo,-2), (-2, 1) y (1, oo) (-oo, -2), (-2, 0), (0, 2) y (2, oo) f(-3) =– = – en (-oo, -2) f(-3) = = + en (-oo, -2) f(0) = 0 – = + en (-2, 1)f(-1) = 1 – 4 = – en (-2, 0) f(2) = 8 – = + en (1, oo)f(1) = – = + en (0, 2) f(3) = – = – en (-oo, -2) SIGNO DE UNA FUNCIÓN

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 Ejemplo 3Ejemplo 4 x – 3 1 – x 2 f(x) = f(x) = x + 1x Intervalos a estudio:Intervalos a estudio: (-oo, -1), (-1,3) y (3,oo)(-oo,-1), (-1,0), (0, 1) y (1, oo) f(-3) = – 6 / - 2 = + en (-oo, -1)f(-3) = -8 / - 3 = + en (-oo, -1) f(0) = – 3 / 1 = – en (-1, 3)f(-0,5) = 0,75 / – 0,5 = – en (-1, 0) f(4) = 1 / 5 = + en (3, oo)f(0,5) = 0,75 / 0,5 = + en (0, 1) f(2) = – 3 / 2 = – en (1, oo) SIGNO DE UNA FUNCIÓN

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 (-2,0) (0,0) (2,0) (-2,0)(1,0) (0,2) Gráficas de los ejemplos (3,0) (0, -3) (-1,0)(1,0)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 SIMETRÍAS SIMETRÍAS Sea la función y = f(x). Si se cumple que f(x) = f(-x)  Hay SIMETRÍA PAR Significa que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas, eje Y. El eje Y es eje de simetría de la función. Si se cumple que f(x) = - f(-x)  Hay SIMETRÍA IMPAR Significa que la función es simétrica respecto al origen de coordenadas. Lo dibujado en el primer cuadrante es idéntico a lo del tercer cuadrante. (Es la simetría respecto a un punto que se vió en 3º ESO)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 Ejemplo 1 SIMETRÍA PAR f(x) = x 2 TABLA x y y f(x) = x 2. Veamos si se cumple que; f(x) = f(-x) f(x) = x 2 f(-x) = (-x) 2 = x 2  Hay SIMETRÍA PAR Lo mismo sucedería con: f(x) = x 2 – 3 f(x) = x Pero no con: f(x) = x 2 – 3.x f(x) = 2.x – 5

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 Ejemplo 2 SIMETRÍA PAR f(x) = x 4 – x 2 TABLA x y ,5 -0,19 0 0,5 -0, y f(x) = x 4 – x 2 Veamos si se cumple que; f(x) = f(-x) f(x) = x 4 – x 2 f(-x) = (-x) 4 – (-x) 2 f(-x) = x 4 – x 2  Hay SIMETRÍA PAR Lo mismo sucedería con: f(x) = x x 2 f(x) = 2x 6 + 5x 2 – 3 Pero no con: f(x) = x 4 – 3.x f(x) = 4x 3 – 5x 2 + 4

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS11 Ejemplo 3 SIMETRÍA IMPAR f(x) = x 3 TABLA x y O f(x) = x 3. Veamos si se cumple que; f(x) = - f(-x) f(x) = x 3 f(-x) = (-x) 3 = - x 3 - f(-x) = - (- x 3 )= x 3  Hay SIMETRÍA IMPAR Lo mismo sucedería con: f(x) = x 3 – 3.x f(x) = x x Pero no con: f(x) = x x 2 f(x) = x 3 – 5

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS12 Ejemplo 4 SIMETRÍA IMPAR 4 f(x) = x TABLA x y f(x) = 4 / x Veamos si se cumple que; f(x) = - f(-x) f(x) = 4 / x f(-x) = 4 / (- x) = - 4 / x - f(-x) = - (- 4 / x)= 4 / x  Hay SIMETRÍA IMPAR Lo mismo sucedería con: f(x) = – 6 / x f(x) = 12 / x Pero no con: f(x) = 4 ( x + 2) f(x) = – 6 / (x – 3)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS13 Ejemplo 3 Ejemplo 4 SIMETRÍA x = y 2 NO ES UNA FUNCIÓN NO ES UNA FUNCIÓN x y x y

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS14 FUNCIONES PERIÓDICAS PERIODICIDAD Una función y = f(x) decimos que es periódica cuando su forma se repite a intervalos iguales. La longitud del intervalo es lo que llamamos periodo, T. Si se cumple que f(x) = f(x + n.T), siendo n un número entero ( 1, 2, 3, … ), entonces la función es periódica y de periodo T. Ejemplos de funciones periódicas Con periodo T = 1 año, podían ser los consumos de agua, luz o gas en una vivienda, aunque sea de forma aproximada. No así lo que pagamos mes a mes por dicho consumo, al varias las tarifas casi todos los años.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS15 5mn 10 mn 5 mn 5 mn Ejemplo 1 La noria. 5mn 10 mn 5 mn 5 mn P = 25 mn En una atracción de feria la noria de detiene 5 minutos para coger pasajeros. Durante otros 10 minutos se velocidad va aumentando. Durante otros 5 su velocidad se mantiene alta Y por último durante otros 5 minutos su velocidad disminuye hasta pararse. Este proceso es periódico, pues se repite cada 25 minutos. El periodo es t = 25 mn

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS16 EJEMPLO_2 La electricidad La función senoidal, f(x) = sen x, nos da en todo momento el valor del seno de un ángulo. Es una de las funciones trigonométricas. Es la forma en la cual se transmite la electricidad. En este proceso la forma de onda se repite cada 360º. En Europa, España incluida, el periodo es de 1 / 50 = 0,020 segundos. Eso significa que cada segundo se recibe en los hogares, fábricas, etc, 50 ciclos completos, 50 ondas senoidales. Según lo dicho en la definición: sen 30º = sen (30+nT)=sen (30+360) = sen (30+720) = sen ( ) = Etc P = 0,02 s

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS17 Osciloscopio El osciloscopio es el aparato eléctrico diseñado para visualizar y medir todo tipo de señales eléctricas. Podemos ver cómo la corriente eléctrica que llega a los electrodomésticos, aparatos de imagen y sonido en los hogares, así como la que llega a las diferentes empresas, tiene forma de onda senoidal.